2022-2023學年上海市青浦高一上學期期中數學試題

一、單選題

1.如圖，U表示全集，4B是u的子集，則陰影部分所表示的集合是()

A.Ar>BB.A<JBC.D.AuB

A

【分析】根據韋恩圖寫出陰影部分的集合表達式即可.

【詳解】由韋恩圖知：陰影部分為ZcB.

故選：A

2.下列不等式恒成立的是()

A.a+b<2^\ai\B.a2+b2>-2ab

C.a+h>—2yj\ah\D.a2+b2<2ab

B

【分析】取"=31=4可判斷A；a2+h2+2ah=^a+b)~>0B；a=-2,h=C；

片+6一2"=(“-與220可判斷口.

【詳解】對于A,取4=3,6=4,。+6=7,曲=12,則744G不正確，所以A不正確；

對于B,a2+b2+2ab=(a+h)2>0,^a2+b2>-2ab,所以B正確；

對于C,取。=-2,6=-4,°+匕=-6,必=8,則-62-4夜不正確，所以C不正確；

對于D,a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以/+〃42ab,所以D不正確.

故選：B.

3.“a=0”是關于x的不等式以的解集為R的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

B

【分析】取a=0，6=1時可判斷充分性；當不等式ar-bN1的解集為R時，分tz>0,a<0,“=0討

論可判斷必要性.

【詳解】若。=0,取6=1時，不等式or-210-121,此時不等式解集為0；

當”>0時，不等式公-。21的解集為{x|xN四},

a

當a<0時，不等式亦-匕21的解集為{x|xWtd},

a

當”=0,且64-1時，不等式ox-bNl<=>-人21o匕V-1,

所以，若關于x的不等式依-人21的解集為R,則。=0.

綜上，“a=0”是關于*的不等式ax-h>1的解集為R的必要非充分條件.

故選：B

4.設S是實數集R的一個非空子集，如果對于任意的aleS（a與/，可以相等，也可以不相等），

a+beS且a-beS,則稱S是“和諧集”.則下列命題中為假命題的是（）.

A.存在一個集合S,它既是“和諧集”，又是有限集

B.集合"1x=Z石,ZwZ}是“和諧集”

C.若印邑都是“和諧集”，則5皿邑二0

D.對任意兩個不同的“和諧集f同，總有S?S?=R

D

【分析】根據已知中關于“和諧集''的定義，利用題目四個結論中所給的運算法則，對所給的集合進

行判斷，特別是對特殊元素進行判斷，即可得出答案.

【詳解】解：A項中，根據題意$={0}是“和諧集”，又是有限集，故A項為真命題；

B項中，設與=匕6,9=網6,人,七eZ，則為+々=（匕+玲）百eS，％=（4—的）wS，

所以集合{Rx=是“和諧集”，故B項為真命題；

C項中，根據已知條件，匕可以相等，故任意“和諧集''中一定含有0,所以，CIS?#。，故C項為

真命題；

D項中，取S|={x|x=2《keZ},邑={X|X=3Z:,A€Z},E.S?都是“和諧集”，

但5不屬于耳，也不屬于邑，所以￡US?不是實數集，故D項為假命題.

故選：D.

二、填空題

5.集合4={1,2],B={2,3},則ACB=.

{2}

【分析】直接利用交集的定義求解.

【詳解】解：；A={1,2},8={2,3）,

2}D{2,3}={2}.

故{2}.

6.已知集合A=忖”,（）},若濟人，則實數a的值為.

2

【分析】根據集合元素的性質可求實數a的值.

【詳解】因為aeA,故a=0或/-a=a,

若。=0,則/_〃=〃=0,與元素的互異性矛盾，舍；

若片―a=a,則a=2或a=0（舍），而”=2時，符合元素的互異性，

故實數a的值為2,

故2.

7.設小人為實數，則/+〃_2a-2b-2（填\，（或W"）

>

【分析】利用作差法比較即可.

【詳解】因為（4+/）_（24_26_2）=（4_1）2+（6+1）220

^\^a2+b2>2a-2b-2

故2

8.關于x的方程%2-8%+4=0的兩根為5,三，則,+'=____.

xx2

2

【分析】利用韋達定理求出兩根關系即可求出.

【詳解】由題意得用+占=8,x/=4,所以，+'=主咨=2.

為x2x）x2

故2.

9.已知e"，=3,ln2=n,則

72

【分析】把對數式化成指數式，再利用指數幕運算求得式子的值.

【詳解】由ln2=〃=e"=2,

所以e2m+3n=e2m.e3n=(em)2-(en)3=9-8=72.

故72

10.命題“若則》(萬一1)>0”是真命題，實數a的取值范圍是.

[1,+00)

【分析】利用充分條件的概念和集合間的包含關系即可求解.

【詳解】由題意得，是(x-l)x>()的充分條件，

由(x-l)x>0可得x<0或x>l,

從而{》以>4}1{幻》<0或》>1},

從而aNl.

故數a的取值范圍是U,”).

故答案為

金40

11.若關于x的不等式組x-2的解集是0,則實數a的取值范是_____.

|x-a|42

(-<o,-l)o[4,+ao)

【分析】分別求出土二WO和|x-a|42的解集，由不等式組x-2的解集是0,即可得出答案.

7\\x-a\<2

]乂40,

【詳解】由<X一2可得：l<x<2,

xw2

又因為忖-4<2可得—2+q<x<2+a,

因為不等式組x-2的解集是0,

卜”2

所以一2+aW2或2+a<l,解得：a*4或°<一1,

所以實數。的取值范是.(7,-1)34,的)

故答案為.(Y),T)34,+8)

12.集合A={x||x-a|=l},B={i,-3,b},若=則對應的實數對(a,。)有對.

4

【分析】解出集合A,再根據交集的性質，子集的定義分類討論即可求出.

【詳解】因為A={x||x—a|=l}={a+l,a—l},(a-l<a+l),B={l,-3,b},

“「J或"一JI或a-\=\

而4cB=A=>Aq3,所以,

a+l=l-a+l=b

故4.

13.己知關于x的不等式履2_2x+6A<0有解，則實數火的取值范圍是.

【分析】根據三個“二次”的關系，分類討論即可解出.

【詳解】因為不等式履2-2x+6A<0有解，當上W0時，顯然不等式有解；當k>0時，不等式

[八=4-24/>0

"2—2x+6ZvO有解等價于方程依2一21+6%=0有兩相異實根，所以，八，解得:

\k>0

0<2〈在，綜上，實數人的取值范圍是

6

故卜閣.

14.已知非零實數X、y滿足X?+沖+9=3,則d-xy+V的最小值是.

【分析】利用基本不等式結合已知條件求出孫的取值范圍，再由X?-盯+V=3-2肛結合不等式的

基本性質可求得結果.

【詳解】因為公+丁之？回當且僅當丫=w時，等號成立.

所以，3=x2+y2+xy>2|xy|+xy.

若孫20,則323孫，可得個41,此時04個41；

若孫40,則32-2肛+肛=一孫，可得孫2-3,此時一34歲40.

綜上，-34^41.

所以，x2-xy+y1=(x2+Ay+y)-2j(y=3-2xye[l,9].

所以--孫+y2的最小值是1.

故1

15.已知非空集合M滿足：對任意xe",總有Ve用且正e用，若〃={0,1,2,3,4,5},則滿足

條件的M的個數是.

11

【分析】根據集合M的元素特征以及有限集的子集個數即可解出.

【詳解】因為非空集合例至少含有一個元素，而且根據題意可知，集合M中不能含有0」，且2,4不

能同時存在于集合，所以由集合{2,3,4,5}的非空子集個數為24-1=15,再排除不符合題意的

{2,4},{2,3,4},{2,4,5},{2,3,4,5},故滿足題意的M的個數是15-4=11.

故11.

16.三個同學對問題“已知肛且〃?+”=1,求的最小值”提出各自的解題思路：

tnn

甲：_1+_1="三+吧2=2+巴+‘，可用基本不等式求解；

mnmntnn

11m+n1

乙：一+—=——=—=—~可用二次函數配方法求解；

tnnmnmnm{\-ni)

丙：—+—=(—+—)(w+H)=2+—+—,可用基本不等式求解；

tnnmnmn

2[

參考上述解題思路，可求得當x=_______時，y=—^-^-------2o<x<io。>0有最小值.

x2100-X2

1100a

V?+1

【分析】甲的思路應用的條件是分母相加為常數，乙的思路的應用條件是通分后分子應為常數，丙

的思路為1的代換，注意基本不等式取等號的條件.

【詳解】按照甲的思路：

a21

,"乒+]00_工2

1""卜2+1(乂)-巧+f+100-*2

-loo?+loo-%2

2

1r2,“poo-―)x'

=---a+14------z-----1------Z-

100x2100-x2

因為0<x<10,所以100-/>。

由基本不等式得，一,，

x2100-x2

當且僅當叭M二丁)=3，。>0,即苫=焙時等號成立.

x2100-x2v?+l

按照乙的思路:

〃216J([00—)+/

y=，發現與設想不一樣，故放棄此思路.

r100-x'x(10()-x)

按照丙的思路：

a21

"h]00T2

=(二十——!~~-)?—(x2+100-x2)

100-x2J100v)

22

14(100-x)?x

a2+l+—

-100100-x2

因為OvxvlO,所以100-/>()

由基本不等式得，“平°°-1)+一2,

X-100-X2

當且僅當fl,00二")=、，。>0,即心包時等號成立.

x2100-x21

故當x=、慳電■時,y=「+——!70Vx<10。>0有最小值.

故答案為.

三、解答題

17.已知入，ywR+,且x+y>2,求證：士與山中至少有一個小于2.

證明見解析.

1^>2

【分析】假設牛與手都大于或等于2,即?

,兩式相加得出與已知矛盾，可證得原命題

山22

X

成立.

1+X3

------>2

【詳解】證明：假設號與字都大于或等于2,即，y

1+V-

—^->2

x

l+x>2y

因為x,yeR+,故可化為1+yR兩式相加,得"2.

與已知x+y>2矛盾.所以假設不成立，即原命題成立.

本題考查反證法的證明，考查學生邏輯思維能力，屬于中檔題.

18.已知關于*的絕對值不等式.|x+l|+|x-l|>N

(1)當。=0時，求不等式的解集；

(2)若對于任意的實數x,以上不等式恒成立，求實數。的取值范圍.

⑴(—00,—2)U(2,+8)

⑵ae(-oo,-2)u(l,+oo)

【分析】(1)分類討論1,-Ivxvl和解不等式即可求出答案；

(2)由|x+l|+k-1|的幾何意義求出|x+l|+|x-l|的最小值為2,即2>土］，解不等式即可得出答案.

【詳解】(1)當a=0時，原不等式變為：由|x+l|+k—1>4

當1時，—%—1—x+l>4,解得—2；

當一Ivxvl時，x+l-x+l>4,無解；

當尤21時，x+1+x-l>4,解得x>2.

故所求不等式的解集為.(-8,-2)=(2,+。)

(2)由|x+l|+|x-1］在數軸上表示到-1與1的距離之和(或由三角不等式)，

|x+l|+|x—l|的最小值為2,

則有2>二，可化為"1>0,

a-\a-\

所以Q￡(Y,-2)U(l,+8).

19.1.已知集合A={x|-f+/nr+〃>o}=(-l,3),集合3=司/_以_2〃2<0}.

⑴求常數相、〃的值；

⑵設且〃是夕的充分不必要條件，求實數。的取值范圍.

⑴6=2,n=3

(2)(-8,-3］U/+8)

【分析】(1)把不等式的解集轉化為方程的兩個根，用韋達定理求解；(2)先求集合B,注意對a

進行分類討論，利用p是q的充分不必要條件，轉化為集合之間的包含關系，求解a的取值范圍

【詳解】(1)因為4={乂-丁+如+〃>0}=(T,3),所以-1和3是方程-￥+小+〃=0的兩個根，由

韋達定理得：—1+3=6，—1x3=—〃，解得：m=2,n=3

（2）x2-ax-2a2<0,解得：當a>0時，集合8=（-a,2a）,當a<0時，集合5=（%,一。），當。=0

時，解集為0

因為p是g的充分不必要條件，p.xeA,q:xeB

當”=0時，B=0,此時p是q的必要不充分條件，不滿足題意，舍去

（—a4—13

當。>0時，需要滿足（T3）u（-a,2a）,此時2,3，解得：a~l

當a<0時，需要滿足（T,3）=（2”,一〃），此時[“[3，解得：a--3

綜上：實數。的取值范圍為（-s,-3]U/+8）

20.運貨卡車以x千米/時的速度勻速行300千米，按交通法規限制504x4100（單位千米/時，假設

r2

汽油價格是每升6元，汽車每小時耗油（4+矗）升，司機的工資是每小時46元.

（1）求這次行車總費用了（元）關于*（千米/時）的表達式；

（2）當x為何值時，這次行車的總費用了最低？求出最低費用的值.

（1）丫=幺詈+竿（504x4100）；（2）當x=70B寸，這次行車的總費用y最低，最低費用為600元.

（1）計算本次行車所用時間，然后乘以每小時耗油量以及汽油價格為汽車的費用，再加上司機的費

用即為行車總費用；（2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值時的x的值.

【詳解】解：（1）行車所用時間，=“（》,根據汽油的價格是每升6元

X

而汽車每小時耗油（4+五）升，司機的工資是每小時46元

2

-r-—尸M四m衣300//Ax.46x3002100030X,“℃、

可得仃車總費用為y=---x6x(4+---)+------------+——(50<x<100)

xxx7

2100030x、c12100030x“八

y=-----+——>2-J----------=600

x7Vx7

當且僅當生四30%

X

即x=70時，等號成立

所以當x=7（）時，這次行車的總費用了最低，最低費用為600元

本題考查函數的應用，屬于中檔題.

方法點睛：（1）首先計算行車所用時間；

（2）行車總費用包含汽車的費用和司機的費用；

（3）行車總費用為行車時間乘以每小時耗油量乘以汽油的價格;

（4）司機的費用為司機每小時的價格乘以時間.求和即可.

21.對正整數〃，記/,,=｛1,2,3,…P?=^=\meln,kel^.

(1)用列舉法表示集合6；

(2)求集合2中元素的個數；

(3)若巴的子集A中任意兩個元素之和不是整數的平方，則稱A為“稀疏集”.證明：存在〃使得與能

分成兩個不相交的稀疏集的并集，且”的最大值為14.

⑴｛1,2,3,正，在逑，更，逆,石｝;(2)46；(3)證明見解析.

2233

【分析】(1)根據給定集合E,的意義計算列舉寫出即可；

(2)由每一個％值可得〃中的7個元素，再去掉計算過程中出現的重復元素即可得解；

(3)根據給定定義，證明〃215時K不能分成兩個不相交的稀疏集的并，再證明/能分成兩個不相交

的稀疏集的并即可得解.

【詳解】⑴依題意，=｛1,2,3｝,貝坨=｛金仙€/3，/€/3卜1,2,3,日,0，￥，￥，半,石.；

m

(2)顯然每一個k值，加值可取1,2,3,4,5,6,7七個不同數，即可得7個正的值，

當女=1時，｛mImw/:｝中團=1，，〃=2,加=3所對應的3個元素為1,2,3,另四個元素為4,