專題19圓錐曲線的綜合問題圓錐曲線綜合問題內容主要包括：圓錐曲線方程、直線與圓錐曲線位置關系、時常與三角、導數與函數、向量、不等式等知識相結合，求解弦長、面積、中點弦圓錐曲線綜合問題內容主要包括：圓錐曲線方程、直線與圓錐曲線位置關系、時常與三角、導數與函數、向量、不等式等知識相結合，求解弦長、面積、中點弦問題、焦點弦問題、最值或變量范圍等等。考查方法常有：消元法、換元法、主元法、等價轉換、先猜后證、點差法、投影法等。考查的核心素養主要有：數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算、數學建模。考查的數學思想主要有：函數與方程、數形結合、分類討論、等價化歸。弦弦問題；3.圓錐曲線中的面積問題。——江蘇省清江中學高級教師崔緒春探究1：中點弦問題【典例剖析】例1.(2022·新高考2卷)已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A，B兩點，l與x軸y軸分別相交于M，N兩點，且|MA|=|NB|，|MN|=23選題意圖:選題意圖:高考真題,本題雖然以橢圓為載體,但并沒有涉及橢圓的幾何性質,主要考查學生的邏輯推理和數學運算能力,涉及中點弦問題時常用點差法求解.思維引導：首先取AB的中點E，從而得到E為MN的中點.利用點差法可得kOE．kAB=-12,結合【變式訓練】練11(2022·浙江省聯考)阿基米德是古希臘著名的數學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過F作直線l交橢圓于A、B兩點，A.362π B.182π練12(2022·江蘇省徐州市模擬·多選)已知雙曲線C：x2a2-y2=1(a>0)，若圓(x-2)A.雙曲線C的實軸長為6

B.雙曲線C的離心率e=233

C.點P為雙曲線C上任意一點，若點P到C的兩條漸近線的距離分別為d1，d2，則d1d2=34

D.直線y=k1x+m與C交于A【規律方法】1.橢圓中點弦結論（以焦點在x軸的橢圓方程x2如圖，在橢圓C中，E為弦AB的中點，則kOE注：若焦點在y軸上的橢圓x2b22.雙曲線中點弦結論（以焦點在x軸的雙曲線x2a2如圖所示，E為弦AB的中點，則kOE注：若焦點在軸上的雙曲線y2a2-3.拋物線中點弦結論如圖，在拋物線y2=2pxp≠0中，若直線l點Px0,y0是弦MN的中點，弦MN所在的直線l的斜率為k注：在拋物線x2=2pyp≠0中，若直線l點Px0,y0是弦MN的中點，弦MN所在的直線l的斜率為kMN答題模板：點差法解題思路（以給定橢圓和直線斜率為例，雙曲線拋物線同理）第一步:設直線與橢圓交點為Ax1,y1,Bx第二步:兩式相減得x1第三步:利用kAB=y2-化簡可得y2探究2：拋物線的焦點弦問題【典例剖析】例2.(2022·全國甲卷理科)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點D(p,0)，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，(1)求C的方程；(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α-β取得最大值時，求直線AB的方程．選題意圖選題意圖：高考真題,考查直線、拋物線、三角函數、不等式的基本性質以及解析幾何的基本思想方法要求學生在復雜的直線與拋物線的位置關系中,能抓住問題的本質,發現解決問題的關鍵.思維引導：(1)利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；

(2)解決本題的關鍵是利用拋物線方程對斜率進行化簡，利用韋達定理得出坐標間的關系,借助三角恒等變換和基本不等式求解.【變式訓練】練21(2022·湖北省武漢市聯考)過拋物線y2=8x焦點的直線與拋物線交于M，N兩點，設拋物線的準線與x軸的交點為A，當MA⊥NA時，|MN|=

．練22(2022·江蘇省南京市模擬)設拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|=8．

(1)求l的方程；

(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．【規律方法】1.過拋物線y2=2pxx>0焦點F的弦AB，若點Ax1,y1,Bx2,y2，過A、B的直線傾斜角為α2.解決拋物線的焦點弦問題時，要注意一下幾點：(1)設拋物線上有兩點Ax1,y1(2)利用y12?y2(3)利用拋物線的定義把過焦點的弦分成兩個焦半徑的和，轉化為到準線的距離，再求解.(4)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用AB=x1+x探究3：圓錐曲線中的面積問題【典例剖析】例3.(2022·新高考1卷)已知點A(2,1)在雙曲線C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0．

(1)選題意圖選題意圖：高考真題,以雙曲線為載體進行命題,第一問考查直線與雙曲線的聯立、斜率化韋達代入問題，直接計算非常麻煩，有兩個行之有效的方法，一是齊次化的方法，二是利用圓錐曲線的硬解定理.考查數學運算與邏輯推理的核心素養.思維引導：(1)將點A代入雙曲線方程得4a2-1a2-1=1，求得a2=2，則雙曲線方程為x22-y2=1;

由題顯然直線l的斜率存在，設l:y=kx+m，代入雙曲線方程，得出關于x【變式訓練】練31(2021·全國甲卷理科)已知F1,F2為橢圓C:x216+y24=1兩個焦點，P練32(2021·全國乙卷理科)已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點P在M上，PA，PB為C的兩條切線，A【規律方法】1.面積問題的解決策略：

(1)求三角形的面積需要尋底找高,需要兩條線段的長度,為了簡化運算,優先選擇能用坐標直接表示的底(或高)(2)對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，其中對角線用弦長公式求解(3)不規則的多邊形的面積通常考慮拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則可以考拆分成若干個易于計算的三角形.2.多個圖形面積的關系的轉化關鍵詞“求同存異”，尋找這些