基于munich鏈梯法的未決賬款公積金評估

一、儲備評估的鏈梯度法1.已決收款及預測隨著中國康復按摩技術的普及和提高，計算機從業人員逐漸意識到使用傳統鏈梯法的評價準備金存在兩個不足。首先，他們沒有充分考慮歷史信息中的索賠和報告損失之間的關系。其次，如果基于這兩個數據獲得的索賠準備金數量差異很大，則大多數人無法理解這兩個數據的選擇。為此,下面考慮兩類數據的相關性,進而提出改進鏈梯法的基本思路。鏈梯法假設不同事故年的賠款支出具有相同的進展模式。設事故年i、進展年j的累計已決賠款為Pi,j,累計已報案賠款為Ii,j(1≤i≤I,1≤j≤J,I=J=n)。當1≤j≤n+1-i時,Pi,j和Ii,j為已知數據;當n+1-i<j≤n時,Pi,j和Ii,j為待預測的未知量。定義事故年i、進展年j的(P/I)比率為:(Ρ/Ι)i,j=Ρi,jΙi,j(1)所有事故年在進展年j的加權平均(P/I)比率為:(Ρ/Ι)j=1∑ni=1Ιi,j∑ni=1Ιi,j(Ρ/Ι)i,j=∑ni=1Ρi,j∑ni=1Ιi,j(2)經過推導,可以得到以下重要結論:(Ρ/Ι)i,j(Ρ/Ι)j=(Ρ/Ι)i,n+1-i(Ρ/Ι)n+1-i(n+1-i<j≤n)(3)式(3)表明,事故年i的(P/I)i,j比率的預測值與所有事故年加權平均(P/I)j比率的比值為常數,它等于準備金評估日對應的比值。也就是說,如果事故年i的(P/I)i,n+1-i比率比所有事故年的加權平均(P/I)n+1-i的比率大,鏈梯法會把這種趨勢在進展中逐步擴大。鑒于這些不足,為了更準確地評估準備金,Quarg和Mack(2004)提出了通過調整進展因子來減小兩類數據得到的未決賠款準備金之間的差異,即MunichChainLadder(MCL)方法。2.mcl方法(1)已判決賬款進展因子回歸與其他事故年相比,如果事故年i的(P/I)i,n+1-i比率高于平均(P/I)n+1-i比率,那么,意味著事故年i截至準備金評估日的已決賠款偏多,或者已報案未決賠款準備金偏少,因此,在未來進展年的賠款額會減少,從而應該減少下一進展年的已決賠款進展因子,增加已報案賠款進展因子,即通過{(Ρ/Ι)i,j}比率調整單個進展因子{fΙi,j}。同理,通過{(Ι/Ρ)i,j}比率調整單個進展因子{fΡi,j}1。(2)擴展mack模型假設MCL方法基于Mack模型的假設,并同時考慮已決賠款和已報案賠款數據,進一步擴展了Mack模型的假設。設事故年i到進展年j的累計已決賠款進展序列為Pi(j)={Pi(1),…,Pi(j)},累計已報案賠款進展序列為Ii(j)={Ii(1),…,Ii(j)}。方差參數①對不同的事故年i和k?{Ρi,j}和{Ρk,j}相互獨立,{Ιi,j}和{Ιk,j}相互獨立。②對所有的1≤i,j≤n,存在加權平均進展因子fΡj→j+1>0和fΙj→j+1>0,使得E(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=fΡj→j+1=∑n-ji=1Ρi,j+1∑n-ji=1Ρi,jE(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=fΙj→j+1=∑n-ji=1Ιi,j+1∑n-ji=1Ιi,j(4)③對所有的1≤i,j≤n,存在方差參數σΡj→j+1≥0和σΙj→j+1≥0,使得σ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=σΡj→j+1√Ρi,jσ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=σΙj→j+1√Ιi,j(5)p/p比的條件殘差①定義(P/I)過程和(I/P)過程。(P/I)過程和(I/P)過程的定義類似,下面只給出(P/I)過程。對所有事故年i,令Qi=Ρi/Ιi=(Ρi,j/Ιi,j)j∈{1,2,?,n}=(Qi,j)j∈{1,2,?,n}表示(P/I)過程。對所有的1≤i,j≤n,存在比率qj>0和方差參數ρΙj≥0,使得E(Qi,j|Ιi(j))=qjVar(Qi,j|Ιi(j))=(ρΙj)2/Ιi,j(6)②定義條件殘差。下面定義進展因子、(P/I)比率和(I/P)比率的條件殘差。Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=Ρi,j+1Ρi,j-E(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))σ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=Ιi,j+1Ιi,j-E(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))σ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))Res(Qi,j|Ιi(j))=Ρi,jΙi,j-E(Ρi,jΙi,j|Ιi(j))σ(Qi,j|Ιi(j))Res(Q-1i,j|Ρi(j))=Ιi,jΡi,j-E(Ιi,jΡi,j|Ρi(j))σ(Q-1i,j|Ρi(j))容易看出,這四個殘差的均值為0,方差為1。③考慮進展因子和(P/I)比率、(I/P)比率的相關性。設Bi(j)={Pi(1),…,Pi(j),Ii(1),…,Ii(j)},對所有事故年i,存在常數λP和λI,使得進展因子條件殘差與(I/P)比率(或(P/I)比率)的條件殘差之間滿足如下線性關系。E[Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))|Bi(j)]=λΡRes(Q-1i,j|Ρi(j))(7)E[Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))|Bi(j)]=λΙRes(Qi,j|Ιi(j))(8)對式(7)、式(8)進行整理,可以得出E(Ρi,j+1Ρi,j|Bi(j))=fΡj→j+1+λΡσ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))σ(Q-1i,j|Ρi(j))(Q-1i,j-E(Q-1i,j|Ρi(j)))(9)E(Ιi,j+1Ιi,j|Bi(j))=fΙj→j+1+λΙσ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))σ(Qi,j|Ιi(j))(Qi,j-E(Qi,j|Ιi(j)))(10)(3)求各sq-1i,j[i,j[i,λP=Corr(Q-1i,j,Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=Corr[Res(Q-1i,j|Ρi(j)),Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))](11)λI=Corr(Qi,j,Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=Corr[Res(Qi,j|Ιi(j)),Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))](12)3.mcl方法的參數估計2(1)基于mack模型參數的無指定推測酶n-j,bn-j,ff?fΡj→j+1=∑n-ji=1Ρi,j+1∑n-ji=1Ρi,j?fΙj→j+1=∑n-ji=1Ιi,j+1∑n-ji=1Ιi,j(13)n-l-b1n-1i(?σΡj→j+1)2=1n-j-1n-j∑i=1Ρi,j(Ρi,j+1Ρi,j-?fΡj→j+1)21≤j≤n-2(14)(?σΙj→j+1)2=1n-j-1n-j∑i=1Ιi,j(Ιi,j+1Ιi,j-?fΙj→j+1)21≤j≤n-2(15)式(14)、式(15)沒有給出σ2n-1→n的估計。以已決賠款為例,在進展年n-1和n之間僅有一個觀察值Pi,n/Pi,n-1不足以估計兩個參數fΡn-1→n和(σΡn-1→n)2?(σΡn-1→n)2的一種近似估計為:(?σΡn-1→n)2=min[(?σΡn-3→n-2)2,(?σΡn-2→n-1)2](16)(2)mcl方法的擴展參數的估計首先，p.i比率沒有得到估計?qj=∑n+1-ji=1Ρi,j∑n+1-ji=1Ιi,j?q-1j=∑n+1-ji=1Ιi,j∑n+1-ji=1Ρi,j(17)jq-1i,n-1,18(?ρΡj)2=1n-jn+1-j∑i=1Ρi,j(Q-1i,j-?q-1j)21≤j≤n-1(18)(?ρΙj)2=1n-jn+1-j∑i=1Ιi,j(Qi,j-?qj)21≤j≤n-1(19)已約化2,j為1i,j為1.由通常的最小二乘估計(OLS)可以得出:?λΡ=∑n-ji=1Res(Q-1i,j|Ρi(j))?Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))∑n-ji=1Res(Q-1i,j|Ρi(j))21≤j≤n-2(20)λ^Ι=∑i=1n-jRes(Qi,j|Ιi(j))?Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))∑i=1n-jRes(Qi,j|Ιi(j))21≤j≤n-2(21)(3)[1e采用1-in,1.2,2,5.2,2,10.2,10.2,10.2,10.2,10。[2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2Ρ^i,j+1=Ρ^i,j[f^j→j+1Ρ+λ^Ρσ^j→j+1Ρρ^jΡ(Ι^i,jΡ^i,j-q^j-1)]1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1(22)Ι^i,j+1=Ι^i,j[f^j→j+1Ι+λ^Ισ^j→j+1Ιρ^jΙ(Ρ^i,jΙ^i,j-q^j)]1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1(23)(4)未決收款保證金rv的估計MCL方法可得到最終損失的估計∑i=1nΡ^i,n和∑i=1nΙ^i,n,未決賠款準備金(RV)的估計。RV^Ρ=∑i=2n(Ρ^i,n-Ρi,n+1-i)RV^Ι=∑i=2n(Ι^i,n-Ρi,n+1-i)(24)4.未決收款保證金的預測算法事故年i的未決賠款準備金R^iΡ、R^iΙ的預測均方誤差的估計量分別為:MSEP[R^iΡ]=Ρ^i,n2∑j=n+1-in-1((σ^j→j+1Ρ)2(f^j→j+1Ρ)2)(1Ρ^i,j+1∑i=1n-jΡi,j)2≤i≤n(25)MSEP[R^iΙ]=Ι^i,n2∑j=n+1-in-1((σ^j→j+1Ι)2(f^j→j+1Ι)2)(1Ι^i,j+1∑i=1n-jΙi,j)2≤i≤n(26)所有事故年的未決賠款準備金總額R^P、R^I的預測均方誤差的估計量分別為:MSEP(∑i=2nR^iΡ)=∑i=2nΜSEΡ[R^iΡ]+2∑2≤i<k≤nΡ^i,nΡ^k,n∑j=n+1-in-1(σ^j→j+1Ρ)2(f^j→j+1Ρ)2?1∑i=1n-jΡi,j(27)MSEP(∑i=2nR^iΙ)=∑i=2nΜSEΡ[R^iΙ]+2∑2≤i<k≤nΡ^i,nΡ^k,n∑j=n+1-in-1(σ^j→j+1Ι)2(f^j→j+1Ι)2?1∑i=1n-jΙi,j(28)二、基于循環模擬方法的估計誤差雖然MCL方法可以更合理地評估未決賠款準備金,并得到了MSEP估計的解析形式,但是解析解相對復雜,并且MSEP僅度量了一階矩和二階矩,為了更深入地研究波動性,可以基于Bootstrap方法估計參數誤差,并按照模型假設,在隨機模擬中考慮過程方差,可以同時得到MSEP的估計和未決賠款準備金的預測分布。1.就業狀態的模擬結果及分析(1)基于Bootstrap的隨機性MCL(SMCL)方法的兩種基本思路。第一,在應用Bootstrap方法時,考慮兩類增量賠款數據的殘差,其基本思路為:①將累計已決賠款Pi,j和累計已報案賠款Ii,j轉化為增量已決賠款Xi,jΡ和增量已報案賠款Xi,jΙ(i,j≥1,i+j≤n+1)。②構造殘差。計算上三角數據中每個進展年增量數據的均值XˉjΡ和XˉjΙ、標準差σjΡ和σjΙ,標準化后,得出下面的殘差流量三角形:Res(Xi,jΡ)=Xi,jΡ-XˉjΡσjΡRes(Xi,jΙ)=Xi,jΙ-XˉjΙσjΙi,j≥1,i+j≤n+1③這里對步驟②得到的殘差乘以因子(n+2)/n加以調整4,然后再進行Bootstrap再抽樣,進而得到模擬的上三角增量賠款數據和累計賠款數據。④應用MCL方法,計算模擬的下三角累計已決賠款i,jB5和累計已報案賠款i,jB,進而得到一次模擬中,兩種累計數據對應的最終損失、未決賠款準備金和IBNR的均值估計。⑤基于MCL方法的假設,對下三角數據(1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1)進一步假設。Ρi,j+1～Ν(f^′j→j+1ΡBΡ^i,jB,(σ^j→j+1Ρ)2BΡ^i,jB)Ιi,j+1～Ν(f^′j→j+1ΙBΙ^i,jB,(σ^j→j+1Ι)2BΙ^i,jB)這里類似式(22)、(23)所示,f^′j→j+1ΡB和f^′j→j+1ΙB是按照模擬數據調整后的單個進展因子。進而可以從均值為f^′j→j+1ΡBi,jB,方差為(σ^j→j+1Ρ)2BΡ^i,jB的正態分布中抽取隨機數,得到未決賠款準備金預測分布的一次模擬,同理,也可得到基于已報案數據的一次模擬結果。⑥重復步驟③、④、⑤,B次Bootstrap再抽樣后,即可得到兩類數據情況下最終損失、未決賠款準備金、IBNR的預測分布,并得到相關的分布特征。第二,在應用Bootstrap方法時,考慮MCL方法中參數的四類殘差,其基本思路為:①計算進展因子的無偏估計f^j→j+1Ρ和f^j→j+1Ι,方差參數的無偏估計(σ^j→j+1Ρ)2和(σ^j→j+1Ι)2;比率的無偏估計q^j和q^j-1,方差參數的無偏估計(ρ^jΡ)2和(ρ^jΙ)2。②構造Pearson殘差。按照第一部分定義的條件殘差,構造四類殘差的流量三角形。包括兩個進展因子條件殘差流量三角形(1≤i≤n-j,1≤j≤n-2),(P/I)比率和(I/P)比率條件殘差流量三角形(1≤i≤n+1-j,1≤j≤n-1)。③對步驟②得到的殘差乘以因子(n-j)/(n-j-1)加以調整6,然后再進行Bootstrap再抽樣,分別得到模擬累計已決、已報案賠款進展因子Pi,j+1B/Pi,jB和Ii,j+1B/Ii,jB的流量三角形,比率Pi,jB/Ii,jB和Ii,jB/Pi,jB的流量三角形。④類似步驟①,計算模擬數據得到的估計值f^j→j+1ΡB和f^j→j+1ΙB?(σ^j→j+1ΡB)2和(σ^j→j+1ΙB)2?q^jB和q^j-1B?(ρ^jΡB)2和(ρ^jΙB)2。并類似式(20)、(21)計算調整后殘差的相關系數λ^PB和λ^IB。在保持主對角線最近評估日歷年賠款數據不變的假設下,應用MCL方法,后續處理與SMCL方法1的步驟④、⑤、⑥完全相同。(2)兩種思路的比較。第一,抽樣方法側重點不同。SMCL方法1是基于原始數據的抽樣方法,考慮了Mack模型中不同事故年i和k?{Ρi,j}和{Ρk,j}?{Ιi,j}和{Ιk,j}相互獨立的假設,對兩類增量賠款數據的調整后殘差進行Bootstrap再抽樣。SMCL方法2是基于模型參數的抽樣方法,考慮了Mack模型和MCL方法擴展假設中進展因子和比率的均值、方差假設,對模型參數的調整后殘差進行Bootstrap再抽樣。第二,(P/I)比率和(I/P)比率的殘差的相關性處理方式不同。在按照SMCL方法1進行Bootstrap再抽樣時,不需要考慮這兩類殘差之間的相關性。這是因為按照這種方法產生模擬數據后,這種相關性在后續的MCL方法中得以體現。在按照SMCL方法2進行Bootstrap再抽樣時,需要對四類調整后的Pearson殘差進行再抽樣。在這四類殘差中,(P/I)比率的殘差和(I/P)比率的殘差之間不是獨立的,存在負的相關性。在進行Bootstrap再抽樣的過程中,要考慮這種相關性。一種直觀的處理方法是綁定這兩個流量三角形每個單元格的對應元素,組成有序元素組,然后成對地抽取隨機數。第三,上三角模擬數據不同。由于抽樣方法不同,SMCL方法1模擬的是累計已決、已報案賠款流量三角形數據,SMCL方法2模擬的是MCL方法中進展因子和比率參數的流量三角形數據。第四,預測均方誤差的估計。基于Bootstrap方法的SMCL方法模擬預測分布的過程中,同時也可以得到MSEP。其中,參數誤差就是B次Bootstrap模擬的未決賠款準備金估計值的樣本方差。過程方差通過從下三角正態分布的假設中抽取隨機數得以體現。以已決賠款為例,事故年i的未決賠款準備金的過程方差7為B次模擬得到的估計量(Ρ^i,nB)2∑j=n-i+1n-1(σ^j→j+1Ρ)2B/(f^′j→j+1ΡB)2Ρ^i,jB的樣本均值,所有事故年未決賠款準備金總額的過程方差就是所有事故年估計量之和的樣本均值。總之,與MCL方法相比,這兩種SMCL方法各有特色,本文實證分析部分分別給出了MCL方法、兩種SMCL方法得到的MSEP、預測分布以及相關的分布特征,并對其進行了比較,希望能為保險公司精算人員學習和使用隨機性準備金評估方法提供理論基礎。2.bootstud方法是模擬中的合理處理(1)殘差參數估計時組合SMCL方法1進行Bootstrap模擬時,是對調整以后的殘差進行再抽樣。這是因為理論上標準化后殘差的均值應為0,方差應為1。但是實際中,我們已經證明殘差的均值為0,標準差為n/(n+2),此值小于1,因此需要對殘差乘以因子(n+2)/n加以調整。這樣的調整使得在均值保持不變的情況下,方差變為1。SMCL方法2進行Bootstrap模擬時,如對殘差進行再抽樣,未考慮被估計參數個數,將低估參數誤差。為修正估計偏差,本文通過對每列殘差乘以相應的因子(n-j)/(n-j-1)加以調整。類似地,這樣的調整使得在均值保持不變的情況下,方差接近于1。(2)基于增量數據的殘差建模從SMCL方法1構造的殘差可知,進展年n只有一個數據,其標準差為0,無法計算對應的殘差和模擬后的增量數據。鑒于流量三角形中所有殘差是獨立同分布的,本文假設上端點也參與其他殘差樣本的Bootstrap再抽樣。SMCL方法2在對Pearson殘差進行調整時,無法計算上三角進展年n-1、n的調整后殘差,類似地,本文假設這三個值也參與其他殘差樣本的Bootstrap再抽樣。(3)smcl方法的再抽樣個數為了防止方差被低估,本文允許上端點也參與其他殘差樣本的Bootstrap再抽樣。因此,對于事故年和進展年都為n的上三角數據,SMCL方法1的再抽樣個數為(n+2)(n-1)/2;SMCL方法2中進展因子上三角數據的再抽樣個數為(n+1)(n-2)/2,比率上三角數據的再抽樣個數為(n+3)(n-2)/2。(4)單元編碼函數如果兩種方法模擬的i,jB和i,jB為負值,而方差不能為負,那么從正態分布中抽取隨機數就會出現錯誤。以累計已決賠款數據為例,本文對模擬出的下三角累計已決賠款的每個單元定義了如下符號函數:這樣就可先從均值為f^′j→j+1ΡB|Ρ^i,jB|,方差為(σ^j→j+1Ρ)2B|Ρ^i,jB|的正態分布中抽取隨機數,最后再乘以sign(i,jB)。對累計已報案賠款數據可類似處理。三、mcl方法估計的未決賬款惡意程序msep本文實證分析部分中的數據來源于Quarg和Mack(2004),如表1、表2所示。在準備金評估的相關文獻中,這些數據被經常引用,這里也是為了更好地與MCL方法的結果進行比較。另外,本文假設已發生已報案未決賠款保持不變,即等于評估日歷年累計已報案賠款減去累計已決賠款,其目的是為了避免模擬得到的兩類數據之間的相互影響。按照第二部分的思路,表3給出了MCL方法中最終損失、未決賠款準備金和IBNR的估計。表4和表5分別給出了在Mack模型假設下,MCL方法基于已決、已報案賠款數據得到的MSEP,兩表中第二列給出的是Mack模型估計的未決賠款準備金。為了更好地與SMCL方法的結果進行比較,也可以將第二列數據替換成MCL方法估計的未決賠款準備金,這里采用Mack模型的結果,更嚴格地講應是Mack模型的MSEP。表6和表7分別給出了SMCL方法1基于已決、已報案數據得到的MSEP,表8和表9分別給出了SMCL方法2基于已決、已報案數據得到的MSEP。由于每次模擬得到的未決賠款準備金的估計值與MCL方法的估計值差別不大,這四個表中第二列給出的是MCL方法估計的未決賠款準備金。圖1和圖2分別給出了SMCL方法1、方法2得到的未決賠款準備金的預測分布,其對應的分布特征如表10所示。四、完成結論和方法建議1.未決收款保證金的預測分布(1)估計結果的一致性。表6～表9與表4、表5相比,可以看出兩種基于Bootstrap方法的SMCL方法得到的參數誤差、過程方差、MSEP與Mack模型的結果都很接近,從某種程度上體現了這兩種SMCL方法具有一致性。(2)與表4、表5類似,隨著事故年已有信息的減少,表6～表9中的MSEP也相應增大,這是符合實際的。因為已有信息越少,估計誤差就越大,精度就越低。(3)Bootstrap方法的基本思路簡單、操作性強、可靠有效。Bootstrap方法比較容易理解,在計算機上易于編程實現。(4)本文只給出了兩種SMCL方法模擬的未決賠款準備金的預測分布,如圖1和圖2所示。由于SMCL方法1每次模擬的評估日歷年賠款數據都不同,所以最終損失和未決賠款準備金的預測分布的圖形形狀存在差異,而SMCL方法2假設評估日歷年賠款數據不變,故兩類分布的圖形形狀相同。表10中SMCL方法1模擬的最終損失和未決賠款準備金的標準差不同,