2021-2022高考數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.48+120B.60+12亞C.72+120D?84

2.若2nl貝！|()

1、1

A.—>-B.7fl'n>l

mn

嚴

C.InCm-jz)>0D10glm>log

22

3.已知x=0是函數/（x）=x（ox-tanx）的極大值點，則。的取值范圍是

A.Y,T)B.(-℃,1]

C.[0,+oo)D.[l,+oo)

4.設復數二滿足z-（l+i）=2，+l（i為虛數單位），則復數z的共軌復數在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知函數/(x)=x3+sinx+ln(F)若7(2。-D〉/(0),則a的取值范圍為()

A.fp+°°]B.(0,1)CUD。(°,；)

6.給出50個數1,2,4,7,11,…，其規律是：第1個數是1,第2個數比第1個數大1,第3個數比第2個數

大2,第4個數比第3個數大3,以此類推，要計算這50個數的和.現已給出了該問題算法的程序框圖如圖，請在圖

中判斷框中的①處和執行框中的②處填上合適的語句，使之能完成該題算法功能（）

A.i<50；p=p+iB.i<50；P=P+i

C.i<50；p=p+lD.i<50；p=p+l

7.已知集合4=k,一3%—10<()},集合3={x|—l?x<6},則AflB等于()

A.1x|-l<x<5}B.|x|-l<x<5}

C.1x|-2<x<61D.|x|-2<x<5|

8.已知向量3=(1,5是單位向量,若K一*豆，則(詞=()

A.-兀Bc.-兀C八.,九-D4.—2幾

6433

9.已知函數a=/(2°>,b=/(0.2°3),c=/(logft32),則a,〃，c的大小關系為()

A.h<a<cB.c<h<aC.h<c<aD.c<a<h

10.如圖，在平面四邊形ABC。中，滿足A3=3C,CD=A。，且A3+相>=10,80=8,沿著把A5D折起,

使點A到達點尸的位置，且使尸C=2,則三棱錐P-58體積的最大值為（）

A

CC

A.12B.12?C.D.—

33

11.設｛4｝是等差數列，且公差不為零，其前〃項和為S,,.貝！J“V〃eN*,S〃+1>S“”是“｛4｝為遞增數列”的（

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.若復數二滿足2z—N=3+12i,其中i為虛數單位，2是z的共軌復數，則復數目=（）

A.375B.2A/5C.4D.5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若（2—x）=a。+q（1+x）+%（1+尤）-+,,,+%（?+x），則/+4+生+■,■+"6+%=__，4=?

14.已知函數/（力=V—4%-4.若/（%）＜1在區間（m-l,-2/w）上恒成立.則實數，”的取值范圍是.

15.設a、/?為互不重合的平面，，〃，〃是互不重合的直線，給出下列四個命題：

①若m//n,則m//a\

②若mua,m//p,n//fl,貝！Ja〃夕；

③若a〃夕，mc.a,na.fi,則m〃〃；

④若aC\fl=m9〃ua,/n±w,貝！J〃JL夕；

其中正確命題的序號為.

16.已知復數z=（17＞（a+i）（i為虛數單位）為純虛數，則實數a的值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐中，PAL^-^ABCD,ZABC=ZBAD=90°,AD=AP=4,AB=8C=2,M為

PC的中點.

（1）求異面直線AP,5M所成角的余弦值；

4

（2）點N在線段A。上，且AN=2,若直線MN與平面P5C所成角的正弦值為《，求2的值.

18.（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米〃卜時、120千米

/小時、600千米/小時，等手平的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中年小町的損耗為，”元（相＞0）,

運輸的路程為S（千米）.設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為以（元）、

%（元）、%（元）?

（1）請分別寫出X、%、力的表達式;

（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.

19.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，。是邊長為4的正方形ABC。的中心，POL平面A3CD,E為3C的

中點.

(I)求證：平面PAC，平面PBD；

(ED若PE=3,求二面角。一。￡一8的余弦值.

v--、/3COSzy

20.(12分)在直角坐標系中，曲線G的參數方程為.'(a為參數)，以坐標原點為極點，以x軸正

半軸為極軸，建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為psin(6+；)=2&.

(1)寫出G的普通方程和C2的直角坐標方程；

(2)設點尸在G上，點。在。2上，求|「。|的最小值以及此時P的直角坐標.

21.(12分)如圖，已知E,產分別是正方形ABC。邊8。，CO的中點，EF與AC交于點0,PA,NC都垂直

于平面ABCO,且B4=AB=4，NC=2,M是線段Q4上一動點.

BEC

(1)當MO_L平面EKV,求的值；

(2)當M是R4中點時，求四面體M-EFN的體積.

22.(10分)記5“為數列｛%｝的前"項和,已知S“=〃2,等比數列｛2｝滿足々=q,4=%?

(1)求｛a,,｝的通項公式；

(2)求｛〃｝的前〃項和7；.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

畫出幾何體的直觀圖，計算表面積得到答案.

【詳解】

該幾何體的直觀圖如圖所示：

tfe5=2x6+2x6+^2+4^X2x2+4x6+6x2^=64+1272.

故選：B.

【點睛】

本題考查了根據三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

2.B

【解析】

根據指數函數的單調性，結合特殊值進行辨析.

【詳解】

若2"，>2">1=2°,：.m>n>Q,n>7^=\,故5正確；

而當〃2=1，時，檢驗可得，A、C、。都不正確，

24

故選：B.

【點睛】

此題考查根據指數塞的大小關系判斷參數的大小，根據參數的大小判定指數嘉或對數的大小關系，需要熟練掌握指數

函數和對數函數的性質，結合特值法得出選項.

3.B

【解析】

方法一：令g(x)=ox-tanx,則/(x)=x-g(x),g\x)=a——,

cosX

當aVl,xw(—時，g'(x)<(),g(x)單調遞減，

7T

Axe(——,0)時，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/'(x)=xg'(x)+g(x)：>0,

2

TT

；.fXx)>0,即f(x)在(一,。)上單調遞增,

7T

.?.廣(x)<0,即/(x)在(0=)上單調遞減，.?.1=()是函數〃x)的極大值點，aW1滿足題意;

2

,JT1

當。>1時，存在，€(0,彳)使得cos/二丁，即葭(。=0,

|TT

又g<x)=a——「在(0)上單調遞減，???x￡(0j)時，g(幻,g(0)=。，所以/(x)=x?g(x)>0,

cosx2

這與X=0是函數fM的極大值點矛盾.

綜上，?<1.故選B.

方法二：依據極值的定義，要使工=0是函數/(x)的極大值點，須在X=0的左側附近，/?<0,即ar-tanx>0；

在x=0的右側附近，/(x)<0,即以一tanx<0.易知，〃=1時，V=公與y=tanx相切于原點，所以根據丁=公

與y=1311》的圖象關系，可得故選B.

4.D

【解析】

先把2-(1+，)=2，+1變形為2==一，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出三，得到其坐標可得答案.

【詳解】

2/+1(萬+1)(1-i)3+31

解：由Z-(l+D=2i+1,得2=—+—

1+z(l+z)(l-z)222

-313_J_

所以2=彳-彳"其在復平面內對應的點為，-,在第四象限

2222

故選：D

【點睛】

此題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題.

5.C

【解析】

求出函數定義域，在定義域內確定函數的單調性，利用單調性解不等式.

【詳解】

14-V

由->0得

在時，y=V是增函數，y=sinx是增函數，yln(-l+)是增函數,

:./(x)=d+sinx+In是增函數,

.?.由,/■(2。-1)>/(())得0<2。一1<1,解得

2

故選：C.

【點睛】

本題考查函數的單調性，考查解函數不等式，解題關鍵是確定函數的單調性，解題時可先確定函數定義域，在定義域

內求解.

6.A

【解析】

要計算這5()個數的和，這就需要循環50次，這樣可以確定判斷語句①，根據累加最的變化規律可以確定語句②.

【詳解】

因為計算這50個數的和，循環變量i的初值為1,所以步長應該為1,故判斷語句①應為i=i+l,第1個數是1,第2

個數比第1個數大1,第3個數比第2個數大2,第4個數比第3個數大3,這樣可以確定語句②為〃=。+"故本題

選A.

【點睛】

本題考查了補充循環結構，正確讀懂題意是解本題的關鍵.

7.B

【解析】

求出A中不等式的解集確定出集合A,之后求得

【詳解】

由A=?|-3x-10<0}={x|(x+2)(x-5)<()}={x卜2<x<5},

所以Ac5={x|-l〈x<5},

故選：B.

【點睛】

該題考查的是有關集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎題目.

8.C

【解析】

設B=(x,y),根據題意求出羽丁的值，代入向量夾角公式，即可得答案；

【詳解】

設B=(x,y),a-b=-y),

h是單位向量，；.x2+y2=1,

,.,|a-^|=V3,/.(1-x)2+(V3-y)2=3,

x=1,

聯立方程解得：

y=0,

r2

尤=1,一—ii一一1

當〈時，cos<a,b>=----=-；<a,b>=—

y=0,2x123

—,一7T

綜上所述：<a,b>=」

3

故選：C.

【點睛】

本題考查向量的模、夾角計算，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時

注意B的兩種情況.

9.B

【解析】

可判斷函數/(x)在R上單調遞增，且2°3〉l>0.2°3〉0>logo32,所以C(力<a.

【詳解】

03

v/(x)=3二=1一一—在R上單調遞增，且2°3>1>O.2>()>log032,

e*+1ex+l

所以c<Z?<a.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數單調性的判定，指數函數與對數函數的性質，利用單調性比大小等知識，考查了學生的運算求解

能力.

10.C

【解析】

過P作于E,連接CE,易知C￡_L8O,PE=CE,從而可證30,平面PCE,進而可知

?8

Vp-BCD=VB-PCE+VD—PCE~]S.PCE'BD=『PCE，當S.PC￡最大時，力一8。取得最大值，取PC的中點尸，可得

EFLPC,再由S.PCE=；PCEF=JPE、-1,求出PE的最大值即可.

【詳解】

PB=BC

在△BPD和△88中，\PD=CD,所以ABPD'BCD,則ZPBD=NCBD,

BD=BD

過尸作PELBD于E,連接CE,顯然ABPE^ABCE,則CE_L3。，且PE=CE,

又因為PEACE=E，所以8O_L平面PCE,

?8

所以Vp-BCD=VB-PCK+VfCE=3S.PCEBD=]S.K，

當最大時，匕取得最大值，取PC的中點尸，則石尸，PC，

所以S.PCE=gpCEF=yjPE2-\，

因為總+PD=10,8D=8,所以點P在以8,。為焦點的橢圓上(不在左右頂點)，其中長軸長為10,焦距長為8,

所以PE的最大值為橢圓的短軸長的一半，故PE最大值為乒不=3，

所以Sg：最大值為2及，故Vje的最大值為gx2拒=粵?.

故選：C.

p

【點睛】

本題考查三棱錐體積的最大值，考查學生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.

11.A

【解析】

根據等差數列的前”項和公式以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

?.?｛q｝是等差數列，且公差a不為零，其前〃項和為s“，

充分性：???Sn+]>Sn,則a?+l>0對任意的“eN*恒成立，則生>0，

?.々/0,若d<0,則數列｛4｝為單調遞減數列，則必存在我N*,使得當〃〉人時，an+l<0,則S“T<S〃，不合

乎題意；

若d>0,由%>0且數列｛“"｝為單調遞增數列，則對任意的〃eN*，4+1>0,合乎題意.

所以，FGN*,S“+|>S,"="｛為｝為遞增數列”；

必要性：設當〃W8時，。,用=〃-9<0,此時，Sn+l<S?,但數列｛a“｝是遞增數列.

所以，S,+|>S,"牛“｛a.｝為遞增數列”.

因此，“eN*,S,+|>S,”是“｛a,,｝為遞增數列”的充分而不必要條件.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等差數列的前"項和公式是解決本題的關鍵，屬于中等題.

12.D

【解析】

根據復數的四則運算法則先求出復數z,再計算它的模長.

【詳解】

解：復數z=a+Z?i,a、bGR；

,.,22-1=3+121,

.*.2(a+bi)-(a-bi)=3+12z,

2a—a-3

即《，

2b+b=n

解得a=3,b=4,

.?.z=3+4i,

工憶1=辦?+4?=5-

故選。.

【點睛】

本題主要考查了復數的計算問題，要求熟練掌握復數的四則運算以及復數長度的計算公式，是基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.12821

【解析】

令x=0,求得4+q+4+…+%>+%的值?利用[3—(l+x)J展開式的通項公式，求得％的值.

【詳解】

令x=0,得%+4+…+%=27=128.[3—(1+x)了展開式的通項公式為C；37-1—(l+x)J,當r=6時，為

C>3i(l+x)6=21(l+x)6,即4=21.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數有關問題，屬于基礎題.

14.網

【解析】

首先解不等式/(力<1,再由/")<1在區間(加一1,一2間上恒成立，即(加―1,—2加)口—1,5)得到不等組，解得即

可.

【詳解】

解：：/(x)=￡-4x-4且〃x)<l,即f一4萬一4<1解得一l<x<5,即xe(-1,5)

因為〃x)<l在區間(加一1，一2m)上恒成立,，(加一1,一2/77)口一1,5)

-1<m-1

機一1<一2〃7解得即0,-

-2m<5''

故答案為：0,1j

【點睛】

本題考查一元二次不等式及函數的綜合問題，屬于基礎題.

15.④

【解析】

根據直線和平面，平面和平面的位置關系依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

對于①，當“〃"時，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出機〃a,①錯誤；

對于②，當機ua,〃ua,且山〃“，"〃//時，由兩平面平行的判定定理，不能得出。〃"②錯誤；

對于③，當a〃夕，且，〃ua,"U/?時，由兩平面平行的性質定理，不能得出機〃"，③錯誤；

對于④，當a_L/,且々7=切，〃ua,時，由兩平面垂直的性質定理，能夠得出④正確

綜上知，正確命題的序號是④.

故答案為：④.

【點睛】

本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.

16.-1

【解析】

利用復數的乘法求解;再根據純虛數的定義求解即可.

【詳解】

解：復數2=(l-z)(a+f)=a+l+(l-a)i為純虛數，

.-.a+1=0,1-a00,

解得a=T.

故答案為：-1.

【點睛】

本題主要考查了根據復數為純虛數求解參數的問題,屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)亞(2)

3

【解析】

(D先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量兩和向量衣的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

(2,由4N=2,設N(0,：,，0)(0<z<4),則麗=(-1,2—1,-2),再求得平面尸5c的一個法向量，利用直線

4____1-2-21

與平面P8C所成角的正弦值為不，由|cos(MN，機〉|=

\MN\\m\~75+U-l)2-V5-5

【詳解】

(1)因為B4JL平面ABC。，且48,ADc5pffiABCD,所以/MJLA8,PA1.AD.

又因為NR4￡>=90。，所以AB,AO兩兩互相垂直.

分別以A5,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則由AO=2A8=28C=4,Rl=4可得

4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,4,0),P(0,0,4).

又因為M為PC的中點，所以M(l,1,2).

所以的=(一1，1，2),A戶=(。，。，4),

0x(-l)+0xl+4x276

4x76

所以異面直線AP,所成角的余弦值為邁

3

(2)因為AN=2,所以N(0,A,0)(0<z<4),

則麗=(一1，z-1,-2),BC=(0,2,0),PB=(2,0,-4).

設平面PBC的法向量為加=(x,y,z),

,m-BC=0[2j=0

則V—即

m-PB=0[2x—4z=0

令x=2,解得y=0,z=l,

所以而=(2,0,1)是平面P8C的一個法向量.

4

因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為二,

__|MW石|_

所以|cos<MN>m|MN||m|,5+(-—I)??\/55

解得2=1G[O,4],

所以2的值為L

【點睛】

本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，線面角的求法及應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力,

屬于中檔題.

18.(1)y,=20S+—,y=105+—,y=5QS+—.

'60~21203600

(2)當加＜6000時，此時選擇火車運輸費最省；

當加＞6000時，此時選擇飛機運輸費用最省；

當機=6(XX)時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.

【解析】

(1)將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.

(2)作差比較了2、%的大小關系得出結論?

【詳解】

>77V

<Oy=20S+而，

y=10S+—,y=50S+—.

2120.33600

(2)m>0,S>0,

故2°S＞?瞽＞魯，

X＞%恒成立，故只需比較為與力的大小關系即可,

令〃S)-40S—著40----S,

150

故當40—陶＞0,即加＜6000時，

/(S)＞0,即.丫2＜%，此時選擇火車運輸費最省，

當40一面＜0,即加＞6敗時，

/(S)＜0,即8〉為，此時選擇飛機運輸費用最省.

；77

當40—而=0,即加=6000時，

/(S)=。，=%,

此時選擇火車或飛機運輸費用最省.

【點睛】

本題考查了常見函數的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎題.

19.(I)詳見解析；(II)―之叵.

29

【解析】

(I)由正方形的性質得出ACLB。，由P。，平面ABC。得出AC_LPO,進而可推導出AC,平面P3Z),再利

用面面垂直的判定定理可證得結論；

(II)取A8的中點M，連接OE,以OM、OE、。產所在直線分別為*、)、z軸建立空間直角坐標系，

利用空間向量法能求出二面角D-PE-B的余弦值.

【詳解】

(1);4}8是正方形，；.4。_1_80,

?.?POL平面ABC。，ACu平面ABC。，:.POLAC.

?：OP.BDu平面PBD,且OPcBD=O,平面PBD,

又ACu平面PAC,平面PACJ_平面PBD；

(ED取AB的中點M,連接OM、OE,

是正方形，易知OM、OE、OP兩兩垂直，以點。為坐標原點，以OM、OE、OP所在直線分別為X、＞、

z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,

在Rt"OE中,?.?OE=2,PE=3,:,PO=6

.?.8(2,2,0)、0(—2,—2,0)、尸(0,0,6)、￡(0,2,0),

設平面P8E的一個法向量而=(%,*,zj,BE=(-2,0,0),PE=(0,2-45),

fn-BE-0Xj—0i――?/\

由<—，得，r,令％=石，則％=0,Zj=2,/./n=lO,V5,2l.

m-PE-0[2y—A/5Z]=0'7

設平面POE的一個法向量〃=(9,%，Z2)，方后=(2,4,0),而=(0,2,—有,

nDE=02犬2+4y2=0

由，得</-取為=石，得Z2=2,馬=—2石，得分=(-26,6,2卜

n-PE=Q2y2-V5Z2=0

------------"??n3V29

cos<m,n>=...,

\m\-\n\29'

,?,二面角D—PE—B為鈍二面角，，二面角。—PE—B的余弦值為-土區.

29

【點睛】

本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

2o1

20.(1)G：y+/=uc2：x+y—4=0；⑵|pe|min=V2,此時P($5).

【解析】

2

試題分析：(1)G的普通方程為工+丁=1，的直角坐標方程為x+y-4=0；(2)由題意，可設點P的直角坐

3

=|岳。4|=后疝3+工)一21

標為(百cosa,sina)=P到C2的距離d(a)

v23

jr3]

n當且僅當a=2E+二伏eZ)時，d(a)取得最小值，最小值為夜，此時P的直角坐標為(彳二).

622

試題解析：(1)G的普通方程為土+丁=1,C的直角坐標方程為x+y-4=0.

3

⑵由題意，可設點P的直角坐標為(百cosa,sina),因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(a)

的最小值，"(a)=/絲二產。二4]=近?+2)—21.

V23

7T31

當且僅當a