橢圓的幾何性質(zhì)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍，，對稱性關(guān)于軸、原點(diǎn)對稱軸長長軸長：；短軸長：長軸長：；短軸長：頂點(diǎn)離心率離心率越接近1，則橢圓越圓；離心率越接近0，則橢圓越扁通徑通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)軸的橢圓的弦長通徑的大小：二、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)在橢圓上點(diǎn)在橢圓外三、直線與橢圓的位置關(guān)系1、直線與橢圓的位置關(guān)系：聯(lián)立消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)(或兩個公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)(或一個公共點(diǎn))；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．2、解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；（3）寫出根與系數(shù)的關(guān)系；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的形式；（5）代入求解．四、直線與橢圓相交的弦長公式1、定義：連接橢圓上兩個點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．2、求弦長的方法（1）交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．（2）根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：五、解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特殊的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點(diǎn)、，線段中點(diǎn)為，則有。題型一由橢圓方程研究其幾何性質(zhì)【例1】（2024·寧夏銀川·高二期中）（多選）已知橢圓：.則下列結(jié)論正確的是（）A．長軸為6B．短軸為4C．焦距為D．離心率為【變式11】（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A．離心率為B．長軸長是C．焦距2D．焦點(diǎn)坐標(biāo)為【變式12】（2024·浙江溫州·高二期中）已知曲線表示橢圓，下列說法正確的是（）A．m的取值范圍為B．若該橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則C．若，則該橢圓的焦距為4D．若橢圓的離心率為，則【變式13】（2024·重慶·高二期中）橢圓與橢圓的（）A．長軸相等B．短軸相等C．焦距相等D．離心率相等題型二由橢圓幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2024·河南開封·高二期中）已知橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式21】（2024·重慶·高二期中）已知是橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若的周長為6.且橢圓的離心率為，則橢圓方程為（）A．B．C．D．【變式22】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，橢圓過點(diǎn)且與橢圓有公共的焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式23】（2023秋·重慶·高二校考階段練習(xí)）焦點(diǎn)在軸上且中心為原點(diǎn)的橢圓與橢圓：離心率相同，且，在第一象限內(nèi)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則的方程題型三求橢圓離心率的值【例3】（2024·四川成都·高二期中）若橢圓C：的短軸長為2，則橢圓C的離心率為．【變式31】（2024·江蘇南通·高二階段練習(xí)）已知是橢圓的一個焦點(diǎn)，是短軸的一個端點(diǎn)，線段的延長線交橢圓于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【變式32】（2023秋·高二課時練習(xí)），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【變式33】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為.題型四求橢圓離心率的取值范圍【例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點(diǎn)，則橢圓離心率的范圍為（）．A．B．C．D．【變式41】（2024·蘭州·高二期中）橢圓的兩個焦點(diǎn)為是橢圓上一點(diǎn)，且滿足.則橢圓離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式42】（2024·重慶·高二期中）已知A是橢圓長軸的一個端點(diǎn)，O是橢圓的中心，若橢圓上不存在點(diǎn)P使，則橢圓離心率e的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式43】（2023秋·重慶·高二校考階段練習(xí)）設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．題型五點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【例5】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在橢圓上，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)不在橢圓上B．點(diǎn)不在橢圓上C．點(diǎn)在橢圓上D．無法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系【變式51】（2023·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在橢圓C上B．點(diǎn)P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)C．點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)D．點(diǎn)P在橢圓C外【變式52】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式53】（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點(diǎn)M，設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，若l1⊥l2，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．題型六直線與橢圓的位置關(guān)系【例6】（2024·遼寧大連·高二期中）已知橢圓，直線，則與的位置關(guān)系為（）A．相交B．相切C．相離D．以上選項(xiàng)都不對【變式61】（2023·高二專題練習(xí)）直線l：與橢圓C：的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．不能確定【變式62】（2024·浙江溫州·高二期中）已知直線與橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式63】（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)和（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線和橢圓C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．題型七直線與橢圓相切應(yīng)用【例7】（2022秋·新疆烏魯木齊·高二期末）設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程.【變式71】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若方程有解，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式72】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離，并求出此時橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo).【變式73】（2023·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：的最大距離為.題型八直線與橢圓相交弦長問題【例8】（2023秋·高二課時練習(xí)）過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則等于（）A．4B．2C．1D．4【變式81】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣直線的條數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【變式82】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)引直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則直線方程為．【變式83】（2023秋·重慶·高二校考階段練習(xí)）已知圓：和圓：，以動點(diǎn)為圓心的圓與其中一個圓外切，與另一個圓內(nèi)切.記動點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）過的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上.若為以為斜邊的等腰直角三角形，求的長度.題型九橢圓的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法【例9】（2024·江蘇南京·高二階段練習(xí)）以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)和，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線的方程；【變式91】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（）A．B．C．D．【變式92】（2023春·四川成都·高二校考階段練習(xí)）橢圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率為2，則（）A．B．C．D．2【變式93】（2023秋·重慶·高二校考期末）已知橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．題型十橢圓的綜合問題【例10】（2024·江蘇鹽城·高二階段練習(xí)）已知橢圓E：的下焦點(diǎn)、上焦點(diǎn)為，離心率為過焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線l交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．（1）求m的值；（2）求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍．【變式101】（2023秋·江西上饒·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓方程為，過點(diǎn)，的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）對于，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且，若存在，求出k的值；