矩陣可逆的若干判別方法摘要矩陣是數學中一個極其重要的概念，是線性代數的一個主要研究對象和重要工具，可逆矩陣在矩陣理論中占有非常重要的地位,判定矩陣是否可逆對矩陣的運算起著至關重要的作用.為了更便捷地求逆矩陣，本文根據不同矩陣的不同特點簡單介紹了幾種求逆矩陣的方法,其中有定義法、行列式法、初等變換法、伴隨矩陣判別法、秩判別法、特征值判別法等并對部分方法原理進行了簡要論證且給出了相應的例題.關鍵字：可逆矩陣；初等變換；秩；特征值.矩陣可逆的基本概念和定理1.1基本概念在數學中，矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合，最早來自于方程組的系數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見于統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關于矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。數值分析的主要分支致力于開發矩陣計算的有效算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定制的算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函數的泰勒級數的導數算子的矩陣。定義1.1級方陣稱為可逆的，如果有級矩陣,使得（1）這里是級單位矩陣.注可逆矩陣必為方陣,其逆必唯一,且與為同階方陣,即.定義1.2如果適合（1）,那么就稱為的逆矩陣,記作.定義1.3如果階方陣的行列式不等于0,則稱是非奇異的（或非退化的）；否則稱是奇異的（或退化的）.定義1.4設是矩陣中元素的代數余子式，矩陣,稱為的伴隨矩陣.定義1.5矩陣中一切非零子式的最高階數稱為矩陣的秩，記為.定義1.6設,稱矩陣的行向量組的秩為的行秩,矩陣的列向量組的秩為的列秩，矩陣的行秩等于矩陣的列秩,統稱為矩陣的秩,記為.定義1.7由單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.定義1.8矩陣的三類初等變換：(1)對調矩陣的兩行(列)；(2)矩陣的某行(列)乘以非零常數；(3)矩陣的某行（列）的倍數加到另一行（列）.第一類初等矩陣表示將單位矩陣的第行與第行對換后得到的矩陣：.注也可以由單位矩陣的第列與第列對換后得到的矩陣.第二類初等矩陣等于將常數乘以單位陣的第行（或列）而得到的矩陣：.第三類初等矩陣表示將單位陣的第行（第列）乘以后到第行（第列）上得到的矩陣：.定義1.9如果階矩陣滿足(即),則稱為正交矩陣.定義1.10如果矩陣可以由矩陣經過有限次初等變換得到，則稱矩陣與是等價的.1.2基本定理和推論定理1.1矩陣可逆的充分必要條件是非退化，而可逆時證明：由行列式按一行（列）展開的公式即可得出：（2）其中如果那么由（2）得（3）當，有（3）可知，可逆，且.反過來，如果可逆，那么有使.兩邊取行列式，得,因而，即非退化.定理1.2設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在的左側乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換相當于在的右邊乘以相應的階初等矩陣.定理1.3[克拉默法則]若非齊線性方程組的系數行列式，則方程組有唯一解，其解為其中是將系數行列式中第列的元素對應地換成方程組右端的常數項，而其余各列保持不變得到的行列式.若線性方程組的常數項，即，稱為齊次線性方程組.定理1.4若齊次線性方程組的系數行列式，則方程組只有零解.證：因為，由克拉默法則，齊次線性方程組有唯一解，又因，可知行列式中的第列元素全為零（），因為，齊次線性方程組只有零解.定理1.5任意一個矩陣都與一個形如的矩陣等價.矩陣稱為矩陣的標準型.證明：若,則已是標準型（此時）,結論成立.若,則中至少有一個元素不等于零，不妨設，用乘以第一行加到第行上，再將所得矩陣的第一列乘以加到第列上，并將化為1，于是矩陣化為，若，則已為標準型（此時），若，則按上面的方法繼續下去，最終有.推論1.1對于任意矩陣，存在階初等矩陣和階初等矩陣，使得令,，由于初等矩陣都是可逆矩陣，而可逆矩陣的乘積仍為可逆矩陣，因此,為可逆矩陣，從而有如下推論.推論1.2對于任意矩陣，存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得.當為階可逆矩陣時，由可逆的充分必要條件，.又由推論1.2，存在階可逆矩陣,,使得，從而于是只有，所以由如下推論.推論1.3階矩陣可逆的充分必要條件是的等價標準型為.推論1.4階矩陣可逆的充分必要條件是可表示為有限個初等矩陣的乘積.證明：由推論1.1和推論1.3可知，可逆的充分必要條件是存在階初等矩陣和，使得而初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，從而有.第二章矩陣可逆的性質定義一個n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個n階方陣B，使得并稱B是A的一個逆矩陣。不可逆的矩陣稱為非奇異矩陣。A的逆矩陣記作A-1。定理驗證兩個矩陣互為逆矩陣按照矩陣的乘法滿足：

故A，B互為逆矩陣。逆矩陣的唯一性若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。證明：若B,C都是A的逆矩陣，則有所以B=C，即A的逆矩陣是唯一的。判定簡單的矩陣不可逆如

。假設有

是A的逆矩陣，則有比較其右下方一項：0≠1。[1]

若矩陣A可逆，則|A|≠0若A可逆，即有A-1，使得AA-1=E，故|A|·|A-1|=|E|=1則|A|≠0計算若|A|≠0，則矩陣A可逆，且其中，A*為矩陣A的伴隨矩陣。性質可逆矩陣一定是方陣。（唯一性）如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T

(轉置的逆等于逆的轉置）若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。證明逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。設B與C都為A的逆矩陣，則有B=C假設B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，因此相等。矩陣A可逆，有AA-1=I。（A-1）

TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。1）在AB=O兩端同時左乘A-1（BA=O同理可證），得A-1（AB）=A-1O=O而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O2）由AB=AC（BA=CA同理可證），AB-AC=A(B-C)=O，等式兩邊同左乘A-1，因A可逆AA-1=I。得B-C=O，即B=C。可逆等價條件齊次方程方程組AX=O僅有零解。A行等價與單位矩陣IA可寫成若干個初等矩陣之積。是。[1]

（當時，A稱為奇異矩陣），利用這個方法，來判定一個矩陣是否可逆更加方便。

證明必要性：當矩陣A可逆，則有AA-1=I。（其中I是單位矩陣）兩邊取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。由行列式的性質：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1則det（A）≠0，（若等于0則上式等于0）充分性：有伴隨矩陣的定理，有

（其中

是的伴隨矩陣。）當det（A）≠0，等式同除以det（A），變成

比較逆矩陣的定義式，可知逆矩陣存在且逆矩陣

求法求逆矩陣的初等變換法將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個nX2n的矩陣

對B施行初等行變換，即對A與I進行完全相同的若干初等行變換，目標是把A化為單位矩陣。當A化為單位矩陣I的同時，B的右一半矩陣同時化為了A。如求

的逆矩陣A-1。故A可逆并且，由右一半可得逆矩陣A-1=

初等變換法計算原理若n階方陣A可逆，即A行等價I，即存在初等矩陣P1，P2,...,Pk使得

，在此式子兩端同時右乘A-1得：

比較兩式可知：對A和I施行完全相同的若干初等行變換，在這些初等行變化把A變成單位矩陣的同時，這些初等行變換也將單位矩陣化為A-1。[2]

如果矩陣A和B互逆，則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等于這兩個矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個矩陣的行列式都不為0。也就是說，這兩個矩陣的秩等于它們的級數（或稱為階，也就是說，A與B都是方陣，且rank(A)=rank(B)=n）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行變換，或者只經由初等列變換，變為單位矩陣。伴隨矩陣法如果矩陣

可逆，則

注意：

中元素的排列特點是的第k列元素是A的第k行元素的代數余子式。要求得

即為求解

的余因子矩陣的轉置矩陣。A的伴隨矩陣為

，其中Aij=（-1）i+jMij稱為aij的代數余子式。性質2.1若是可逆矩陣，則其逆矩陣唯一.證明：若都是的逆矩陣，則與均滿足式，即從而有即的逆矩陣是唯一的.性質2.2若可逆，則可逆，且證明：由可得可逆且性質2.3若可逆，則也可逆，且證明：因為,所以可逆，且性質2.4若,都是階可逆矩陣，則可逆且證明：若,可逆，則，存在且所以可逆且若均為同階可逆方陣，則它們的乘積也可逆且性質2.5若均為可逆方陣，那么也可逆且性質2.6若可逆，，則可逆且證明：若可逆，則，又，可得,所以可逆，再由得性質2.7若可逆，則.證明：若可逆，則存在，使得,。由方陣的行列式性質有,由以上得即有,且性質2.8矩陣與它的具有相同的可逆性，即可逆，可逆,且性質2.9對于初等矩陣有，，第三章矩陣可逆的充分必要條件以下各條件，對于矩陣可逆來說是等價的：3.1矩陣的行列式不等于0可逆；3.2矩陣可表示成一系列初等矩陣的乘積可逆；證明：可以表示成初等矩陣的乘積,由于初等矩陣都可逆,則一定可逆；反過來，可逆,則一定可以寫成初等矩陣的乘積,如果不能寫成初等矩陣的乘積,則矩陣一定不可逆,矛盾.所以矩陣可逆.3.3矩陣的特征值都不為0可逆；證明：的特征值不為零,則行列式不為零,所以可逆；反過來，可逆,則行列式不為零,所以特征值都不為0.3.4矩陣等價于階單位矩陣可逆；3.5矩陣的列(行)向量組線性無關；證明：的行（列）向量線性無關,則由行列式的性質知道的行列式不為零，則可逆；當然如果可逆,則的行列式一定不為零,如果其行（列）線性相關，則行列式為零,與已知條件矛盾.3.6齊次線性方程組僅有零解可逆；證明：齊次線性方程組僅有零解,由克拉默法則知的行列式不為零,所以矩陣可逆；矩陣可逆,則一定有解唯一,即只有零解.3.7非齊次線性方程組有唯一解可逆；證明：有唯一解,則的行列式不為零，故可逆；反過來，可逆，則行列式不為零,由克拉默法則知有唯一解.3.8存在可逆矩陣,使得可逆，其中；證明：同推論的秩等于，即可逆.證明：，矩陣滿秩,即行向量、列向量均線性無關,所以矩陣行列式不為零,矩陣可逆；反過來，矩陣可逆,所以行列式不為零,由行列式的性質知行向量（列向量）一定線性無關,所以.第四章矩陣可逆的基本判別方法4.1定義法由定義1.1可有定義法，級方陣稱為可逆的，如果有級矩陣，使得，這里是級單位矩陣.注：利用定義法，當條件中有矩陣方程時，通過矩陣運算規律從矩陣方程中湊出的形式，從而可得，這一方法一般也適用于抽象矩陣求逆.例1設，討論的可逆性并求.解：當，所以可逆.設，由定義知，則由矩陣乘法得解得所以當時，不可逆.例2設為非零矩陣，且,證明：與都可逆.解：由,根據可逆矩陣的定義得可逆，且又由根據可逆矩陣的定義得可逆，且注：定義法一般適用于求二級，三級可逆方陣的逆矩陣，或是適用于抽象矩陣，級數高的可逆矩陣不采取這種方法.因為矩陣的級數越大，方程組所含的方程越多，計算量一般非常大，解方程就很困難.4.2公式法或伴隨矩陣法由定理1.1可得到公式法，當級方陣可逆時.注：求逆矩陣的公式，同時可以判定一個矩陣的可逆性，但它的計算量一般非常大.例3求的逆矩陣.解：的伴隨矩陣又所以由公式得.注：由于計算需計算個階行列式，同時還要計算，計算量較大，且容易出錯，因此用公式法求矩陣的逆矩陣一般適用于低階矩陣或較簡單的高階矩陣，或用于證明中；此法不適用于分塊矩陣.4.3初等變換求逆法初等行變換法矩陣是階可逆矩陣，可通過一系列的初等行變換將化為單位矩陣，即,則而可逆，且是一系列初等矩陣的乘積.具體方法如下：初等列變換法方法如下：注：具體數字的矩陣的求其逆矩陣時，常用初等變換法，這是實際應用中比較簡單的一種方法.例4利用矩陣的初等變換，求方陣的逆矩陣。故注：用初等行變換法求時，對只能施行一系列初等行變換，而不能用初等列變換；同理對只能施行一系列初等列變換，而不能用初等行變換.4.4分塊矩陣求逆法若，分別為階和階可逆矩陣時，則有（1），（2），（3），（4）我們對（4）作下證明：證明：因為均可逆，由拉普拉斯展開式有所以矩陣可逆.設，則即有解得故注：在處理較大的矩陣時，常常對矩陣進行分塊，把大矩陣運算化為小矩陣的運算.要特別注意的是，在做分塊的乘法時，應使左矩陣上列的分塊方式與右矩陣上行的分塊方式一致，分塊矩陣求逆矩陣，有時比用其他方法更簡便更準確.例5設，求.解：令,,.則,而,所以故注：利用以上四種方法都能求出可逆矩陣的逆矩陣，但相對而言，初等行變換法應用起來更方便，更簡單，而且不容易出錯.故我們在解題過程中一般采取初等行變換法.第五章矩陣可逆的其他判別方法5.1秩判別法由充分必要條件3.9可得到秩判別法，即，則階方陣可逆.例6設矩陣,判斷是否可逆.解：對矩陣進行初等行變換化為階梯型矩陣因階梯型矩陣有三個非零行，所以,所以不可逆.5.2向量組法由3.5可以得到判別矩陣可逆的向量組法，此法同秩判別法有很大的關聯.例7：判定矩陣的可逆性.解：令，，則可表示成因為,所以線性相關，故不可逆.5.3線性方程組判別法1.齊次線性方程（1）,即(其中為該齊次線性方程組的系數矩陣）只有零解可逆.證明：用分別代表系數矩陣各列,則齊次方程組（1）可寫成,方程組只有零解,即,從而線性無關，而線性無關的充要條件為可逆.非齊次線性方程（2），即（其中為該方程組的系數矩陣）有唯一解可逆.證明：用分別非齊次線性方程（2）代表系數矩陣各列，即 ,則方程組的向量形式為,由,知成的一組基,故每個向量都可以寫成的線性組合的形式，即,且系數由唯一決定.換句話說,命題中的方程組有唯一解.反過來若方程組有唯一解,則必然有,否則方程組無解或有無窮多解.5.4特征值判別法由充分必要條件3.3可以得到特征值判別法，即矩陣可逆時是它的特征值不等于零.例8判斷是否可逆.解:由特征值法：解得特征值為特征值全不為0，所以矩陣可逆.第六章一些特殊矩陣的可逆性特例6.1單位矩陣是可逆的.證明：因為顯然成立,故根據矩陣可逆的定義可知單位矩陣可逆,進而知道,所以也是可逆的.特例6.2令對角矩陣,若它的主對角線上的元均不為零,則可逆.證明：記,,因為,故根據矩陣可逆的定義可知,是可逆的.特例6.3數量矩陣可逆.證明：因為,而單位矩陣是可逆的,由矩陣可逆性質知,故可逆.特例6.4當時,有,矩陣稱為上三角形矩陣,可逆上三角形矩陣的逆仍是上三角形矩陣.證明:令,設是的逆,即,比較和的第一列元素：因為,所以進而.同理可以比較其它列,得時,,所以是上三角形矩陣,故可逆上三角形矩陣的逆仍是上三角形矩陣.注:此結論對下三角形矩陣也是成立的.特例6.5正交矩陣是可逆的,且. 例9已知為一對稱正交陣,求的逆矩陣.解：因為為正交陣，由定義知，故,所以特例6.6解矩陣方程的基本方法有：方法1：若可逆，則,可以先求出，再做乘法求出，也可以用行變換法直接求出，即方法2：若不可逆，則可設未知數列方程用高斯消元法化為階梯形方程組.例10已知,求.解：由于，矩陣可逆，且，所以小結本文的第一章對矩陣的諸多定義、性質進行了介紹；第二、三章介紹可逆矩陣的性質和一些充分必要條件；第四章介紹了判別矩陣可逆的一些基本方法，其中有定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法；第五章介紹了判定矩陣可逆的一些其他判別方法，其中包括秩判別法、線性方程組判別法、特征值判別法、和向量組法。本文對一些判斷矩陣是否可逆的方法進行了論證，并舉例進行說明，使讀者對各種判別方法的使用有一個較清楚的認識.參考文獻[1]苗寶軍.翻轉課堂教學模式在高等代數課程中的設計及實效性研究[J].科教文匯（上旬刊），2017（09）：61-64.[2]龍艷華，王學平.零和自由半環上的半可逆矩陣[J].四川師范大學學報（自然科學版），2017，40（04）：450-456.[3]周慧倩.可逆矩陣的初等變換對其逆矩陣的影響[J].河南教育學院學報（自然科學版），2017，26（02）：52-54.[4]陳小明，游偉青，李文喜，蔣浩.一類可逆矩陣在保密通信中的應用[J].信息網絡安全，2017（05）：7-13.[5]王良晨，胡學剛，李玲.矩陣可逆的充要條件[J].科教文匯（中旬刊），2017（04）：39-40.[6]李淑芝，胡琴，鄧小鴻.灰度共生矩陣紋理特征選塊的可逆圖像水印[J].光電子?激光，2017，28（04）：411-418.[7]陳瑞，王星星.矩陣可逆的若干判別方法研究[J].棗莊學院學報，2017，34（02）：66-71.[8]張新文，王佳.基于可逆矩陣加密技術的保密通信數學模型[J].西南師范大學學報（自然科學版），2017，42（02）：166-170.[9]劉漢超，徐曉偉.可逆上三角矩陣上的加性映射[J].吉林大學學報（理學版），2017，55（01）：79-81.[10]張楠，海國君，阿拉坦倉.算子矩陣的左可逆補[J].內蒙古大學學報（自然科學版），2017，48（01）：30-33.[11]吳肇星，金鑫，宋承根，張春偉，李曉東.基于隨機可逆矩陣的3D點云模型加密[J].系統仿真學報，2016，28（10）：2455-2459.[12]肖瀅.逆矩陣的判定及計算方法[J].高等數學研究，2016，19（04）：72-76.[13]王紫萍.考研中的伴隨矩陣A*[J].內江科技，2016，37（04）：103.[14]孫俊豐，黃俊杰，阿拉坦倉.一類缺項算子矩陣的可逆補[J].內蒙古大學學報（自然科學版），2016，47（01）：28-36.[15]俞美華.求逆矩陣的幾種方法[J].科技視界，2015（31）：177-178.[16]單彩虹，陳平，張歡，劉翠香.可逆矩陣的判定及其逆矩陣的求法[J].信息系統工程，2015（09）：123-124.[17]張慧芳，齊雅茹，黃俊杰，阿拉坦倉.一類缺項四分塊算子矩陣的可逆補[J].應用泛函分析學報，2015，17（03）：242-246.[18]劉艷花.矩陣可逆的一個充分必要條件的幾種講法[J].科技資訊，2015，13（26）：94-95+97.[19]修風光.逆矩陣相關問題的探討[J].科技展望，2015，25（15）：255.[20]賴璇，陳正新.可逆上三角矩陣群的交換自同構[J].福建師范大學學報（自然科學版），2015，31（03）：1-6.[21]譚佩貞.矩陣可逆判定方法的探討[J].科技展望，2015，25（10）：295.[22]吳德玉，阿拉坦倉.一類無界上三角算子矩陣可逆的