7-6正弦穩態電路的功率

本節討論正弦穩態單口網絡的瞬時功率、平均功率(有功功率)、無功功率、視在功率、復功率和功率因數。正弦穩態單口網絡向可變負載傳輸最大功率的問題。

7-6-1二端網絡的功率端口電壓和電流采用關聯參考方向，它吸收的功率為正弦穩態時，端口電壓和電流是相同頻率的正弦量，即1、瞬時功率瞬時功率為

Z=

u-

i是電壓與電流的相位差。瞬時功率由一個恒定分量和一個頻率為2ω的正弦分量組成，周期性變化，當p(t)>0時，該網絡吸收功率；當p(t)<0時，該網絡發出功率。瞬時功率的波形如圖所示。

ZUIcos

Z平均功率不僅取決于電壓電流有效值乘積VI，還與阻抗角

Z=

u-

I有關。2、平均功率(有功功率)簡稱功率:在一個周期內的平均值：

幾種特殊情況。1、網絡等效阻抗為一個電阻。此時網絡電壓與電流相位相同，即

Z=

u-

i=0,cos

Z=1，波形如圖。p(t)在任何時刻均大于或等于零，電阻始終吸收功率和消耗能量。用電壓、電流有效值后，計算電阻消耗的平均功率公式，與直流電路中相同。若用電流、電壓的振幅值，上述公式為此時平均功率：2、網絡等效阻抗為一個電抗。此時單口網絡電壓與電流相位為正交關系，即

Z=

u-

i

=

90

,(+電感－電容)若假設電壓初相為零，得是頻率為2

的正弦量，在一段時間內p(t)>0，電感或電容吸收功率獲得能量；另外一段時間內p(t)<0，電感或電容發出功率釋放出它所獲得的全部能量。顯然，平均功率為可見，電感和電容不消耗能量，它們是無源元件。但要注意，它們的瞬時功率并不為零。或者說，電感和電容需要電源(外電路)供給一定的瞬時功率以滿足能量不斷的往返交換。定義：無功功率把瞬時功率的振幅(最大值)定義為電感和電容的無功功率，以表明電感和電容與外電路電流和電壓不斷往返的程度。即3、任意二端網絡的情況電阻分量消耗的平均功率，就是單口網絡吸收的平均功率。設二端網絡3、視在功率表示一個電氣設備的容量，是單口網絡所吸收平均功率的最大值，單位：伏安(VA)。例如我們說某個發電機的容量為100kVA，而不說其容量為100kW4、功率因數

Z=

u-

i為功率因數角。當二端網絡為無源元件R、L、C組成時：|

Z|<90,0<pf<1。

Z<0,電路呈容性，電流導前電壓；

Z>0,電路呈感性，電流滯后電壓。網絡吸收的平均功率P與cos

Z的大小密切相關，cos

Z表示功率的利用程度，稱為功率因數為了提高電能的利用效率，電力部門采用各種措施力求提高功率因數。例如使用鎮流器的日光燈電路，它等效于一個電阻和電感的串聯，其功率因數小于1，它要求線路提供更大的電流。為了提高日光燈電路的功率因數，一個常用的辦法是在它的輸入端并聯一個適當數值的電容來抵銷電感分量，使其端口特性接近一個純電阻以便使功率因數接近于1。5、無功功率上式第二項的最大值為二端網絡的無功功率Q

。即可驗證L和C時的特殊情況。無功功率反映電源(或外電路)和單口網絡內儲能元件之間的能量交換情況，單位為乏(var)(無功伏安：voltamperreactive)與功率計算類似:6、復功率

為了便于用相量來計算平均功率，引入復功率。工作于正弦穩態的網絡，其電壓電流采用關聯的參考方向，設單位：VAN復功率還有兩個常用的公式：注意：電流、電壓若用振幅值時，不要忘了要乘1/2。7、復功率守恒復功率守恒定理：對于工作于正弦穩態的電路，由每個獨立電源發出的復功率的總和等于電路中其它電路元件所吸收復功率的總和：由此可以導出一個正弦穩態電路的有功功率和無功功率也是守恒的結論。正弦穩態電路中，由每個獨立電源發出的有功功率的總和等于電路中其它元件所吸收的有功功率的總和；由每個獨立電源發出的無功功率的總和等于電路中其它元件所吸收的無功功率的總和：由此可得網絡吸收的有功功率等于該網絡內每個電阻吸收的平均功率總和。注意正弦穩態電路中視在功率并不守恒。8、功率三角形

ZPQS阻抗三角形，導納三角形，電壓三角形，電流三角形和功率三角形都是相似三角形。例17

電路相量模型如圖，端口電壓的有效值U=100V.試求該網絡的P、Q、、S、pf。解:設端口電壓相量為：16

j16

-j14

+-網絡的等效阻抗：因此故：所以（導前）例18

感性負載接在U=220V,f=50Hz的交流電源上,其平均功率P=1.1KW,功率因數pf=0.5，欲并聯電容使負載的功率因數提高到0.8(滯后),求電容。解：負載電流有效值:感性負載的阻抗角:感性負載C設電壓相量為：則負載電流相量:并聯電容后，電源電流有效值:由于pf’=0.8(滯后),因此功率因數角:并聯電容后，不會影響電阻吸收的平均功率。但電容電流抵消了部分感性負載的電流，功率因數變大，電源電流的有效值由原來的10A減小到6.25A，提高了電源效率。由于:得:例19

電路工作于正弦穩態，已知電壓源電壓為.試求該電壓源發出的平均功率。解：電路的相量模型如圖(b)所示。先求出連接電壓源單口網絡的等效阻抗分流公式求電流可用以下幾種方法求電源發出的平均功率用歐姆定律求電流7-6-2最大功率傳輸圖(a)所示含獨立電源網絡用戴維南等效電路代替，得到圖(b)。其中，是含源網絡的開路電壓，Zo=Ro+jXo是含源網絡的輸出阻抗，ZL=RL+jXL是負載阻抗。負載電流：負載吸收的平均功率：當XL=-Xo時，分母最小，此時得RL=Ro。負載獲得最大功率的條件是所獲最大功率：求導數，并令其等于零。最大功率傳輸定理：工作于正弦穩態的網絡向一個負載ZL=RL+jXL供電，由戴維南定理(其中Zo=Ro+jXo)，則在負載阻抗等于含源網絡輸出阻抗的共軛復數(即）時，負載可以獲得最大平均功率：滿足的匹配，稱為共軛匹配。例20

圖示電路，已知ZL為可調負載,試求ZL為何值時可獲最大功率?最大功率為多少?解：ab以左運用戴維南電路,得右圖。j2

ZL2

+10∠0oV-abZLZ0

+-ab所以,當時,可獲最大功率.在通信和電子設備的設計中，常常要求滿足共軛匹配，以便使負載得到最大功率。在負載不能任意變化的情況下，可以在含源單口網絡與負載之間插入一個匹配網絡來滿足負載獲得最大功率的條件。

本節討論幾種不同頻率正弦信號激勵的非正弦穩態的平均功率。圖7-8-1所示單口網絡，在端口電壓和電流采用關聯參考方向的條件下，假設其電壓和電流為

圖7-8-1

非正弦穩態的單口網絡7-8非正弦周期電路的穩態分析單口網絡的瞬時功率為瞬時功率隨時間作周期性變化，有正交函數的特性，它在一個周期內的平均值（平均功率）為

這說明兩種不同頻率正弦信號激勵的單口網絡所吸收的平均功率等于每種正弦信號單獨引起平均功率之和。一般來說，n

種不同頻率正弦信號作用于單口網絡引起的平均功率等于每種頻率正弦信號單獨引起的平均功率之和，即

其中

例8-1

已知圖7-8-1所示單口網絡的電壓和電流為試求單口網絡吸收的平均功率。

解：分別計算每種頻率正弦信號單獨作用產生的平均功率

將這些平均功率相加得到單口網絡吸收的平均功率例8-2

已知流過5Ω電阻的電流為

,求電阻吸收的平均功率。解：分別計算各種頻率成分的平均功率再相加，即

式中的是周期性非正弦電流的有效值。一般來說，周期性非正弦電壓和電流，用傅里葉級數分解出它的直流分量和各種諧波分量后，可以用以下公式計算其有效值。

引入周期性非正弦電壓和電流的有效值后，可以用以下公式計算電阻的平均功率。應該特別注意的是：電路在頻率相同的幾個正弦信號激勵時，不能用平均功率疊加的方法來計算正弦穩態的平均功率。應該先計算出總的電壓和電流后，再用公式P=UIcos

來計算平均功率。補：一階電路在正弦激勵顯下的全響應也是三要素法。換路前后共有四種情況：換路前(DC、AC)換路后(DC、AC)1.換路前DC，換路后DC；(第五章)2.換路前DC，換路后AC；開關動作前電路已經穩定，求解：(1)時，電容相當于開路，得畫圖，得(2)相量法求(3)求。最后，代公式：最后，得：3.換路前AC，換路后DC；開關動作前電路已經穩定，求解：(1)時，電容不能看成開路，應該是正弦穩態電路。由相量法：