2023-2024學年湖北省孝感市高二上冊9月起點考試數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．22．已知，則（

）A． B． C．0 D．13．設，，，則a?b?c的大小關系為（

）A． B． C． D．4．在四面體中，，點在上，且,為中點，則（

）A． B．C． D．5．從分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無放回地隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數字之積是5的倍數的概率為（

）A． B． C． D．6．已知向量、是平面內的兩個不相等的非零向量，非零向量在直線上，則“且”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知，，則（

）A． B． C．3 D．8．四名同學各擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現的點數．根據四名同學的統計結果，可以判斷出一定沒有出現點數6的是（

）．A．平均數為3，中位數為2 B．中位數為3，眾數為2C．平均數為2，方差為2.4 D．中位數為3，方差為2.8二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．某短視頻平臺以講故事，贊家鄉，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩的新時代農村生活，吸引了眾多粉絲，該平臺通過直播帶貨把家鄉的農產品推銷到全國各地，從而推進了“新時代鄉村振興”．從平臺的所有主播中，隨機選取300人進行調查，其中青年人，中年人，其他人群三個年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說法正確的有（

）A．該平臺女性主播占比的估計值為0.4B．從所調查的主播中，隨機抽取一位參加短視頻剪輯培訓，則被抽到的主播是中年男性的概率為0.7C．按年齡段把所調查的主播分為三層，用分層抽樣法抽取20名主播擔當平臺監管，若樣本量按比例分配，則中年主播應抽取6名D．從所調查的主播中，隨機選取一位做為幸運主播，已知該幸運主播是青年人的條件下，又是女性的概率為0.610．已知不同直線，，不同平面，，，下列說法正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．拋擲一黃一白兩枚質地均勻的骰子，用表示黃色骰子朝上的點數，表示白色骰子朝上的點數，用表示一次試驗的結果，該試驗的樣本空間為，事件“關于的方程無實根”，事件“”，事件“”，事件“”則（

）A．A與互斥 B．A與對立C．與相互獨立 D．與相互獨立12．如圖，棱長為6的正方體中，點、滿足，，其中、，點是正方體表面上一動點，下列說法正確的是（

）

A．當時，∥平面B．當時，若∥平面，則的最大值為C．當時，若，則點的軌跡長度為D．過A、、三點作正方體的截面，截面圖形可以為矩形三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知向量，，若，則.14．如圖，三棱錐中，，點分別是的中點，則異面直線所成的角的余弦值是．

15．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率．16．在梯形中，，，，將沿折起，連接，得到三棱錐，當三棱錐的體積取得最大值時，該三棱錐的外接球的表面積為.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長度都為2，且兩兩夾角為．（1）求的長；（2）求與所成角的余弦值．18．在中，角所對的邊分別為、、，滿足(1)求角的大小；(2)若，且，，求的面積.19．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創造者.某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求樣本成績的第75百分位數；(3)已知落在的平均成績是61，方差是7，落在的平均成績為70，方差是4，求兩組成績的總平均數和總方差.20．如圖，三棱柱中，側面為矩形，且，為的中點，.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面的夾角的正弦值.21．杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦.本屆亞運會共設40個競賽大項，包括31個奧運項目和9個非奧運項目.同時，在保持40個大項目不變的前提下，增設了霹靂舞、電子競技兩個競賽項目.與傳統的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞.傳統的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率.假設最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍.雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組.之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍.雙敗賽制下會發生一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數，因此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？這里我們簡單研究一下兩個賽制：假設四支隊伍分別為A，B，C，D，其中A對陣其他三個隊伍獲勝概率均為p，另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為.最初分組時AB同組，CD同組.

(1)若，在淘汰賽賽制下，，獲得冠軍的概率分別為多少？(2)分別計算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據此簡單分析一下雙敗賽制下對隊伍的影響，是否如很多人質疑的“對強者不公平”？22．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段、的中點.(1)求證：平面；(2)若點為棱的中點，求點到平面的距離；(3)若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.1．C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2．A【分析】根據復數的除法運算求出，再由共軛復數的概念得到，從而解出．【詳解】因為，所以，即．故選：A．3．D【分析】根據對數函數單調性可得，，根據指數函數單調性可得【詳解】，，，所以故選：D．4．B【分析】根據空間向量的線性運算可得答案.【詳解】點在線段上，且，為中點，，，．故選：B．5．A【分析】利用古典概型概率的計算公式即可求出結果.【詳解】根據題意可知，從6個數字中無放回地隨機抽取兩張，共有種，若要是5的倍數，則兩張卡片中必有一張是5；若第一張抽到的是5，共有5種抽法；若第二張抽到的是5，共有5種抽法；共10種抽法；所以所求概率為.故選：A6．B【分析】根據充分條件，必要條件的概念，及線面垂直的判定定理及性質，以及兩非零向量垂直的充要條件即可判斷．【詳解】解：①由，得，；、所在直線不一定相交，所在直線為，得不到，即且不是的充分條件；②若，向量、所在直線在平面內，在直線上，，，且，即且是的必要條件；綜上得且是的必要不充分條件．故選：B．7．B【分析】根據兩角和的正切公式可得，利用三角恒等變換結合齊次式問題運算求解即可.【詳解】因為，則，解得或，且，則，所以，可得.故選：B.8．C【分析】根據題意舉出反例，即可得出正確選項．【詳解】解：對于A，當投擲骰子出現結果為1，1，2，5，6時，滿足平均數為3，中位數為2，可以出現點數6，故A錯誤；對于B，當投擲骰子出現結果為2，2，3，4，6時，滿足中位數為3，眾數為2，可以出現點數6，故B錯誤；對于C，若平均數為2，且出現6點，則方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均數為2，方差為2.4時，一定沒有出現點數6，故C正確；對于D，當投擲骰子出現結果為1，2，3，3，6時，滿足中位數為3，平均數為：＝（1+2+3+3+6）＝3方差為S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出現點數6，故D錯誤．故選：C．9．AC【分析】A選項，結合圖1和圖2求出三個年齡段中女性人數；B選項，在A選項基礎上，求出相應的概率；C選項，求出三個年齡段主播的比例，從而得到中年主播應抽取的人數；D選項，設出事件，利用條件概率公式求出答案.【詳解】A選項，由圖1可以看出選取300人中其他人群人數為，青年人人數為，中年人人數為，由圖2可以看出青年人中女性人數為，中年人中女性人數為，其他人群中，女性人數為，故該平臺女性主播占比的估計值為，A正確；B選項，中年人中男性人數為，故從所調查的主播中，隨機抽取一位參加短視頻剪輯培訓，則被抽到的主播是中年男性的概率為，B錯誤；C選項，三個年齡段人數比例為青年主播，中年主播和其他人群主播比例為，故用分層抽樣法抽取20名主播擔當平臺監管，若樣本量按比例分配，則中年主播應抽取名，C正確；D選項，從所調查的主播中，隨機選取一位做為幸運主播，設幸運主播是青年人為事件，隨機選取一位做為幸運主播，設幸運主播是女性主播為事件，則，，，D錯誤.故選：AC10．BC【分析】根據面面平行的判定以及性質可知A錯誤；由線面平行的判定定理可得B正確；利用面面垂直的性質可得C正確；由面面垂直性質可得D錯誤.【詳解】對于A，若，，，，此時可能相交，如下圖所示：

當，都與平行時，相交，故A錯誤；對于B，由，利用線面平行的性質可知存在直線滿足，且，又，所以，又，所以可得，即B正確；對于C，若，，，不妨設，如下圖所示：

假設不成立，過直線上一點作于點，作于點；由，，可知，，，這與“過平面外一點有且僅有一條直線與該平面垂直”矛盾，所以應重合為交線，所以，可得C正確；對于D，如圖所示：

若，，，此時可能斜交，不一定垂直，所以D錯誤；故選：BC11．BCD【分析】先用列舉法寫出一次試驗的基本事件，再根據條件寫出事件包含的基本事件即可判斷出選項A和B的正誤；再利用古典概率公式和事件相互獨立的判斷方法逐一對選項C和D分析判斷即可得出結果.【詳解】由題意得，，，包含36個樣本點.對于選項A：由，得，所以，，，，共包含30個樣本點，且，共包含6個樣本點，因為，所以A與不互斥，故A錯誤；對于選項B：因為，，共包含18個樣本點，且，共包含6個樣本點，因為，所以A與對立，故B正確；對于選項C：因為，所以，故與相互獨立，故C正確；對于選項D：因為，所以，故與相互獨立，故正確.故選：BCD.12．ABC【分析】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷AC選項；分別取、中點、，連接、、、、，，找出點P的軌跡，結合圖形求出的最大值，可判斷B選項；作出截面，分析截面的形狀，可判斷D選項.【詳解】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，

對于A選項：當時，則，因為，，設平面的法向量為，則，取，則，可得，所以，則，因為平面，所以當時，∥平面，故A正確；對于B選項：當時，為中點，分別取、中點、，連接、、、、，因為、分別為、的中點，所以∥，又因為∥且，則四邊形為平行四邊形，可得∥，所以∥，且平面，平面，所以∥平面，同理可得，∥平面，

因為，、平面，所以平面∥平面，當點為的邊上一點（異于點）時，則平面，則∥平面，故點的軌跡為的邊（除去點），則，同理可得，結合圖形可得，故B正確；對于選項C：當時，、分別為、的中點，如圖所示：此時點、、，，

當點在平面內運動時，設點，其中，，則，因為，則，解得，設點的軌跡分別交棱、于點、，則、，當點在平面內運動時，設點，其中，，則，則，設點的軌跡交棱于點，則，設點的軌跡交棱于點，因為平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，同理可得∥，所以四邊形為平行四邊形，且，，因此點的軌跡的長度即為平行四邊形的周長，故C正確；對于D選項：設截面交棱于點，連接、，由題意可知，截面與平面重合，因為平面∥平面，平面平面，平面平面，所以∥，同理可得∥，所以四邊形為平行四邊形，

因為，其中，則，，且，即與不可能垂直，所以平行四邊形不可能為矩形，即過A、、三點的截面不可能是矩形，故D錯誤.故選：ABC.13．【分析】由向量垂直的坐標表示以及數量積的坐標運算可解得的值.【詳解】根據題意由向量數量積的坐標表示可得；解得.故答案為.14．【詳解】如下圖，連結，取中點，連結，，則可知即為異面直線，所成角（或其補角）易得，，，∴，即異面直線，所成角的余弦值為.

考點：異面直線的夾角.15．【分析】根據題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質分析可得答案．【詳解】解：根據題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼的概率，故該密碼被成功破譯的概率．故．16．【分析】根據梯形的邊長可求出，由幾何體翻折過程中體積最大可得平面平面，由面面垂直性質可確定外接球的球心以及半徑，即可求得其表面積.【詳解】過點作，垂足為，如圖下圖所示：

因為為等腰梯形，，，所以，，可得，由余弦定理得，即，易知，所以，易知，當平面平面時，三棱錐體積最大，如圖所示：

此時，平面，易知，，記為外接球球心，半徑為，由于平面，，因此到平面的距離，又的外接圓半徑，因此外接球半徑，即可得球的表面積為.故方法點睛：在求解幾何體外接球問題時，需根據幾何體的特征確定球心位置，再利用半徑相等構造等量關系解出半徑即可.17．（1）；（2）.【分析】（1）設，由求出的長；（2）先計算，，，再由得出與所成角的余弦值．【詳解】（1）設由題意可知（2）又即與所成角的余弦值為18．(1)(2)【分析】（1）根據題意由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，即可得；（2）根據向量的比例關系可得，由余弦定理可解得，由面積公式即可求出結果.【詳解】（1））在中，因為，由正弦定理可得，所以，又，則，所以，因此.（2）由，且，，可得，，即；在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍）所以；即的面積為.19．(1)(2)84(3)，【分析】（1）根據圖中小矩形面積之和可求得；（2）利用頻率分布直方圖計算百分位數公式可得，第75百分位數為84；（3）將總體平均數代入總體方差公式計算可得總方差為.【詳解】（1）利用每組小矩形的面積之和為1可得，，解得（2）成績落在內的頻率為，落在內的頻率為，設第75百分位數為，由，得，故第75百分位數為84；（3）由圖可知，成績在的市民人數為，成績在的市民人數為，故；由樣本方差計算總體方差公式可得總方差為.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接與交于點，連接，則可得，再利用線面平行的判定定理可證得結論；（2）建系，求平面的法向量，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）連接與交于點，連接，由題意可知：點為的中點，且為的中點，則，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為，，，平面，所以平面，且平面，可得，則，因為，，，可得，即，以A為坐標原點，、、分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，可得，，，設平面的法向量為，則，令，，，可得設直線與平面的夾角為，則所以直線與平面的夾角的正弦值為.21．(1)，(2)淘汰賽賽制和雙敗賽制下獲得冠軍的概率為，雙敗賽制下，獲得冠軍的概率為，雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強者”,人們“對強者不公平”的質疑是不對的.【分析】（1）若拿冠軍則只需要連贏兩場，對于想拿到冠軍，首先得戰勝，然后戰勝中的勝者，然后根據獨立事件的乘法公式計算即可；（2）根據獨立事件的乘法公式分別算出在不同賽制下拿冠軍的概率，然后作差進行