類型十五、因式分解的幾何應(yīng)用【解惑】2m2+5mn+2n2可以因式分解為方法：與前面類型幾何類似。用割補的方式把圖形分成幾份，用等面積法兩種方法表示，構(gòu)造等式。【融會貫通】1．將幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式．例如，由圖（1）可得等式：．將圖（2）所示的卡片若干張進行拼圖，可以將二次三項式分解因式為（

）A． B． C． D．2．如圖2所示的是圖1中長方體的三視圖，若用表示面積，，，則長方體的表面積為（

）A． B．C． D．3．如圖，四邊形是一個長方形，利用不同的方法可以計算出長方形的面積．通過分析圖形中所標(biāo)線段的長度，將多項式因式分解，其結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．4．甲、乙兩農(nóng)戶各有兩塊地，如圖所示，今年，這兩個農(nóng)戶決定共同投資搞飼養(yǎng)業(yè)．為此，他們準(zhǔn)備將這4塊土地?fù)Q成一塊地，那塊地的寬為（a+b）米，為了使所換土地的面積與原來4塊地的總面積相等，交換之后的土地的長應(yīng)該是（）米．A．a(chǎn)+bB．b+cC．a(chǎn)+cD．a(chǎn)+b+c5．如圖：邊長為a、b的長方形的周長為14，面積為10，則a2b+ab2的值為（

）A．35 B．70 C．40 D．906．如圖，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a+b=10，ab=20，那么陰影部分的面積是（

）A．20 B．30 C．40 D．107．如圖，中，，將沿方向平移個單位得（其中的對應(yīng)點分別是），設(shè)交于點，若的面積比的大，則代數(shù)式的值為（）A． B． C． D．【知不足】8．如圖，六塊紙板拼成一張大矩形紙板，其中一塊是邊長為a的正方形，兩塊是邊長為b的正方形，三塊是長為a，寬為b的矩形（）．觀察圖形，發(fā)現(xiàn)多項式可因式分解為____________．9．如圖，四邊形ABCD是一個長方形，根據(jù)圖中所標(biāo)注的線段長度表示長方形ABCD的面積，可得到的表示一個多項式因式分解的代數(shù)恒等式為_____．10．如圖，將一張長方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長都為的大正方形，兩塊是邊長都為的小正方形，五塊是長為，寬為的全等小長方形，且．（單位：cm）（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式可以因式分解為______．（2）若每塊小長方形的面積為，四個正方形的面積和為，則圖中所有裁剪線（虛線部分）長之和______．11．如圖，用四個完全一樣的長、寬分別為x，y的長方形紙片圍成一個大正方形，中間是空的小正方形．若，，判斷以下關(guān)系式：①；②；③；④；⑤．正確的是_____________（填序號）．12．如圖，整個大長方形的面積用式子表示為a2+3ab+2b2，觀察圖形，將這個式子分解因式為_____．13．已知a=2015x+2013，b=2015x+2015，c=2015x+2017，則多項式a2b2c2abbcac的值是_____.14．已知則___________________15．如圖①，是一個棱長為a的正方體中挖去一個棱長為b的小正方體(a>b)(1)如圖①所示的幾何體的體積是_______.(2)用另一種方法表示圖①的體積：把圖①分成如圖②所示的三塊長方體，將這三塊長方體的體積相加后得到的多項式進行因式分解.比較這兩種方法，可以得出一個代數(shù)恒等式____________________.16．已知a＝+2012，b＝+2013，c＝+2014，則代數(shù)式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是_____．17．如果x-y=1，xy=2，那么x3y-2x2y2+xy3=____18．已知a5﹣a4b﹣a4+a﹣b﹣1=0，且2a﹣3b=1，則a3+b3的值是_____19．利用分解因式計算：（1）22005﹣22004=____；（2）（﹣2）51+（﹣2）50=____．20．若a2﹣4a+b2﹣10b+29=0，則a=_____，b=_____．21．已知則代數(shù)式的值為_________．22．若x，y是大于3的質(zhì)數(shù)，但能使得x2+5xy+4y2為完全平方數(shù)，這樣的質(zhì)數(shù)對（x，y）是_____．23．如果一個兩位數(shù)a的個位數(shù)字與十位數(shù)字都不是零，且互不相同，我們稱這個兩位數(shù)為“跟斗數(shù)”，定義新運算：將一個“跟斗數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記，例如：a=13，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)31，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和，31+13=44，和與11的商44÷11=4，所以．根據(jù)以上定義，回答下列問題：（1）計算：____________．（2）若一個“跟斗數(shù)”b的十位數(shù)字是k，個位數(shù)字是2(k+1)，且，則“跟斗數(shù)”b=____________．（3）若m，n都是“跟斗數(shù)”，且m+n=100，則____________．24．已知正實數(shù)x，y，z滿足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值為____．25．閱讀下面材料：一個含有多個字母的式子中，如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對稱式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…含有兩個字母a，b的對稱式的基本對稱式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等對稱式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．請根據(jù)以上材料解決下列問題：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，屬于對稱式的是_______（填序號）；（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．①若，求對稱式的值；②若n＝﹣4，直接寫出對稱式的最小值．26．已知(2019－a)(2017－a)＝1000，請猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝______【一覽眾山小】27．閱讀與思考：下面是小華同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．年月日星期日巧用數(shù)學(xué)思想，妙解數(shù)學(xué)問題．今天，我去書店買書，無意間發(fā)現(xiàn)一本書上記錄了這樣一段有趣的話：“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)解題思路中一種重要的思維方法，貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的全過程，在多項式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛，比如整體代入，整體換元，整體約分，整體求和，整體構(gòu)造，……，很多問題若從局部求解，各個擊破，多數(shù)很難解決，而從全局著眼，整體思考，會使問題化繁為簡，化難為易，再復(fù)雜的問題也能迎刃而解．有這樣一道題：如果時，求的值，它的解題過程如下：方法一：當(dāng)時，原式．方法二：將當(dāng)做一個整體，那么當(dāng)時，原式．通過對比兩種方法，我得到了這樣一個結(jié)論：巧用數(shù)學(xué)思想解題，不僅有助于加深對代數(shù)式結(jié)構(gòu)的理解，而且還能提高我們做題的效率，同時也能培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維．嘗試應(yīng)用：(1)根據(jù)“方法二”，將代數(shù)式進行化簡；拓展探究：(2)已知，那么的值為___．28．【實踐探究】小明在學(xué)習(xí)“因式分解”時，用如圖1所示編號為①②③④的四種長方體各若干塊，進行實踐探究：(1)現(xiàn)取其中兩個拼成一個大長方體，如圖2，據(jù)此寫出一個多項式的因式分解：________________．【問題解決】(2)若要用這四種長方體拼成一個棱長為的正方體，需要②號長方體________個，③號長方體_____個，據(jù)此寫出一個多項式的因式分解：____________________．【拓展與延伸】(3)如圖3，在一個邊長為的正方體中挖出一個邊長為的正方體，據(jù)此寫出______________．29．我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)字等式，例如圖1可以得到．請解答下列問題：(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式________；(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；(3)小明同學(xué)用2張邊長為的正方形，3張邊長為的正方形，5張邊長分別為、的長方形紙片拼出了一個長方形，那么該長方形較長一邊的邊長為多少？(4)小明同學(xué)又用張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長分別為、的長方形紙片拼出了一個面積為長方形，那么________．30．如圖，將一塊邊長為的正方形紙片的四個角各剪去一個邊長為（）的小正方形．試用含a，b的代數(shù)式表示剩余部分的面積，并利用因式分解求當(dāng)，時，剩余部分的面積．31．如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．(1)請直接用含a，b的代數(shù)式表示__________，__________；(2)寫出利用圖形的面積關(guān)系所揭示的因式分解的公式：__________；(3)利用這個公式說明可以被10和20之間的兩個整數(shù)整除，求這兩個整數(shù)．32．如圖，有足夠多的邊長為的小正方形（A類），寬為、長為的長方形（B類）以及邊長為的大正方形（C類），發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三類圖形可