高中數學期末備考微專題55講立體幾何04軌跡與截線型動態問題含解析_第1頁
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Page34.定長型動態問題對于定長型動點問題，即空間中動點滿足到某個定點的距離為定值，其實由球的定義可知，動點的軌跡即以定點為球心，定長為半徑的球.另一方面動點會在某個其他平面上運動，所以，這實際就是一個球的截線問題.處理這樣問題的關鍵點有兩個：第一，找到球在這個面的邊界點（利用已知數據計算），第二，找到這個截面的外接圓圓心，其利用球的截面性質來算，做到上述兩點，這個問題就基本上能夠解決！當然，坐標法也是一個不錯的手段，等會例題中將會體現.一．典例分析例1.（2020新高考1卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為________．解析：如圖：解析：取的中點為，的中點為，的中點為，因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，<找到球在這個面的邊界點（利用已知數據計算）>.，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因為，所以側面，設為側面與球面的交線上的點，則，因為球的半徑為，，所以，所以側面與球面的交線上的點到的距離為，因為，所以側面與球面的交線是扇形的弧，因為，所以，所以根據弧長公式可得.故答案為：.其實，相關問題亦可用向量法來解決，下面我們看一下相關例子.例2.已知正方體的棱長為，過頂點的平面為，點是平面內的動點，，則點的軌跡長度等于（

）A． B． C． D．解析：如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，令，則，所以點到平面的距離，設點在平面的射影為，即，又，所以，是邊長為的等邊三角形，其內切圓半徑為，所以為以為圓心，半徑的圓上，所以點的軌跡長度為；故選：B注：此題亦可用幾何法算得，球與面的邊界點分別是的中點，三角形的外接圓圓心為其中心.例3.在四棱錐中，面四邊形是邊長為的正方形，且．若點分別為的中點，則直線被四棱錐的外接球所截得的線段長為_____．解法1.如圖所示：因為面四邊形是正方形，所以均為以為斜邊的直角三角形，所以外接球的球心O為PC的中點，則,取EF的中點G,因為，所以，則，所以，所以球心到直線的距離為，所以，所以所截得的線段長為，故答案為：.這個幾何證法可以讓很多學生望洋興嘆，下來我們再嘗試用例1所總結的向量方法來計算.即計算球心與截線上兩個特殊點所構成的的高線長.解法2.以為原點，所在直線分別為軸，所需各點坐標為，則，則為邊長是的等邊三角形，則點到直線的距離，最后所截得的線段長為.兩個方法，

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