專題06正多邊形與圓考點(diǎn)類型知識(shí)串講（一）正多邊形與圓（1）正多邊形：各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形．（2）正n邊形的內(nèi)角和=180°（n-2）；正n邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)=180°(n-2)n；正n邊形外角和=360°；正n邊形的每個(gè)外角度數(shù)（3）圓與正多邊形的有關(guān)概念：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．半徑、邊心距，邊長(zhǎng)之間的關(guān)系：考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：正多邊形與圓——求角典例1：（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在AF上，Q是DE的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（

）A．30° B．36° C．45° D．60°【變式1】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AB上，則∠CME的度數(shù)為（

）

A．30° B．36° C．45° D．60°【變式2】（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AF上，則∠CMD的大小為（）A．60° B．45° C．30° D．15°【變式3】（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16考點(diǎn)2：正多邊形與圓——求邊長(zhǎng)、邊心距典例2：（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多邊形A1A2A3???An是⊙O的內(nèi)接正n邊形，已知⊙O的半徑為r，∠A1OA2①當(dāng)n變化時(shí)，α隨n的變化而變化，α與n滿足的函數(shù)關(guān)系是反比例函數(shù)關(guān)系；②若α為定值，當(dāng)r變化時(shí)，d隨r的變化而變化，d與r滿足的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系；③若n為定值，當(dāng)r變化時(shí)，S隨r的變化而變化，S與r滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式1】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【變式2】（2022秋·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，則邊心距OM的長(zhǎng)為（

）A．1 B．3 C．23 D．【變式3】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB=18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（A．10 B．12 C．15 D．20考點(diǎn)3：正多邊形與圓——求面積典例3：（2023·廣西梧州·統(tǒng)考二模）剪紙藝術(shù)是我國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，如圖是一幅包含了圓，正八邊形等圖形設(shè)計(jì)成的剪紙作品，已知圓的半徑是2，此作品的陰影部分面積是（）

A．π2 B．π C．2π D．【變式1】（2022秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF對(duì)角線FD上一點(diǎn)，S△AFO=4,S△CDO=1A．12 B．15 C．18 D．20【變式2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長(zhǎng)最小的是（

）A．B．C．D．【變式3】（2023·河北承德·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形的兩條對(duì)角線AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，則該三部分的面積比為（

）A．1:2:3 B．2:2:4 C．1:2:4 D．2:3:5考點(diǎn)4：正多邊形與圓的綜合應(yīng)用典例4：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則S

【變式1】（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)O重合，AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)P，將△OAP繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

【變式2】（2023·湖南株洲·校考三模）古人認(rèn)為“天圓地方”，故以圓璧祭天，以玉琮祭地，《周禮·春官·大宗伯》記載“以玉作六器，以禮天地四方”，長(zhǎng)江流域良渚文化，創(chuàng)制美玉，尤以琮（如圖1所示）、璧最為經(jīng)典．琮為內(nèi)圓外方之器，此玉琮素面琢磨細(xì)膩，色澤溫潤(rùn)，兩端射口稍露，比例恰到好處．如圖2，是“琮”的橫截面的示意圖，其“外方”是一個(gè)邊長(zhǎng)為10cm的正方形ABCD，內(nèi)圓圓O的圓心與正方形的中心重合，正方形的四個(gè)角上各有一個(gè)腰長(zhǎng)為4cm的等腰Rt△，圓O與其斜邊相切，則圓O的半徑為

【變式3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·校考三模）如圖所示，已知正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，連接AC，BD，相交于點(diǎn)P．若⊙O的半徑為1，以下結(jié)論正確的是①AC=2；②∠APD=135°；③△ABC的面積為2-12；

同步過關(guān)一、單選題1．（2022秋·廣東云浮·九年級(jí)校考期末）已知正六邊形的邊長(zhǎng)為4，則它的邊心距為（）A．1 B．2 C．3 D．22．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為2，△ABC是⊙O的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)DE在⊙O上．四邊形BCDE為平行四邊形，則平行四邊形BCDE的面積是（）A．43 B．4 C．2 D．233．（2023·山東青島·九年級(jí)青島二中校考期中）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑為5，則AB的長(zhǎng)度為（

）A．π B．2π C．5π D．105．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖①，直六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)面ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，現(xiàn)用一塊矩形紙板EFGH制作圖①中的直六棱柱，按圖②中的方案裁剪，則GF的長(zhǎng)是（

）A．（20+103）cm B．（30+103）cm C．（20+203）cm D．403cm6．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，正十二邊形A1A2…A12，連接A3A7，A7A10，則∠A3A7A10的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°7．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）利用圓的等分，在半徑為3的圓中作出如圖的圖案，則相鄰兩等分點(diǎn)之間的距離為（

）A．3 B．33 C．4 D．8．（2022·江蘇南通·校聯(lián)考一模）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是135°，則這個(gè)正多邊形的中心角為(A．20° B．45° C．60°9．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為(

)A．1 B．2 C．3 D．510．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3，則正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為（

）

A．3 B．6 C．33 D．11．（2022秋·湖北恩施·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD與正方形DEFG彼此相鄰且正方形ABCD內(nèi)接于半圓，點(diǎn)F在半圓上，若小正方形DEFG的面積為16cm2，則該半圓的半徑為（A．4+5cm B．9cm C．412．（2022秋·福建福州·九年級(jí)福州三牧中學(xué)校考期末）已知正五邊形的邊長(zhǎng)為1，則該正五邊形的對(duì)角線長(zhǎng)度為（

）．A．3 B．5-12 C．5+113．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．114．（2022秋·湖北孝感·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）半徑為a的圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是（）A．a(chǎn)2 B．2a2 C．315．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比（

）A．1：2：5 B．3：2：1 C．3：2：1 D．1：2：3二、填空題16．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）六個(gè)帶30°角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為2，求中間正六邊形的面積．17．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，⊙O的半徑為1，作兩條互相垂直的直徑AB，CD，弦AC是⊙O的內(nèi)接正四邊形的一條邊.若以A為圓心，以1為半徑畫弧，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AE，CE，弦EC是該圓一個(gè)內(nèi)接正多邊形的一邊，則該正多邊形的面積為．

18．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，則∠ADC的度數(shù)是．19．（2022秋·天津?qū)幒印ぞ拍昙?jí)階段練習(xí)）一個(gè)正六邊形的半徑為R，則這個(gè)正六邊形的邊心距為20．（2023春·廣東揭陽·九年級(jí)普寧二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n=2023時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為．21．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，有六個(gè)矩形水池環(huán)繞，矩形的內(nèi)側(cè)邊所在直線恰好圍成正六邊形ABCDEF，正六邊形的邊長(zhǎng)為4米．要從水源點(diǎn)P處向各水池鋪設(shè)供水管道，這些管道的總長(zhǎng)度最短是米．（結(jié)果保留根號(hào)）22．（2022秋·河北石家莊·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，則∠COB=°，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=．23．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF，若∠AFC＝126°，則∠BAF的度數(shù)為．24．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）圓內(nèi)接正方形的每條邊所對(duì)的圓心角的度數(shù)是．25．（2023·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”這是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到的“如何求圓的周長(zhǎng)和面積”的方法，即“割圓術(shù)”．“割圓術(shù)”的主要意思是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓．劉徽從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并逐次得到正多邊形的周長(zhǎng)和面積．如圖，AB是圓內(nèi)接正六邊形的一條邊，半徑OB=1，OC⊥AB于點(diǎn)D，則圓內(nèi)接正十二邊形的邊BC的長(zhǎng)是（結(jié)果不取近似值）．26．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)的比為1:2，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是．27．（2022秋·北京朝陽·九年級(jí)對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）校考期中）已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧CD，則∠BPC