1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.3.1空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,點(diǎn)P(1,3,-5)關(guān)于Oxy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(-1,3,-5)B.(1,3,5)C.(1,-3,5) D.(-1,-3,5)解析:點(diǎn)P(1,3,-5)關(guān)于Oxy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3,5).答案:B2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,若向量a在單位正交基底{AB,AD,AA1}下的坐標(biāo)為(2,1,-3),則向量a在單位正交基底{DA,DC,DD1}下的坐標(biāo)為A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)解析:因?yàn)閍=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=-DA+2DC-3DD1,所以向量a在基底{DA,DC,D答案:B3.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,BC=2,原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),點(diǎn)D在Oyz平面內(nèi),若∠BDC=90°,∠DCB=30°,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,-12,32解析:如圖,過點(diǎn)D作DE⊥BC,垂足為E.在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3,所以DE=CD·sin30°=32,OE=OB-BE=OB-BD·cos60°=1-12=所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,-4.如圖,PA⊥正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),并且AB=AP=1,以{DA,AB,AP}為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系,求MN,DC的坐標(biāo).解:設(shè)DA=e1,AB=e2,AP=e3,則DC=AB=e2,所以DC的坐標(biāo)為(0,1,0).因?yàn)镸N=MA+AP+PN=MA+AP+1=MA+AP+12(PA+AD+DC=-12e2+e3+12(-e3-e1+e=-12e1+12e所以MN的坐標(biāo)為-1B級(jí)能力提升5.已知向量OA和OB在單位正交基底{a,b,c}下的坐標(biāo)分別為(3,4,5)和(0,2,1).若OC=25AB,則向量OC在單位正交基底{a,b,c}下的坐標(biāo)是(A.（-65,-45,-85） B.（65,-4C.（-65,-45,85） D.（65,解析:因?yàn)锳B=OB-OA=(2b+c)-(3a+4b+5c)=-3a-2b-4c,所以O(shè)C=25AB=-65a-45b-85c,所以向量OC在單位正交基底{a,b,答案:A6.一個(gè)向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(1,2,3),則向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標(biāo)為32解析:設(shè)p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc.由題意,得x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=327.在正四棱錐V-ABCD中,O為底面中心,若AB=2,VO=3,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,確定各頂點(diǎn)的坐標(biāo).解:答案不唯一,如:以底面中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)轫旤c(diǎn)V在z軸正半軸上,且VO=3,所以它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是0,所以點(diǎn)V的坐標(biāo)是(0,0,3).因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)都在Oxy平面上,所以它們的豎坐標(biāo)都是0.又因?yàn)锳B=2,O為底面中心,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1,1,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)是(-1,-1,0).8.多空題如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,O,M分別是AC,DD1的中點(diǎn),寫出下列向量的坐標(biāo):AM=(-2,0,1),OB1=解析:設(shè)i,j,k分別是x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量,則AM=AD+DM=-DA+12DD1=-2i+0j+12×2k=-2i+OB1=OB+BB1=12DB+BB1=12DA+12DC+BB1=C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多選題在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的邊長為1,三棱柱的高為2,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則下列向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)正確的是()A.AA1B.A1C1=（-1C.DA1D.AB1=（-12,解析:設(shè)與DC,DA,DD1方向相同的單位向量為i,j,k,則DC=12i,DA=32j,DD1=2k,故AA1=DD1=2k,從而AA1=(0,0,2),故A正確.A1C1=AC=DC-DA=12i-32j,即A1C1=12,-32,0,故B錯(cuò)誤.DA1=DA+DD1=32j+2k,即DA1=0,答案:AD10.多空題在棱長為2的正四面體AOBC中,D是AB的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是33,1,2解析:設(shè)x軸、y軸、z軸上的單位向量分別為i,j,k,過點(diǎn)A作AG⊥平面OBC于點(diǎn)G,連接BG,并延長交OC于點(diǎn)M,如圖所示,則G為△OBC的重心,OM=j,MG=13MB=13×32×2i在Rt△ABG中,BG=23所以AG=AB2-所以GA=263所以O(shè)A=OM+MG+GA=33i+j+26即點(diǎn)A的坐標(biāo)是33因?yàn)镺B=OM+MB=j+3i,所以O(shè)D=12(OA+OB=1=233i+j+6即OD的坐標(biāo)是2311.已知在棱長為2的正四面體ABCD中,以△BCD的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為z軸,OC所在直線為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,x軸與BC交于點(diǎn)E,M為AB的中點(diǎn),求OM的坐標(biāo).解:由題意,易知OE=13BD=23,△BCD的中線長為32×2=3,則所以