專題1.3探索勾股定理（鞏固篇）（專項練習）一、單選題類型一、勾股定理的證明1．如圖，在四邊形中，//，，點是邊上一點，，，.下列結論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗證勾股定理.其中正確的結論個數是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，，根據圖中圖形面積之間的關系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．3．歷史上對勾股定理的一種證法采用了如圖所示的圖形，其中兩個全等的直角三角形的直角邊在同一條直線上.證明中用到的面積相等關系是（

）A． B．C． D．類型二、用勾股定理解直角三角形4．一個直角三角形的兩條直角邊邊長分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．55．如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點在的斜邊上下列結論：其中正確的有（

）①≌；②；③；④A．個 B．個 C．個 D．個6．已知點是平分線上的一點，且，作于點，點是射線上的一個動點，若，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5類型三、勾股數的問題7．下列各組數是勾股數的是（

）A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，88．如圖，在中，，以的各邊為邊在外作三個正方形，，，分別表示這三個正方形的面積，若，則（

）A．5 B．7 C．13 D．159．《九章算術》提供了許多整勾股數，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一組勾股數中最大的數稱為“弦數”．后人在此基礎上進一步研究，得到如下規律：若m是大于1的奇數，把它平方后拆成相鄰的兩個整數，那么m與這兩個整數構成組勾股數；若m是大于2的偶數，把它除以2后再平方，然后把這個平方數分別減1，加1得到兩個整數，那么m與這兩個整數構成組勾股數．由上述方法得到的勾股數稱為“由m生成的勾股數”．根據以上規律，“由8生成的勾股數”的“弦數”為（）A．16 B．17 C．25 D．64類型四、勾股定理與面積問題10．如圖，我國古代的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形密鋪構成的大正方形，若小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，則直角三角形較短的直角邊a與較長的直角邊b的比的值是（）A． B． C． D．11．如圖是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形的兩直角邊分別是a、b，且，大正方形的面積是9，則小正方形的面積是（

）A．3 B．4 C．5 D．612．如圖，△ABC中，，以其三邊分別向外側作正方形，然后將整個圖形放置于如圖所示的長方形中，若要求圖中兩個陰影部分面積之和，則只需知道（

）A．以BC為邊的正方形面積 B．以AC為邊的正方形面積C．以AB為邊的正方形面積 D．△ABC的面積類型五、勾股定理的其他應用13．在中，，，，的對邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．14．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．4515．定義：順次連接平面內不在同一條直線上的任意三點A，B，C，稱為A，B，C，三點的勾股差，記作，即．若D、E、F是平面內不在同一條直線上的任意三點，順次將其連接，根據上述定義，下列結論錯誤的是（

）A．B．若，則C．若，則D．若，，，則二、填空題類型一、勾股定理的證明16．如圖，把長、寬、對角線的長分別是a、b、c的矩形沿對角線剪開，與一個直角邊長為c的等腰直角三角形拼接成右邊的圖形，用面積割補法能夠得到的一個等式是__．17．如圖，兩個邊長分別為a，b，c的直角三角形和一個兩條直角邊長都是的直角三角形拼成如圖形狀用不同的方法計算這個圖形的面積，可得關于a，b，c的一個等式是_______________________．18．曾任美國總統的加菲爾德曾經給出了一種勾股定理的證明方法.如圖，該圖形整體上拼成了一個直角梯形，所以它的面積有兩種表示方法，既可以表示為_______，又可以表示為_______.對比兩種表示方法可得________，化簡，可得.類型二、用勾股定理解直角三角形19．如圖，的兩直角邊AC、BC的長分別為6、8，按圖示那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則______．20．如圖，CD是△ABC的中線，將△ACD沿CD折疊至，連接交CD于點E，交CB于點F，點F是的中點．若的面積為12，，則點F到AC的距離為______．21．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則____________．類型三、勾股數的問題22．觀察下列幾組勾股數，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，則第⑥組勾股數為______．23．如圖，所有的四邊形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長為13，則圖中所有的正方形的面積之和為_____．24．觀察下列各組勾股數（1）3，4，5（2）5，12，13；（3）7，24，25：（4）9，40，41照此規律，將第n組勾股數按從小到大的順序排列，排在中間的數，用含n的代數式可表示為___．類型四、勾股定理與面積問題25．如圖，在中，，分別以，，邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”，當，時，陰影部分的面積為________．26．如圖，該圖形是由直角三角形和正方形構成，其中最大正方形的邊長為7，則正方形A、B、C、D的面積之和為__________．27．如圖，Rt△ABC的兩條直角邊，．分別以Rt△ABC的三邊為邊作三個正方形．若四個陰影部分面積分別為，，，，則的值為______，的值為______．類型五、勾股定理的其他應用28．如圖，矩形中，，，將矩形繞點順時針旋轉得到矩形，邊與交于點，延長交于點，若，則的長為______．29．如圖，在四邊形ABCD中，，AD=CD，AB+BC=8，則四邊形ABCD的面積是_________．30．設，是直角三角形的兩條直角邊長，若該三角形的周長為24，斜邊長為10，則的值為________．三、解答題31．做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直線邊分別為a，b，斜邊為c，再做3個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們按下圖所示的方式拼成兩個正方形．利用兩個正方形的面積相等來證明勾股定理：a2＋b2＝c232．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點，點F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF．(1)求證：；(2)連接EF，取EF中點G，連接DG并延長交BC于H，連接BG．①依題意，補全圖形；②求證：；③若，用等式表示線段BG，HG與AE之間的數量關系，請直接寫出結論．33．閱讀理解：課堂上學習了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老師給出一組數讓學生觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……學生發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學生解決．(1)請你根據上述的規律寫出下一組勾股數：11，_________，_________；(2)若第一個數用字母（為奇數，且）表示，則后兩個數用含的代數式分別怎么表示？聰明的小明發現每組第二個數有這樣的規律：，，，……于是他很快表示出了第二個數為，則用含的代數式表示第三個數為_________．(3)用所學知識說明（2）中用表示的三個數是勾股數．34．如圖，在等腰中，，點D是上一點，作等腰，且，連接．(1)求證：；(2)求證：．參考答案1．D【解析】【分析】證明△ABC≌△CDE（SAS），由全等三角形的性質可得出∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．由圖形的面積可得出結論．【詳解】解：∵AB∥DE，AB⊥BD，∴DE⊥BD，∴∠B=∠D=90°．在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（SAS），∴∠A=∠DCE，∠ACB=∠E．∵∠A+∠ACB=90°，∴∠DCE+∠ACB=90°．∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，故①②正確；∵AB∥DE，AB⊥BD，∴四邊形ABDE的面積是(a+b)2；故③正確；∵梯形ABDE的面積-直角三角形ACE的面積=兩個直角三角形的面積，∴，∴a2+b2=c2．故④⑤都正確．綜上，正確的結論是①②③④⑤，共5個故選：D．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的證明，垂直的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．2．C【解析】【分析】根據小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個直角三角形的面積可得問題的答案．【詳解】標記如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故選：C．【點撥】此題考查的是利用勾股定理的證明，可以完全平方公式進行證明，掌握面積差得算式是解決此題關鍵．3．D【解析】【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而證明勾股定理．【詳解】解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四邊形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴證明中用到的面積相等關系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四邊形ABCD．故選D．【點撥】本題考查勾股定理的證明依據．此類證明要轉化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉化成方程達到證明的結果．4．C【解析】【分析】根據勾股定理求出斜邊的長，再根據面積法求出斜邊的高．【詳解】解：設斜邊長為c，高為h．由勾股定理可得：c2=62+82，則c=10，直角三角形面積S=×6×8=×c×h，可得h=4.8，故選：C．【點撥】本題考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的邊長和利用面積法求直角三角形的高是解決此類題的關鍵．5．C【解析】【分析】由等腰直角三角形的性質和三角形的外角性質得出正確；由證出≌，正確；證出是直角三角形，由勾股定理得出正確；由全等三角形的性質和等邊三角形性質得出不正確；即可得出答案．【詳解】解：和都是等腰直角三角形，，，，，，，，故正確；，，在和中，，≌，故正確；，，，是直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，故正確；在上截取，連接，如圖所示：在和中，，≌，，當時，是等邊三角形，則，此時，故不正確；故選：．【點撥】本題是考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，直角三角形的判定與性質等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質和等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．6．B【解析】【分析】根據垂線段最短可得PN⊥OA時，PN最短，再根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，再結合勾股定理求解即可．【詳解】解：當PN⊥OA時，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵，，，∴由勾股定理可知：PM=3，∴PN的最小值為3．故選B．【點撥】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，垂線段最短的性質及勾股定理，熟記性質是解題的關鍵．7．B【解析】【分析】根據勾股數的定義：滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數判定則可．【詳解】解：A、12+22≠32，不能構成直角三角形，故不是勾股數；B、32+42=52，能構成直角三角形，是正整數，故是勾股數；C、42+52≠62，不能構成直角三角形，故不是勾股數；D、62+72≠82，不能構成直角三角形，故不是勾股數．故選：B．【點撥】本題考查了勾股數的定義，注意：一組勾股數必須同時滿足兩個條件：①三個數都是正整數；②兩個較小數的平方和等于最大數的平方．8．B【解析】【分析】根據勾股定理和正方形的面積公式計算即可．【詳解】∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵S1=BC2=3，S2=AB2=10，S3=AC2，∴S3=S2?S1=10?3=7，故選：B．【點撥】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．熟練掌握勾股定理的內容是解題的關鍵．9．B【解析】【分析】直接根據題意分別得出由8生成的勾股數”的“弦數”進而得出答案．【詳解】解：∵由8生成的勾股數”的“弦數”記為A，∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，故A＝17，故選：B．【點撥】本題考查勾股數問題．能理解題中的計算方式，并能依此計算是解決此題的關鍵．需注意在計算“由m生成的勾股數”時，m分奇偶計算方式不同．10．B【解析】【分析】根據勾股定理可以求得等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到2ab的值，然后根據即可求得（a＋b）的值；根據小正方形的面積為即可求得，進而聯立方程組求得a與b的值，則可求出答案．【詳解】解：∵大正方形的面積是13，設邊長為c，∴，∴，∵直角三角形的面積是，又∵直角三角形的面積是，∴，∴，∴．∵小正方形的面積為，又∵，∴，聯立可得，解得，∴．故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理以及完全平方公式的知識，解題關鍵是熟記完全平方公式，還要注意圖形的面積和a、b之間的關系．11．A【解析】【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積?4個直角三角形的面積，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面積為9，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案．【詳解】解：∵(a+b)2=15，∴a2+2ab+b2=15，∵大正方形的面積為：a2+b2=9，∴2ab=15?9=6，即ab=3，∴直角三角形的面積為：，∴小正方形的面積為：，故選：A．【點撥】此題主要考查了完全平方公式及勾股定理的應用，熟練應用完全平方公式及勾股定理是解題關鍵．12．D【解析】【分析】如圖所示，過點C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，證明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，則，即可推出由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點C作CN⊥AB于N，延長AB、BA分別交正方形兩邊于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可證△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面積的面積即可求出陰影部分的面積，故選D【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線，構造全等三角形．13．A【解析】【分析】根據題意可知，的面積為，結合已知條件，根據完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【點撥】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．14．D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【點撥】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認真觀察，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點，重點還是在于勾股定理的熟練掌握．15．B【解析】【分析】根據定義，并結合有關的幾何知識，可以對選項的正確性作出判斷，從而選出錯誤選項．【詳解】A、由已知定義，,,通過比較，成立，A正確；B、由A可知，不管是否成立，都有成立，所以B不一定正確；C、若，則為直角三角形，根據勾股定理有：，所以，C正確；D、若，，，則，D正確；故選B．【點撥】本題綜合考查閱讀能力以及勾股定理等有關幾何知識的應用，解題關鍵是根據題目給出的定義對各選項的有關符號作出表示．16．a2+b2＝c2【解析】【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而列出等式，發現邊與邊之間的關系．【詳解】解：此圖可以這樣理解，有三個Rt△其面積分別為ab，ab和c2．還有一個直角梯形，其面積為（a+b）（a+b）．由圖形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案為：a2+b2＝c2．【點撥】此題考查的知識點是勾股定理的證明，主要利用了三角形的面積公式：底×高÷2，和梯形的面積公式：（上底+下底）×高÷2．17．【解析】【分析】用兩種方法求圖形面積，一是直接利用梯形面積公式來求；一是利用三個三角形面積之和來求．【詳解】根據題意得：S=(a+b)(a+b)，S=ab+ab+c2，∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，即(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，整理得：a2+b2=c2．故答案為：a2+b2=c2．【點撥】本題考查了勾股定理的證明，整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．18．

；

；

.【解析】【分析】因為梯形的上底為a，下底為b，高為（a+b），則它的面積可表示為（a+b）?（a+b）；此梯形的面積還可以看成是三個直角三角形的面積和，即（ab×2+c2）；則（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）．【詳解】由題可知梯形面積為（a+b）（a+b）；此梯形的面積還可以看成是三個直角三角形的面積和，即（ab×2+c2）．因此（a+b）（a+b）=（ab×2+c2）即a2+b2=c2．【點撥】主要應用了梯形的面積公式和三角形的面積公式．19．【解析】【分析】設CE=x，然后可得關于x的方程，解方程即可得到解答．【詳解】解：設CE=x，則AE=BE=BC-CE=8-x，∴在Rt△ACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE2，即62+x2=（8-x）2，解方程可得：故答案為．【點撥】本題考查直角三角形的綜合應用，熟練掌握勾股定理及方程思想方法在幾何中的應用是解題關鍵．20．【解析】【分析】過點F作FH⊥AC于點H，由翻折的性質可知S△AA'D=24，由D為AB的中點，則S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通過AAS證明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的長，最后通過面積法即可求出FH的長．【詳解】解：如圖，過點F作FH⊥AC于點H，根據翻折的性質得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D為AB的中點，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F為A'E的中點，∴A'F=EF，在△A'BF與△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA=10，在△CAF中，CA?HF=AF?CE，∴HF==，即點F到AC的距離為，故答案為：．【點撥】本題主要考查了翻折的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，運用等積法求垂線段的長是解題的關鍵．21．34【解析】【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案為：34．【點撥】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一數學模型是解題關鍵．22．16，63，65【解析】【分析】據前面的幾組數可以得到每組勾股數與各組的序號之間的關系，如果是第n組數，則這組數中的第一個數是2（n+2），第二個是：（n+1）（n+3），第三個數是：（n+2）2+1．根據這個規律即可解答．【詳解】解：根據題目給出的前幾組數的規律可得：這組數中的第一個數是2（n+2），第二個是：（n+1）（n+3），第三個數是：（n+2）2+1，故可得第⑥組勾股數是16，63，65．故答案為選：16，63，65．【點撥】本題考查了勾股數，此題屬規律性題目，解答此題的關鍵是根據所給的勾股數找出規律，按照此規律即可解答．23．507【解析】【分析】根據勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，等量代換即可求所有正方形的面積之和．【詳解】解：如圖所示，根據勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形3，S正方形A+S正方形B＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝S正方形2+S正方形3＝S正方形1，則S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507．故答案為507【點撥】本題考查了勾股定理．有一定難度，注意掌握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．24．##【解析】【分析】觀察數據，題中數據第二個數和第三個數是連續的，第一個數是從3開始的連續的奇數，則第個為：，根據完全平方公式展開即可求得中間的數．【詳解】解：觀察數據可知，第一個數是從3開始的連續的奇數，則第個為：，，，，……，則第組勾股數為設中間的數為，則第三個數為，即即中間的數為故答案為：【點撥】本題考查了數字類找規律，勾股數，整式的乘法運算，找到規律是解題的關鍵．25．24【解析】【分析】根據勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根據陰影部分的面積等于直角三角形的面積加上以AC，BC為直徑的半圓面積，再減去以AB為直徑的半圓面積即可．【詳解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，則陰影部分的面積，故答案為24．【點撥】本題考查的是勾股定理、半圓面積計算，掌握勾股定理和半圓面積公式是解題的關鍵．26．49【解析】【分析】根據正方形A，B，C，D的面積和等于最大的正方形的面積，求解即可求出答案．【詳解】如圖對所給圖形進行標注：因為所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，所以正方形A的面積，正方形B的面積，正方形C的面積，正方形D的面積．因為，，所以正方形A，B，C，D的面積和．故答案為：49．【點撥】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質，面積的計算，掌握勾股定理是解本題的關鍵．27．

24

0【解析】【分析】先證明從而可得再利用圖形的面積關系可得：兩式相減可得：而證明從而可得第二空的答案.【詳解】解：如圖，以Rt△ABC的三邊為邊作三個正方形，兩式相減可得：而故答案為：24，0【點撥】本題考查的是正方形的性質，全等三角形的判定與性質，圖形面積之間的關系，證明是解本題的關鍵.28．【解析】【分析】連接，過點作，設，分別解得的長，繼而證明，由全等三角形的性質得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據此解題．【詳解】如圖，連接，過點作，設，則矩形中在與中，在中，，故答案為：．【點撥】本題考查旋轉變換、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．29．16【解析】【分析】求不規則四邊形的面積，可以轉化為兩個三角形的面積，由題意，可知：求出與的面積，即為四邊形ABCD的面積．【詳解】連接AC，∵，∴，，∴，∵AB+BC=8，∴，∴，∴故答案為：16．【點撥】本題主要考查的是四邊形面積的求解，三角形面積以及勾股定理，熟練運用三角形面積公式以及勾股定理是解答本題的關鍵．30．48【解析】【分析】由該三角形的周長為24，斜邊長為10可知a＋b＋10＝24，再根據勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．【詳解】解：∵三角形的周長為24，斜邊長為10，∴a＋b＋10＝24，∴a＋b＝14，∵a、b是直角三角形的兩條直角邊，∴a2＋b2＝102，則a2＋b2＝（a＋b）2?2ab＝102，即142?2ab＝102，∴ab＝48．故答案為：48．【點撥】本題主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理證明線段的平方關系及完全平方公式的變形求值是解題的關鍵．31．證明見解析【解析】【分析】根據不同圖形拼成的兩個正方形面積相等即可證明【詳解】證明：①左圖大正方形的邊長為：a+b，則面積為（a+b）2，分成了四個直角邊為a，b，斜邊為c的全等的直角三角形和一個邊長為c的小正方形，；②右圖大正方形的邊長為：a+b，則面積為（a+b）2，分成了邊長為a的一個正方形，邊長為b的一個正方形，還有四個直角邊為a，b，斜邊為c的全等的直角三角形，；綜上所述：，即．【點撥】本題考查利用圖形面積的關系證明勾股定理，解題關鍵是利用三角形和正方形邊長的關系進行組合圖形．32．(1)見解析(2)①見解析；②見解析；③BG2＋HG2＝4AE2．【解析】【分析】（1）證△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再證∠EDF＝90°，即可得出結論；（2）①依題意，補全圖形即可；②由直角三角形斜邊上的中線性質得DG＝EF，BG＝EF，即可得出結論；③先證△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再證DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后證△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理即可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，即∠A＝∠DCF，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，