5.2平面向量基本定理及坐標表示INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INET【考試要求INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INET】1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．【知識梳理INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INET】1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．2．平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．3．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INET【常用結論INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INET】已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INET】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內的任意兩個向量都可以作為一組基底．(×)(2)設a，b是平面內的一組基底，若實數λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(4)平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變．(√)INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INET【教材題改編INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INET】1．下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－10)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2,3)，e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4)))答案D2．若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是線段P1P2的一個三等分點(靠近點P1)，則點P的坐標為()A．(2,2) B．(3，－1)C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)答案A解析設P(x，y)，由題意知eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))，∴(x－1，y－3)＝eq\f(1,3)(4－1,0－3)＝(1，－1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y－3＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))3．已知向量a＝(x,1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，則x為________．答案2或－1解析2a－b＝(2x－2,3－x)，∵(2a－b)∥a，∴2x－2＝x(3－x)，即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.題型一平面向量基本定理的應用例1(1)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A(2)如圖，已知平面內有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝______.答案6解析方法一如圖，作平行四邊形OB1CA1，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OA1,\s\up6(→))，因為eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以|eq\o(OA1,\s\up6(→))|＝|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq\r(3))．由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝4，,μ＝2.))所以λ＋μ＝6.【備選INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INET】1.(2022·山東省實驗中學等四校聯考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的角平分線交△ABC的外接圓于點D，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．a＋b B.eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(2,3)b答案C解析設圓的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，又∠BAC的角平分線交△ABC的外接圓于點D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6)，則根據圓的性質得BD＝AB，又因為在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.2.(2022·鄭州質檢)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.答案eq\f(1,2)解析由題圖可設eq\o(CG,\s\up6(→))＝xeq\o(CE,\s\up6(→))(0<x<1)，則eq\o(CG,\s\up6(→))＝x(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(CD,\s\up6(→))))＝eq\f(x,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＋xeq\o(CB,\s\up6(→)).因為eq\o(CG,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，所以λ＝eq\f(x,2)，μ＝x，所以eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,2).思維升華(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．跟蹤訓練1(1)如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數)，則λ2＋μ2等于()A.eq\f(5,8) B.eq\f(1,4)C．1 D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8).(2)如圖，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b為鄰邊作平行四邊形OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)答案eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b解析∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.∵eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.題型二平面向量的坐標運算例2(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)．∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13,4)，∴c＝－eq\f(1,3)(a－2b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).(2)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A.eq\f(6,5)B.eq\f(8,5)C．2D.eq\f(8,3)答案B解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0,0)．不妨設AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq\f(8,5).INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\左括.TIF"INET【備選INCLUDEPICTURE"F:\\源文件\\2022\\一輪\\數學人教A版老高考\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"E:\\張春蘭\\2022\\一輪\\數學\\數學人教A版理老教材（豫甘青寧新蒙貴桂川藏）\\word\\右括.TIF"INET】已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點D的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)答案A解析設D(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,3)，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝2x，,3＝2y－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2).))所以頂點D的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))).思維升華向量的坐標表示把點與數聯系起來，引入平面向量的坐標可以使向量運算代數化，成為數與形結合的載體．跟蹤訓練2(1)向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)等于()A．1 B．2C．3 D．4答案D解析以向量a和b的交點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))∴eq\f(λ,μ)＝eq\f(－2,－\f(1,2))＝4.(2)在△ABC中，點P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點Q是AC的中點，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，則eq\o(AQ,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案(－3,2)(－6,21)解析eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(4,3)＋2(－3,2)＝(－2,7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(－2,7)＝(－6,21)．題型三向量共線的坐標表示例3(1)已知a＝(1,2＋sinx)，b＝(2，cosx)，c＝(－1,2)，若(a－b)∥c，則銳角x等于()A．15° B．30°C．45° D．60°答案C(2)已知在平面直角坐標系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三點共線且向量eq\o(OP3,\s\up6(→))與向量a＝(1，－1)共線，若eq\o(OP3,\s\up6(→))＝λeq\o(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)·eq\o(OP2,\s\up6(→))，則λ等于()A．－3 B．3C．1 D．－1答案D解析設eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，y)，則由eq\o(OP3,\s\up6(→))∥a知x＋y＝0，所以eq\o(OP3,\s\up6(→))＝(x，－x)．若eq\o(OP3,\s\up6(→))＝λeq\o(OP1,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OP2,\s\up6(→))，則(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)·(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ－1＝x，,3－2λ＝－x，))所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.【備選】1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________.答案eq\f(1,2)解析由題意得2a＋b＝(4,2)，因為c＝(1，λ)，c∥(2a＋b)，所以4λ－2＝0，解得λ＝eq\f(1,2).2．已知O為坐標原點，點A(6,3)，若點P在直線OA上，且|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))|，P是OB的中點，則點B的坐標為________________________．答案(4,2)或(－12，－6)解析∵點P在直線OA上，∴eq\o(OP,\s\up6(→))∥eq\o(PA,\s\up6(→))，又∵|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))|，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝±eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，設點P(m，n)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6－m,3－n)．①若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，則(m，n)＝eq\f(1,2)(6－m,3－n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)6－m，,n＝\f(1,2)3－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1，))∴P(2,1)，∵P是OB的中點，∴B(4,2)．②若eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))，則(m，n)＝－eq\f(1,2)(6－m,3－n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2)6－m，,n＝－\f(1,2)3－n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－6，,n＝－3，))∴P(－6，－3)，∵P是OB的中點，∴B(－12，－6)．綜上所述，點B的坐標為(4,2)或(－12，－6)．思維升華平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．跟蹤訓練3平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k；(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐標．解(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).(2)設d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq\r(5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))∴d的坐標為(3，－1)或(5,3)．課時精練1．(2022·巴中模擬)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)答案B2．(2022·TOP300尖子生聯考)已知A(－1,2)，B(2，－1)，若點C滿足eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則點C的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．(－3,3)C．(3，－3) D．(－4,5)答案D3．下列向量組中，能表示它們所在平面內所有向量的一組基底是()A．a＝(1,2)，b＝(0,0)B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a＝(3,2)，b＝(9,6)D．a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(1,2)))，b＝(3，－2)答案B4．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cosB，cosA)，則“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案D解析由m∥n，得bcosB－acosA＝0，即sinBcosB＝sinAcosA，所以sin2B＝sin2A，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形；反之，△ABC是等腰三角形，若a＝c≠b，則不能得到m∥n，所以“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要條件．5．(2022·聊城一中模擬)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分別是AB，CD的中點，AC與BD交于點M，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則下列結論不正確的是()A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b B.eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋bC.eq\o(BM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D.eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b答案C解析eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，故A正確；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，故B正確；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，故C錯誤；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b，故D正確．6．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點A，B，C能構成三角形，則實數m不可能是()A．－2B.eq\f(1,2)C．1D．－1答案C解析各選項代入驗證，若A，B，C三點不共線即可構成三角形．因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設A，B，C三點共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三點就可構成三角形．7．在梯形ABCD中，AB∥CD，且DC＝2AB，若點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點D的坐標為______．答案(2,4)解析∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，設點D的坐標為(x，y)，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4－x,2－y)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴點D的坐標為(2,4)．8．(2022·開封模擬)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2，2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，則λ＝________.答案0解析由題意得，2m＋n＝(3λ＋4,4)，m－2n＝(－λ－3，－3)，∵(2m＋n)∥(m－2n)，∴－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n；(3)求M，N的坐標及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)方法一∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))方法二∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設O為坐標原點，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．解(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，解得k＝－eq\f(1,2).(2)方法一∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).方法二eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).11．(2022·蘭大附中模擬)已知△ABC的三邊分別是a，b，c，設向量m＝(sinB－sinA，eq\r(3)a＋c)，n＝(sinC，a＋b)，且m∥n，則B的大小是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)答案B解析因為m∥n，所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(eq\r(3)a＋c)．由正弦定理得(a＋b)(b－a)＝c(eq\r(3)a＋c)，整理得a2＋c2－b2＝－eq\r(3)ac，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(－\r(3)ac,2ac)＝－eq\f(\r(3),2).又0<B<π，所以B＝eq\f(5π,6).12.如圖，B是AC的中點，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))，P是平行四邊形BCDE內(含邊界)的一點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則下列結論中不正確的是()A．當x＝0時，y∈[2,3]B．當P是線段CE的中點時，x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(5,2)C．若x＋y為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段D．當P在C點時，x＝－1，y＝2答案A解析當eq\o(OP,\s\up6(→))＝yeq\o(OB,\s\up6(→))時，點P在線段BE上，故1≤y≤3，故A中結論錯誤；當P是線段CE的中點時，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EP,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－2eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(5,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，故B中結論正確；當x＋y為定值1時，A，B，P三點共線，又P是平行四邊形BCDE內(含邊界)的一點，故P的軌跡是一條線段，故C中結論正確；因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝－1，y＝2，故D中結論正確．13．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，點C在∠AOB內，且eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))的夾角為30°，設eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則eq\f(m,n)的值為______．答案3解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，以O為原點，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)n)．∵tan30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq\f(m,n)＝3.14．若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))