專題1.28通過作輔助線證明三角形全等方法與技巧（知識梳理與考點分類講解）全等三角形除了倍長中線、截長補短法外，還有其他很多方法，下面就一些基本方法作分類講練。

.【方法一】連接兩點【例1】如圖，已知：，，，，則（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】連接，可證≌，根據全等三角形對應角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度數，最后利用三角形內角和定理即可求解．解：連接，如圖，在與中，≌，，，，，，，，．故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，添加正確的輔助線是解題的關鍵．【舉一反三】【變式】如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗）在圖中，只要量出的長，就能求出工件內槽的寬的長，依據是．【答案】全等三角形的對應邊相等【分析】連接AB，，可以證△AOB≌△COD（SAS），依所據全等三角形對就邊相等得所以測量CD的長也就等于測量了工件內槽AB的長．解：連接AB，，如圖，∵點O分別是AC、BD的中點，∴OA＝OC，OB＝OD．在△AOB和△COD中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD（對頂角相等），OB＝OD，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴CD＝AB（全等三角形的對應邊相等）．故答案為：全等三角形的對應邊相等．【點撥】本題考查全等三角形的應用，在實際生活中，對于難以實地測量的線段，常常通過兩個全等三角形，轉化需要測量的線段到易測量的邊上或者已知邊上來，從而求解．【方法二】作平行線法【例2】如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【答案】C【分析】過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．解：過作的平行線交于，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，∵CQ＝PA，∴在中和中，，≌，，于，是等邊三角形，，，，，，故選：C．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【舉一反三】【變式】如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點，且，連接交于點．求讓：【答案】見詳解【分析】過點D作DE∥AC，交BC于點E，根據等邊三角形和平行線的性質得∠MDE=∠MEC，DE=CE，從而證明?EMD??CME，進而即可得到結論．解：過點D作DE∥AC，交BC于點E，∵是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴是等邊三角形，∴BD=DE，∵，∴DE=CE，又∵∠EMD=∠CME，∴?EMD??CME，∴．【點撥】本題主要考查等邊三角形的性質和判定定理以及全等三角形的判定和性質定理，添加輔助線，構造等邊三角形和全等三角形，是解題的關鍵．【方法三】作垂線法【例3】如圖1，已知四邊形ABCD，連接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延長CA到點E，使得AE＝AD，點F為AB上一點，連接FE、FD，FD交AC于點G．（1）求證：△EAF≌△DAF；（2）如圖2，連接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度數．【答案】（1）見分析；（2）∠DCF＝45°．【分析】（1）由垂直定義可得∠CAD=∠ACB=90°，再根據題意得∠EAF=∠DAF，即可證得結論；（2）過點F作FM⊥FA交AC于點M，由“AAS”可證△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可證△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．解：證明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS）；（2）如圖2，過點F作FM⊥FA交AC于點M，∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，∴∠FMA＝45°＝∠FAM，∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，∵EF＝FC，∴∠FEM＝∠FCA，在△AEF和△MCF中，，∴△AEF≌△MCF（AAS），∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，∵△EAF≌△DAF，∴∠EFA＝∠DFA，∴∠DFA＝∠MFC，∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∵DF＝EF＝CF，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠DCF＝45°．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【舉一反三】【變式】如圖1，已知四邊形ABCD，連接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延長CA到點E，使得AE＝AD，點F為AB上一點，連接FE、FD，FD交AC于點G．（1）求證：△EAF≌△DAF；（2）如圖2，連接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度數．【答案】（1）見分析；（2）∠DCF＝45°．【分析】（1）由垂直定義可得∠CAD=∠ACB=90°，再根據題意得∠EAF=∠DAF，即可證得結論；（2）過點F作FM⊥FA交AC于點M，由“AAS”可證△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可證△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．解：證明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS）；（2）如圖2，過點F作FM⊥FA交AC于點M，∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，∴∠FMA＝45°＝∠FAM，∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，∵EF＝FC，∴∠FEM＝∠FCA，在△AEF和△MCF中，，∴△AEF≌△MCF（AAS），∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，∵△EAF≌△DAF，∴∠EFA＝∠DFA，∴∠DFA＝∠MFC，∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∵DF＝EF＝CF，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠DCF＝45°．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【方法四】倍長中線法【例4】【閱讀理解】數學興趣小組活動時，老師提出如下問題：如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明提出了如下解決方法，延長線段至點E，使，連接．請根據小明的方法回答下列問題．(1)由已知和作圖能得到的理由是____________．A．

B．

C．

D．(2)探究得出的取值范圍___________．A．

B．

C．

D．【問題解決】(3)如圖2，在中，，，是的中線，求證：．【答案】(1)B；(2)C；(3)見分析【分析】（1）根據，，推出和全等即可，據此即可判定；（2）根據全等得出，，由三角形三邊關系定理得出，求出即可；（3）延長到F，使，連接，證明，得出，，證明，得出，證明即可．解：是中線，，在與中，，故選：B；（2）解：由知：，，，由三角形三邊之間的關系可得：，即，解得：，故選：C；（3）證明：延長到F，使，連接，如圖所示：是中線，，在與中，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵在和中，∴，∴，∴．【點撥】本題屬于三角形綜合題，主要考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，平行線的判斷和性質，全等三角形的性質和判定等知識點，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質和定理．【舉一反三】【變式】如圖，在中，為邊的中線，E為上一點，連接并延長交于點F，若，，，則的長為．【答案】2.4【分析】延長到點，使，首先證明，然后得到，，然后根據等腰三角形的性質得到，然后根據線段的和差求解即可．解：如解圖，延長到點，使，∵為邊的中線，∴∵，∴∴，∵∴∴∵，∴∴．故答案為：2.4．【點撥】此題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，解題的關鍵是正確作出輔助線．【方法五】截長補短法【例5】如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如圖，在上截取連接證明利用全等三角形的性質證明求解再證明從而可得答案．解：如圖，在上截取連接平分故選：【點撥】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，掌握以上知識是解題的關鍵．【舉一反三】【變式】如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（

）A．3 B．9 C．11 D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再證明CD=CE，進而代入數值解答即可．解：在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC=∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11．故選：C．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質；利用了全等三角形中常用輔助線-截長補短法構造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用的方法，注意掌握．【方法六】補全圖形法【例6】如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數量關系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝AD，見分析；（2）BEG是等腰直角三角形，見分析【分析】（1）延長BE、AC交于點H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．解：證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點撥】本題考查等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，理解等腰直角三角形的基本性質，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關鍵．【舉一反三】【變式】已知，如圖中，，，的平分線交于點，，求證：.【分析】延長BD交CA的延長線于F，先證得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再證△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出結論即可．解：證明：如圖，延長交的延長線于，平分【點撥】此題考查三角形全等的判定與性質，角平分線的性質，根據已知條件，作出輔助線是解決問題的關鍵．【方法七】旋轉法【例7】Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E為△ABC外一點，且∠CEA＝45°．求證：AE⊥BE．【答案】見分析【分析】首先過點作交的延長線于，易證得，即可得，繼而證得．解：證明：過點作交的延長線于，，，，，，在和中，，，，，即．【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線構造旋轉全等模型．【舉一反三】【變式1】如圖，等邊中，，則以線段為邊構成的三角形的各角的度數分別為．【答案】，，．【分析】通過旋轉至，可得是等邊三角形，將放在一個三角形中，進而求出各角大小。解：將逆時針旋轉，得到，∵，是等邊三角形，且旋轉角相等，則,∴是等邊三角形.則又∵∴故以線段三邊構成的三角形為所以故答案為：.【點撥】此題旨在考查圖形旋轉的特性和實際應用，以及等邊三角形的性質，熟練掌握圖形的旋轉的應用是解題的關鍵.【變式2】正方形，點E為平面內一點，連接，將繞點B順時針旋轉得到，連接，．已知點M為的中點，連接．(1)如圖1，①若點E為邊邊上一點，補全圖形；②判斷并證明線段和的數量關系．(2)如圖2，若點E是的內部一點，（1）中線段和的數量關系是否仍然成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．【答案】(1)①見分析，②，見分析；(2)成立，見分析【分