（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形---圓》2.6正多邊形與圓知識點一知識點一正多邊形的相關概念1、正多邊形的概念：名稱定義正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的外接圓一般地，用量角器把一個圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點所得到的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多形的外接圓.中心正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.半徑外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.邊心距內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.中心角正多邊形每一條邊對應所對的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓.◆2、正多邊形的判定：一個多邊形必須同時滿足各邊相等，各角也相等才能判定其是正多邊形，兩個條件缺一不可，如菱形的各邊相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各邊不一定相等，因此它們不是正多邊形.◆3、正多邊形的對稱性：正n邊形（n≥3，n為整數(shù)）都是軸對稱圖形，都有n條對稱軸，且這些對稱軸都交于一點，當n為偶數(shù)時，正n邊形為中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.知識點二知識點二正多邊形的有關計算名稱公式內(nèi)角(n-2)中心角360°外角360°正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距rR周長CC=na面積SS=12ar·n=12知識點三知識點三正多邊形的畫法◆1、正多邊形的畫法：把一個圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點所得到的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.◆2、等分圓周的方法：（1）用量角器畫一個等于360°n的圓心角，它對著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，得到圓的n個等分點（2）順次連接各等分點.題型一正多邊的相關概念題型一正多邊的相關概念【例題1】下列命題正確的是（）A．各邊相等的多邊形是正多邊形 B．正多邊形一定是中心對稱圖形 C．各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形 D．正多邊形外接圓的半徑是正多邊形的半徑解題技巧提煉根據(jù)正多邊形的相關概念進行判斷即可，正n邊形（n≥3，n為整數(shù)）都是軸對稱圖形，都有n條對稱軸，且這些對稱軸都交于一點，當n為偶數(shù)時，正n邊形為中心對稱圖形.【變式1-1】下列說法中，錯誤的是（）A．正多邊形的外接圓的圓心，就是它的中心 B．正多邊形的外接圓的半徑，就是它的半徑 C．正多邊形的內(nèi)切圓的半徑，就是它的邊心距 D．正多邊形的外接圓的圓心角，就是它的中心角【變式1-2】下列關于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正九邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 B．存在一個正多邊形，它的外角和為720° C．任何正多邊形都有一個外接圓 D．不存在每個外角都是對應每個內(nèi)角兩倍的正多邊形【變式1-3】以下說法正確的是（）A．每個內(nèi)角都是120°的六邊形一定是正六邊形 B．正n邊形的每一個外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù) C．正n邊形的對稱軸不一定有n條 D．正多邊形一定既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形【變式1-4】正多邊形的一邊所對的中心角與它的一個外角的關系是A．相等 B．互余 C．互補 D．互余或互補題型二正多邊形與圓中求角度題型二正多邊形與圓中求角度【例題2】一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對的圓心角為（）A．15° B．60° C．45° D．30°解題技巧提煉1、正多邊形的每個內(nèi)角=(n-2)·2、正多邊形的中心角=3603、正多邊形的每個外角=360°【變式2-1】（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°【變式2-2】（2023?太原二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點F是DE上的動點，則∠AFC的度數(shù)為（）A．60° B．72° C．144° D．隨著點F的變化而變化【變式2-3】（2023?荷塘區(qū)二模）如圖，以正五邊形ABCDE的頂點A為圓心作⊙A分別與邊AE、AB交于點F、G，點P是劣弧FG上一點，連接PF、PG，則∠FPG的度數(shù)為（）?A．116° B．120° C．124° D．126°【變式2-4】（2022春?株洲期末）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形，則∠BOM的度數(shù)是（）A．36° B．45° C．48° D．60°【變式2-5】（2023?山西模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，點F是CD的中點，過點D作⊙O的切線與AF的延長線相交于點G．（1）試判斷AC與DG的位置關系，并說明理由．（2）求∠G的度數(shù)．題型三正多邊形與圓中求線段長題型三正多邊形與圓中求線段長【例題3】（2022秋?天河區(qū)校級期末）已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為（）A．1 B．2 C．3 D．5解題技巧提煉主要考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握它們的性質(zhì)是解決問題的關鍵．【變式3-1】（2022?成都）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為（）A．3 B．6 C．3 D．23【變式3-2】（2023?玉屏縣模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A，F(xiàn)分別在正方形BMGH的邊BH，GH上．若正方形的邊長為6，則正六邊形的邊長為（）A．2 B．4 C．4.5 D．5【變式3-3】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E為BC上一點，連接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，則正方形ABCD的邊長為（）A．7 B．52 C．10 D．【變式3-4】（2022?邯鄲模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點G是AE的中點，若AB＝4，則CG的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式3-5】如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若⊙O的半徑為2，求等邊△ABC的邊心距．題型四正多邊形與圓中求半徑題型四正多邊形與圓中求半徑【例題4】（2022秋?靈寶市期末）邊長為4的正方形內(nèi)接于⊙O，則⊙O的半徑是（）A．2 B．2 C．22 D．4解題技巧提煉正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r,根據(jù)勾股定理得到它們之間的關系式：R2=r2【變式4-1】（2023?武功縣模擬）如果一個正六邊形的邊長等于2cm，那么這個正六邊形的半徑等于cm．【變式4-2】（2023?武威一模）生活中處處有數(shù)學，多邊形在生活中的應用更是不勝枚舉．如圖是一個正六邊形的螺帽，它的邊長是4cm，則這個正六邊形的半徑R和扳手的開口a的值分別是（）A．2cm，23cm B．4cm，43cm C．4cm，23cm 【變式4-3】如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD＝52，求⊙O的半徑．題型五正多邊形與圓中求周長題型五正多邊形與圓中求周長【例題5】（2023?雁塔區(qū)校級四模）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG等于33，則⊙O的周長等于解題技巧提煉正多邊形的周長公式：C=na，圓的周長公式C=2πr,根據(jù)正多邊的性質(zhì)求解即可.【變式5-1】（2022秋?同心縣期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接OC、OD，若OC長為2cm，則正六形ABCDEF的周長為cm．【變式5-2】（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為3，則它的周長＝．【變式5-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于．題型六正多邊形與圓中求面積題型六正多邊形與圓中求面積【例題6】（2022秋?香坊區(qū)校級月考）若圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是23，則該六邊形的面積是解題技巧提煉正多邊形中求面積用到面積公式S=12ar·n=12Cr，【變式6-1】（2023?張家口四模）如圖，點O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對角線CE，DF相交于點G，則△GEF的面積為（）A．23 B．33 C．833 D【變式6-2】圓內(nèi)接正方形的面積為a，則圓的面積為（）A．πa2 B．2πa C．πa22 D【變式6-3】（2023?南山區(qū)二模）劉徽在《九章算術注》中首創(chuàng)“割圓術”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學發(fā)展史上圓周率研究的新紀元．某同學在學習“割圓術”的過程中，作了一個如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個圓內(nèi)接正八邊形的面積為（）?A．π B．2π C．24 D．題型七正多邊形與圓中的證明題型七正多邊形與圓中的證明【例題7】（2022秋?定西期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，AM=DM，求證：BM＝解題技巧提煉本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計算、圓心距、弦、弧之間的關系，掌握圓心距、弦、弧之間的關系定理是解題的關鍵．【變式7-1】（2022秋?贛州期中）如圖，點M、N分別在正五邊形ABCDE的邊BC，CD上，BM＝CN，連接AM，BN相交于H．（1）求證：△ABM≌△BCN；（2）求∠AHB的度數(shù)．【變式7-2】（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．【變式7-3】（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點P是邊BC的中點，⊙O是△PAD的外接圓，⊙O交邊AB與于點E．（1）求證：PA＝PD；（2）當AE是以點O為中心的正六邊形的一邊時，求證：AE=題型八正多邊形與圓中的規(guī)律探究問題題型八正多邊形與圓中的規(guī)律探究問題【例題8】（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點M是BC上一點，點N是CA上一點，BM＝CN，BN、AM相交于點Q，求∠BQM的度數(shù)；（2）當（1）中的“等邊△ABC”的邊數(shù)逐漸增加，分別變?yōu)檎叫蜛BCD（如圖2）、正五邊形ABCDE（如圖3）、正六邊形ABCDEF（如圖4）…，“點N是CA上一點”變?yōu)辄cN是CD上一點，其余條件不變，分別確定∠BQM的度數(shù)，并直接將結(jié)論填入下表：正多邊形正方形正五邊形正六邊形…正n邊形∠BQM的度數(shù)…解題技巧提煉本題考查正多邊形與圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關鍵．【變式8-1】如圖所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點M、N分別從點B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時針運動．（1）求圖①中∠APB的度數(shù)；（