八年級數學上分層優化堂堂清十二章全等三角形12.3三角形全等的重要模型角平分線有關的全等證明模型（解析版）學習目標：會利用角平分線構造全等三角形證明和計算；2、提高推理能力，獲得成功的體驗，增強學習的自信心。老師對你說：全等三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就全等三角形中的重要模型--角平分線模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。全等三角形的對應邊相等,對應角相等是證線段相等或角相等的重要依據,在解題過程中若不能直接運用,則需要通過作輔助線來構造全等三角形，若已知條件中存在角平分線可利用角平分線條件作輔助線構造全等三角形進而解決問題。模型一過角平分線上的點向角兩邊作垂線。過點D作DF⊥BC，交BC于點F△BED≌△BFD（AAS）方法：利用角平分線性質，取角平分線上一點，向被平分的角的兩邊作垂線注：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。目的：構造一組全等三角形【例1-1】如圖，的外角的平分線與內角的平分線交于點，若，求的度數．【答案】50°【分析】根據外角與內角性質得出∠BAC的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．【解析】延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，∴∠CAP=∠FAP，又∵∠CAP+∠PAF=∠CAF，∴∠CAP=50°．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據角平分線的性質得出PM=PN=PF是解決問題的關鍵．【例1-2】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o【答案】見解析.【分析】延長AD過C作CF垂直AD于F，由條件可證△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由條件AD＋AB＝2AE可證BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性質可得∠B＝∠FDC，問題得證．【解析】證明：延長AD過C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，∴△AFC≌△AEC(AAS)，∴AF＝AE，CF＝CE，∵AD+AB=2AE，又∵AD＝AF?DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，∴2AE＝AE＋BE＋AE?DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CBE中，CF＝CE∠CFD＝∠CEBDF＝BE，∴△CDF≌△∵∠ADC＋∠FDC＝180°，∴∠ADC+∠B=180o．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是牢記三角形全等的判定定理．【例1-3】如圖，在中，，、分別是、的平分線，、相交于點，試判斷和之間的數量關系.【答案】詳見解析【分析】如圖，過點F作，，垂足分別為H、G，根據角平分線，可得點F是的內心，則有，繼而根據三角形內心的性質可得，從而可得，繼而可得FE=FD.【解析】FE=FD，理由如下：如圖，過點F作，，垂足分別為H、G.是，的平分線AD、CE的交點，為的內心，.，，又；，，又，，.【點睛】本題考查了三角形的內心的性質，全等三角形的判定與性質解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．針對性訓練11.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF＋∠EAF＝180°，求證DE＝DF．【分析】過D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根據角平分線性質求出DN＝DM，根據四邊形的內角和定理和平角定義求出∠AED＝∠CFD，根據全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．【解析】證明：過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，即∠EMD＝∠FND＝90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN（角平分線性質），∵∠EAF＋∠EDF＝180°，∴∠MED＋∠AFD＝360°?180°＝180°，∵∠AFD＋∠NFD＝180°，∴∠MED＝∠NFD，在△EMD和△FND中∠MED＝∠DFN，∠DME＝∠DNF，DM＝DN，∴△EMD≌△FND（AAS），∴DE＝DF．點評：本題考查了全等三角形的判定和角平分線定義的應用，關鍵是正確作輔助線，進一步推出△EMD和△FND全等，通過做此題培養了學生運用定理進行推理的能力．2.已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．【答案】（1）見解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由見解析；（3）3．【詳解】（1）證明：如圖1，過點C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如圖2，過點C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；（3）解：如圖3，在BD上截取BH＝BG，連接OH，∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠ABD的平分線，∴點O到AD，AB，BD的距離相等，∴∠ODH＝∠ODF，∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．模型2截長補短構造全等三角形截長補短在BC在截取BF=BE延長BC至點F，使BF=AE△BED≌△BFD（SAS）△BED≌△BFD（SAS）【例2-1】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如圖①，當∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請證明AB=AC+CD；（2）①如圖②，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論，不要求證明；②如圖③，當∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）①AB=AC+CD；②AC+AB=CD，證明見解析．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE=45°，求出BE=DE=CD，進而得出答案；（2）①首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠BDE，求出BE=DE=CD，進而得出答案；②首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B=∠EDC，求出BE=DE=CD，進而得出答案．【解析】解：（1）∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED=90°，∵∠ACB=2∠B，∠C=90°，∴∠B=45°，∴∠BDE=45°，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；（2）①AB=AC+CD．理由：在AB上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠C=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠B+∠BDE=∠AED，∴∠B=∠BDE，∴BE=ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；②AC+AB=CD．理由：在射線BA上截取AE=AC，連接DE，∵AD為∠EAC的角平分線，∴∠EAD=∠CAD，在△AED和△ACD中，∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠ACD=∠AED，∵∠ACB=2∠B，∴設∠B=x，則∠ACB=2x，∴∠EAC=3x，∴∠EAD=∠CAD=1.5x，∵∠ADC+∠CAD=∠ACB=2x，∴∠ADC=0.5x，∴∠EDC=x，∴∠B=∠EDC，∴BE=ED=CD，∴AB+AE=BE=AC+AB=CD．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及三角形外角的性質等知識，利用已知得出△AED≌△ACD是解題關鍵．【例2-2】已知：如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD．【分析】在AB上取AE＝AC．連接DE，可得△ACD≌△AED，得出ED＝CD，進而通過線段之間的轉化即可得出結論．【解析】證明：方法1：在AB上取AE＝AC，連接DE，∵AE＝AC，∠1＝∠2，且AD＝AD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝2∠B，又∵∠AED＝∠B＋∠BDE，∴∠B＝∠BDE，∴EB＝ED，即△BED為等腰三角形．∴BE＝ED＝CD，∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD．點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及等腰三角形的性質等問題，能夠利用全等三角形的性質求證一些簡單的問題．【例2-3】如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，連接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求證：DE＝DF．【分析】在AB上截取AG＝AF，先證明△AGD≌△AFD，得出∠AGD＝∠AFD，DG＝DF；再根據角的關系求出∠4＝∠3，證出DE＝DG，即可得出結論DE＝DF．【解析】證明：在AB上截取AG＝AF，連接DG，如圖所示：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠2，在△ADG與△ADF中，AG＝AF，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△AGD≌△AFD（SAS）∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF又∵∠AED＋∠EDF＋∠DFA＋∠FAE＝360°，∠EDF＋∠BAC＝180°．∴∠AED＋∠AFD＝180°，又∠4＋∠AGD＝180°，∴∠4＝∠3，∴DE＝DG，∴DE＝DF．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、角的平分線的定義、等腰三角形的判定與性質；證明三角形全等和等腰三角形是解決問題的關鍵．針對性訓練21.已知：如圖，，，分別平分和，點E在上．用等式表示線段、、三者之間的數量關系，并證明．【答案】AB=AC+BD，證明見詳解．【詳解】解：延長AE，交BD的延長線于點F，∵，∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當∠ABC＝90°時，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數量關系，并加以證明．【答案】(1)見解析；(2)AE+CD=AC，證明見解析【解析】(1)證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；(2)解：AE+CD=AC，證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，則在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，過M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴，∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE，∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．鞏固提高1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F分別在AD，CD上，且∠EBF=60°，求證：EF=AE+CF。【答案】：方法一：補短法延長CF至點G，使CG=AE，連接GB在△CBG與△ABE中∴△CBG≌△ABE∴GB=EB，∠GBC=∠ABE∵∠D=60°，∠BCD=∠BAD=90°∴∠CBA=120°∴∠GBE=120°∵∠FBE=60°∴∠GBF=60°在△GBF與△EBF中∴△GBF≌△EBF∴GF=EF∴CF+AE=EF方法二：旋轉法如圖，將△BAE以B點為旋轉中心，旋轉120°至△BCG處∵△BCG為△BAE旋轉120°所得∴△BCG≌△BAE，∠GBE=120°∴GC=AE，BG=BE∵∠FBE=60°∴∠GBF=60°在△GBF與△EBF中∴△GBF≌△EBF∴GF=EF∴CF+AE=EF2．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．【答案】證明見解析．【分析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．先說明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性質和已知條件證得△AEG≌△AEF，最后再運用全等三角形的性質和線段的和差即可解答．【解析】延長EB到G，使BG=DF，連接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，做出輔助線構造全等三角形是解答本題的關鍵．3．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，請探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進而可得線段BE，EF，FD之間的數量關系是．（2）拓展應用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，FD之間的數量關系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）結論EF＝BE+DF仍然成立；證明見解析．【分析】（1）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題．【解析】（1）EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF．（2）結論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，如圖2，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．4.如圖所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A為y軸正半軸上的一點，點D為第二象限一動點，點E在BD的延長線上，CD交AB于點F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求證：∠ABD＝∠ACD；(2)求證：AD平分∠CDE；(3)若在D點運動的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數．【答案】(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析；(3)∠BAC=60°，理由見解析【解析】(1)證明：∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；(2)證明：過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N，如下圖所示：則∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，由(1)可知：∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴AM=AN．∴DA平分∠CDE．(角的兩邊距離相等的點在角的平分線上)；(3)解：∠BAC的度數為60°，理由如下：在CD上截取CP=BD，連接AP，如下圖所示：∵CD=AD+BD，∴AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP(SAS)，∴AD=AP，∠BAD=∠CAP，∴AD=AP=PD，即△ADP是等邊三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．5.已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點（點E不與點A，點D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請直接寫出和的數量關系．【答案】（1）36，126；（2）見解析；（3）【詳解】（1）∵，且，∴∠EAC=∠ACE=18°，∴∠DEC=∠EAC+∠ACE=36°，又∵是的平分線，∴∠BAD=∠CAD=18°，∵，∴∠ABE=36°，∴；故答案為：36，126（2）在上截取，連接，又∵AE=AE，，∴，∴，∵∠AFE=∠ACE+∠FEC，∠ABE=2∠ACE，∴，∴∴；（3）∵，∴，∵，，∠CAD=∠BAE，∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABE=2∠ACE，∴∠ACD=2∠ACE，∴CE平分∠ACB，∴點E到CA、CB的距離相等，又∵是的平分線，∴點E到AC、AB的距離相等，∴點E到BA、BC的距離相等，∴是的平分線，∴∠ABE=∠CBE，∴，又∵，∴，即．6.如圖①，是四邊形的一個外角，//，，點在的延長線上，，，垂足為．(1)求證：①平分；②．(2)如圖②，若，，．求的度數．【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)90°【解析】(1)解：①∵ADBC，∴∠C=∠CDE，∵BC=BD，∴∠C=∠CDB，∴∠CDB=∠CDE，∴DC平分；②如圖，過點F作FH⊥BD，交BD延長線于H，∵∠FDG=∠CDE，∠FDH=∠CDB，∠EDC=∠CDB，∴∠FDG=∠FDH，∵FG⊥AE，FH⊥BD，∴FH=FG，∠H=∠FGD=∠AGF=90°,∵FD=FD，∴Rt△FHD≌Rt△FGD（HL），∴DH=DG，∵，∴FB=FA，∴Rt△FHB≌Rt△FGA（HL）∴BH=AG，∵BD=BC，∴AG=BH=BD+DH=BC+DG，即AG=BC+DG；(2)解：∵AB=4，BC=3，DG=1，∴BD=BC=3，AG=BC+DG=3+1=4，∴AD=AG+DG=4+1=5，∵AB2+BD2=42+32=52=AD2，∴∠ABD=90°，過點F作FM⊥AB于M，交AD于N，如圖，則∠AMF=∠BMF=90°=∠ABD，∴FMBD，∴∠BFM=∠FBD，∵，∴FB=FA，∴AM=AB=2，∠AFM=∠BFM，∴∠AFM=∠FBD，由（1）②知，Rt△FHB≌Rt△FGA，∴∠FAG=∠FBD，∴∠FAG=∠AFN，∵FMBD，∴∠MFD=∠BDC，∵∠BDC=∠CDE=∠FDG，∴∠MFD=∠FDG，∴∠AFM+∠FAG+∠DFN+∠FDG=180°，∴2∠AFM+2∠DFN=180°，∴2∠AFD=180°，∴∠AFD=90°．7.已知：在四邊形中，于E，且．(1)如圖1，求的度數；(2)如圖2，平分交于F，點G在上，連接，且．求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，，過點F作，且，若，求線段的長．【答