§2無窮積分的性質與收斂判別法教學目的與要求：掌握條件收斂與絕對收斂的概念，收斂的無窮積分具有的四個性質；掌握收斂的Cauchy準則、比較判別法及其三個推論、阿貝耳判別法、狄利克雷判別法等。教學重點，難點：無窮積分的收斂性比較判別法、柯西判別法、狄利克雷判別法等。教學內容：本節介紹了無窮積分的三個性質和四種判別收斂的方法一無窮積分的性質由定義知道，無窮積分收斂與否，取決于函數F（u）=在u→+∞時是否存在極限。因此由函數極限的柯西準則導出無窮積分收斂的柯西準則。定理11.1無窮積分收斂的充要條件是：任給＞0，存在G≥a，只要u1、u2＞G，便有。證明:由于=所以收斂存在≥a，只要u1、u2＞G，便有此外，還可根據函數極限的性質與定積分的性質，導出無窮積分的一些相應性質。性質1(線性性質)若與都收斂，k1、k2為任意常數，則也收斂，且=。（1）證明:記,,則=====□性質2若f在任何有限區間[a，u]上可積，a＜b，則與同斂態（即同時收斂或同時發散），且有，（2）其中右邊第一項是定積分。證明:由于收斂存在.又==,其中右邊第一項是定積分。所以與同斂態（即同時收斂或同時發散），且有.□說明:(1)性質2相當于定積分的積分區間可加性;(2)由性質2及無窮積分的收斂定義可推出收斂的另一充要條件:任給＞0，存在G≥a，當u＞G時，總有。事實上，收斂J=存在當時,當時,當時,性質3若f在任何有限區間[a，u]上可積，且有收斂，則亦必收斂，并有≤。（3）證明:由收斂，根據柯西準則（必要性），任給＞0，存在G≥a，當u2＞u1＞G時，總有利用定積分的絕對值不等式，又有 .再由柯西準則（充分性），證得收斂,則有：（ⅰ）當p＞1，0≤＜+∞時，收斂；（ⅱ）當p≤1，0＜≤+∞時，發散。例2討論下列無窮限積分的收斂性：1）；2）.解本例中兩個被積函數都是非負的，故收斂與絕對收斂是同一回事。1）由于對任何實數都有.因此根據上述推論3（P=2，=0），推知1）對任何實數都是收斂的。2）由于=1，因此根據上述推論3（P=，=1），推知2）是發散的。對的比較判別亦可類似地進行。三狄利克雷判別法與阿貝爾判別法這里來介紹兩個判別一般無窮積分收斂的判別法。定理11.3（狄利克雷判別法）若F（u）=在上有界，g（x）在上當x→+∞時單調趨于0，則收斂。證明由條件設≤M，u∈。任給＞0，由于=0，因此存在G≥a，當x＞G時，有。又因g為單調函數，利用積分第二中值定理（定理9.10的推論），對于任何u2＞u1＞G，存在∈[u1，u2]，使得。于是有=＜.根據柯西準則，證得收斂。□定理11.4（阿貝爾（Abel）判別法）若收斂，g（x）在上單調有界，則收斂。這定理同樣可用積分第二中值定理來證明，但又可利用狄利克雷判別法更方便地獲得證明（留作習題10）。討論與（p＞0）的收斂性。解這里只討論前一個無窮積分，后者有完全相同的結論。下面分兩種情形來討論：（ⅰ）當p＞1時絕對收斂。這是因為，而當p＞1時收斂，故由比較法則推知收斂。（ⅱ）當0＜p≤1時條件收斂。這是因為對任意u≥1，有，而當p＞0時單調趨于0（x→+∞），故由狄利克雷判別法推知當p＞0時總是收斂的。另一方面，由于，其中滿足狄利克雷判別條件，是收斂的，而是發散的，因此當0＜p≤1時該無窮積分不是絕對收斂的。所以它是條件收斂的。□證明下列無窮積分都是條件收斂的：，，。證前兩個無窮積分經換元t=x2得到=，=.由例3已知它們是條件收斂的。對于第三個無窮積分，經換元t=x2而得=，它也是條件收斂的