§4分離變量法1

《偏微分方程教程》

第四章雙曲型方程

§4分離變量法2§4分離變量法

分離變量法亦稱Fourier法,它是解混合問題的一個最普遍的基本方法.雖然在§2我們已經利用波的反射原理討論過混合問題,但在數學物理問題的研究中，有許多混合問題能用分離變量法求解,而不能用波的反射原理求解.

因此，分離變量法在求解偏微分方程的混合問題時特別重要，它不僅適用于波動方程，而且也適用于熱傳導方程、調和方程，以及某些形式更復雜的方程和方程組.在這一節我們將以一維波動方程和二維波動方程的混合問題為模型，闡述分離變量法的解題過程和理論基礎.《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程§4分離變量法3《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程4.1齊次波動方程的混合問題

考察兩端固定的弦的自由振動,此問題可歸結為求方程

滿足初始條件

(4.1)(4.2)及邊界條件

(4.3)的解,其中

是相容性條件.

首先，我們設法找到所有具有變量分離形式的滿足方程(4.1)和邊界條件(4.3)的非零特解.所謂函數具有變量分離形式，

下面我們用分離變量法來求解混合問題(4.1)-(4.3).

§4分離變量法4《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程是指它能寫成

(4.4)的形式.將(4.4)代入方程(4.1),有

此處

分離變量即得

(4.5)因為等式(4.5)的左端僅與

有關,右端僅與有關,因此存在常數

使得于是得到變量被分離后的兩個常微分方程

§4分離變量法5《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程(4.6)

(4.7)

現在我們可以通過解這兩個常微分方程來定出函數

和

．由邊界條件(4.3)得

由于我們所要求的

是非零解，故

,從而推知函數

應滿足附加條件

(4.8)為此，我們需要解如下含參數

題:

(4.9)

的二階線性常微分方程邊值問§4分離變量法6《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程

定義4.1

使常微分方程邊值問題(4.9)具有非平凡解的那些值稱為這個邊值問題的特征值;相應的非平凡解稱為對應于這個特征值的特征函數;尋找邊值問題(4.9)的所有特征值和特征函數的問題稱為特征值問題或施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)問題.現在我們來解特征值問題(4.9).分三種情形進行討論:

1)當

時,方程(4.6)的通解為

其中

是任意常數,要使它滿足邊界條件(4.8),就必須有

§4分離變量法7《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程因此必須同時為零,從而

恒等于零.此時特征值問題(4.9)沒有非平凡解.

2)當

時,方程(4.6)的通解為

所以

,從而

.此時,(4.9)也沒有非平凡解.

3)當

時,方程(4.6)的通解為

由于系數行列式§4分離變量法8《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程要它滿足邊界條件(4.8),必須

由這兩個等式推得

如果,那么

因此為了獲得非平凡解,必須要求

且

即

其中

是一個任意的正整數.所以,只有當

取值為

(4.10)§4分離變量法9《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程時,特征值問題(4.9)才有非平凡解.這些離散的

(4.9)的特征值,與這些特征值

就是特征值問題對應的函數

(4.11)就是特征值

所對應的特征函數.

對于

方程(4.7)的通解可寫成

其中

和

都是任意常數,于是對任意的

和

函數§4分離變量法10《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程滿足方程(4.1)和邊界條件(4.3).

由于方程(4.1)是線性齊次的,根據疊加原理,對任何有限個特解的線性組合也是它的解.對于無窮級數

(4.12)由級數理論知,只要級數(4.12)及它對

和

逐項求導兩次后所得的級數都一致收斂時，其和函數將仍是方程(4.1)滿足邊界條件(4.3)的解.現在的問題是設法確定常數

和使級數(4.12)及它對

和

逐項求導兩次后所得的級數都一致收斂,且和函數滿足初始條

件(4.2).這里先對級數(4.12)關于

形式求導,得

(4.13)§4分離變量法11《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程利用初始條件(4.2),在(4.12)和(4.13)中令

得

由此可知,如果函數

和在區間

上都能展成Fourier正弦級數,那么它們的系數

和

就由

(4.14)

給出.

§4分離變量法12《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程下面我們來證明,當初始數據

和(4.14)確定的

和

作系數的級數(4.12)就是混合問題(4.1)-(4.3)

的解為此,我們只要能證得級數(4.12)及對它逐項求導兩次后所得級數都一致收斂就行了．在區間

上有直到

階的連續導數,

階導數分段連續,且當

為偶數時

若把函數

展開成正弦級數

滿足一定的條件時,由

引理4.5

設函數

§4分離變量法13《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程

證:

由假設知,函數

可在區間

上展為Fourier

為奇數時,展開式為

則級數是收斂的.級數.當§4分離變量法14《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程其中

§4分離變量法15《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程當

為偶數時,展開式為

同樣可以推得

根據貝塞爾(F.W.Bessel)不等式,有

§4分離變量法16《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程由此可見,無論

是奇數還是偶數,都有

即利用Cauchy不等式,得

所以級數

收斂.引理證畢.

§4分離變量法17《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程

定理4.11

設在區間

上,函數

且三階導數分段連續,函數端點同時滿足相容性條件

二次連續可微

連續可微且二階導數分段連續,在

則由級數(4.12)定義的函數有二階連續導數,且是混合問題(4.1)-(4.3)的解.§4分離變量法18《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程

證:

由引理4.5知,級數

都是收斂的,因而級數(4.12)關于

和

數也都是一致收斂的,而且分別收斂于函數

級數(4.12)所定義的函數

是定解問題(4.1)-(4.3)的解.

逐項微分二次后所得的級的相應導數,所以定理證畢.§4分離變量法19《偏微分方程教程》第四章雙曲型方程第一步:

令

適合方程和邊界條件，從而

定出所適合的