專題23.2平行線分線段成比例一、單選題1．如圖，直線，直線，與這三條平行線分別交于點，，和點，，．若，，則（）A．4 B．4.5 C．6 D．5【答案】C【分析】由平行線分線段成比例定理得出＝，即，解方程即可得出結果．【詳解】解：∵DF＝10，∴ED＝12﹣FE，∵a∥b∥c，∴＝，即：，解得：FE＝6，故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理，列出正確比例式是解題的關鍵．2．如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線m、n分別與直線l1、l2、l3分別交于點A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平行線分線段成比例定理解答即可．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵DE＝3，DF＝8，∴，即＝，故選：B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，注意：一組平行線截兩條直線，所截的線段對應成比例．3．如圖，直線，直線和被所截，，則的長（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據平行線分線段成比例定理得出比例式即可得出答案；【詳解】解：∵，∴AC=6∵，∴，∴，∴，故選：D【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，得出是解題的關鍵4．如圖，在正方形ABCD中，E，F是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】設，首先證明，再利用平行線分線段成比例定理求出，推出，，可得結論．【詳解】解：設，四邊形是正方形，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，，，，，故選：A．【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會利用參數，設正方形的邊長為，求出，．5．如圖：分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊作等邊△ACD及等邊△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF交AC于點O．給出下列說法：①AC＝EF；②四邊形ADFE是平行四邊形；③△ABC≌△ADO；④2FO＝BC；⑤∠EAD＝120°．其中正確結論的個數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由等邊三角形的性質可得AF＝BC，由“HL”可證△AFE≌△BCA，可得AC＝EF，即可判斷①成立，由平行四邊形的判定可證四邊形ADFE是平行四邊形，即可判斷②成立，由“SSS”可證△ADF≌△CAB可判斷③不成立，由平行線分線段成比例可判斷④成立，由等邊三角形的性質可判斷⑤不成立．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC＝EF，故①正確；∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°，又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．故②正確；∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴AE＝DF＝AB，AE∥DF，又∵AF＝BC，AD＝AC，∴△ADF≌△CAB（SSS），∴△ABC與△ADO不全等，故③錯誤；∵∠BAC＝30°，∴2OF=AF，∵AF＝BC，∴BC＝2OF，故④正確；∵∠EAD＝∠BAE+∠BAC+∠CAD＝150°，故⑤錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質是解題的關鍵．6．如圖，在正方形中，點是上一動點，點是的中點，繞點順時針旋轉得到，連接，給出結論：①；②；③；④若正方形的邊長為2，則點在射線上運動時，有最小值．其中結論正確的是（）A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】延長AE交DC的延長線于點H，由“AAS”可證△AME≌△HCE，可得AE=EH，由直角三角形的性質可得AE=EF=EH，可判斷①；由四邊形內角和定理可求2∠ADE+2∠EDF=270°，可得∠ADF=135°，可判斷②；由垂線段最短，可得當CF⊥DF時，CF有最小值，由等腰直角三角形的性質可求CF的最小值，可判斷④；由連接AC，過點E作EP⊥AD于點P，過點F作FN⊥EP于N，交CD于G，連接CF，由梯形中位線定理可求PE=（AM+CD），由“AAS”可證△APE≌△ENF，可得AP=NE=AD，即可求AM=2DG=，可判斷③，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于點，點是的中點，，，，，，，又，，繞點順時針旋轉得到，，，，故①正確；，，，，，，，故②正確；如圖，連接，過點作于點，過點作于，交于，連接，，，，四邊形是矩形，，，，點在上運動，當時，有最小值，，，的最小值，故④正確；，，，，，，是梯形的中位線，，，，，，，，，，又，，，，，，，，故③錯誤；故選：．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，旋轉的性質，平行線分線段成比例，梯形中位線的定理等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．二、填空題7．如圖，AB∥CD∥EF，點C，D分別在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的長____．【答案】．【分析】根據平行線分線段成比例的性質可以得到解答．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴＝，∴DF＝，故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段的性質，熟練掌握平行線分線段成比例的性質并靈活應用是解題關鍵．8．如圖，CD＝3BD，AF＝FD，則AE：AC＝_____．【答案】1：5【分析】作DH∥BE，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，得到AE＝EH，CH＝3EH，得到答案．【詳解】過點D作DH∥BE交AC于H，∵DH∥BE，∴，，∴AE＝EH，CH＝3EH，∴AE：AC＝1：5，故答案為：1：5．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．9．在△ABC中，點D、E分別在邊AB和BC上，AD=2，DB=3，BC=10，要使DE∥AC，那么BE必須等于_________．【答案】6【分析】根據平行線截線段成比例定理求解．【詳解】解：當時，，

所以，

∴，

故答案為6．【點睛】本題考查成比例線段的應用，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題關鍵．10．如圖，小明在橫格作業紙（橫線等距）上畫了個“×”，與橫格線交于A、B、C、D、O五點，如果線段，則線段________．【答案】6【分析】過點O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，即可得到∠DEA=∠OFC=90°，E、O、F三點共線，再根據AB∥CD，，可以得到再根據橫線等距，即，由此求解即可.【詳解】解：如圖所示，過點O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，∴∠DEA=∠OFC=90°，∵AB∥CD，∴E、O、F三點共線，∴，，∴，∵橫線等距，∴∴，∴，故答案為：6.【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.11．小麗在“紅色研學”活動中深受革命先烈事跡的鼓舞，用正方形紙片制作成圖1的七巧板，設計拼成圖2的“奔跑者”形象來激勵自己．已知圖1正方形紙片的邊長為4，圖2中，則“奔跑者”兩腳之間的跨度，即之間的距離是__________．【答案】【分析】先根據圖1求EQ與CD之間的距離，再求出BQ，即可得到之間的距離=EQ與CD之間的距離+BQ．【詳解】解：過點E作EQ⊥BM，則根據圖1圖形EQ與CD之間的距離=由勾股定理得：，解得：；，解得：∵∴∵EQ⊥BM，∴∴∴之間的距離=EQ與CD之間的距離+BQ故答案為．【點睛】本題考查了平行線間的距離、勾股定理、平行線所分得線段對應成比例相關知識點，能利用數形結合法找到需要的數據是解答此題的關鍵．12．如圖，在正方形中，，與交于點，是的中點，點在邊上，且，為對角線上一點，則的最大值為______．【答案】1【分析】以BD為對稱軸作N的對稱點N'，連接PN'，MN'，依據PM-PN=PM-PN'≤MN'，可得當P，M，N'三點共線時，取“=”，再求得，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，再根據△N'CM為等腰直角三角形，即可得到CM=MN'=1．【詳解】解：如圖所示，以BD為對稱軸作N的對稱點N'，連接PN'，MN'，

根據軸對稱性質可知，PN=PN'，∴PM-PN=PM-PN'≤MN'，當P，M，N'三點共線時，取“=”，∵正方形邊長為4，∴AC=AB=4，∵O為AC中點，∴AO=OC=2，∵N為OA中點，∴ON=，∴ON'=CN'=，∴AN'=3，∵BM=3，∴CM=AB-BM=4-3=1，∴，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'=90°，∵∠N'CM=45°，∴△N'CM為等腰直角三角形，∴CM=MN'=1，即PMPN的最大值為1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了正方形的性質以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．13．如圖，在矩形中，，．連接，的角平分線交于點E，現把繞點B逆時針旋轉，記旋轉后的為．當射線和射線都與線段相交時，設交點分別為F，G．若為等腰三角形，則線段長為______．【答案】【分析】求出BD和BF，過作，交于，證明，設，利用平行線分線段成比例得到，求出x值即可．【詳解】解：在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得：，解得，．過作，交于，，，，，，，，又，，，設，則，，，，即，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，作出輔助線是解題關鍵．14．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A與y軸交于點B，點O為坐標原點，C1為AB中點，過C1作C1A1⊥OA于點A1，連接OC1，△OA1C1面積記為S1；C2為AC1中點，過C2作C2A2⊥OA于點A2，連接OC2，△OA2C2面積記為S2；C3為AC2中點，過C3作C3A3⊥OA于點A3，連接OC3，△OA3C3面積記為S3……以此類推，面積為S2021為_____________．

【答案】【分析】根據一次函數解析式，可得A(，0)，B(0，1)，從而得OA1=，A1C1=，求得S1=，S2=，進而得Sn=，然后即可求解．【詳解】解：∵直線與x軸交于點A與y軸交于點B，∴A(，0)，B(0，1)，即：AO=，BO=1，∵C1為AB中點，C1A1⊥OA，∴C1A1∥OB，∴，即A1是OA的中點，∴OA1=，A1C1=，∴S1=××=，同理：OA2=，A2C2=，S2=××=，……，以此類推，Sn=，∴S2021=．故答案是：．【點睛】本題主要考查一次函數的圖像和性質，平行線分線段成比例定理，掌握函數圖像上點的坐標特征，找出三角形面積的變化規律是解題的關鍵．三、解答題15．如圖，D是的邊上的點，，E是的中點，求：的值．

【答案】5:1【分析】過點D作的平行線交于點P，根據平行線分線段成成比例定理，可得，，進而可推得BE=5EF，從而可得BE:EF的值．【詳解】過點D作的平行線交于點P，如圖∴，∵BD:DC=2:1，E是AD的中點，∴，∴∴【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，關鍵是作輔助線，構造平行．16．如圖，已知，，求、的長．【答案】,．【分析】由可得，可求,可得，設，可得，解方程即可．【詳解】解：∵∴，∴，∴,∴，，設，∴，解得．∴．【點睛】本題考查平行線截線段成比例性質，利用比例構建方程，掌握平行線截線段成比例性質，利用比例構建方程是解題關鍵．17．如圖：AD∥EG∥BC，EG分別交AB，DB，AC于點E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，FG的長．【答案】7.5，6.25．【分析】先在△ABC中利用平行線分線段成比例求出EG，在△BAD中利用平行線分線段成比例求出EF，最后根據FG=EG-EF求解即可．【詳解】解：∵在△ABC中，EG//BC∴∵BC=10，AE=9，AB=12，∴，即EG==7.5在△BAD中，EF//AD∴∵AD=5，AE=9，AB=12，∴BE=AB-AE=3∴，EF==1.25∴FG=EG-EF=7.5-1.25=6.25．【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例，審清題意、明確題中各線段的關系成為解答本題的關鍵．18．已知：正方形中，為邊中點，為邊中點，交于，交于，連接．（1）求證：；（2）求的值；【答案】（1）見解析；（2）6：4：5【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；（2）分別求出、、即可解決問題；【詳解】解：（1）證明：四邊形是正方形，，，，，．（2），，，，在中，，，，，同法可得，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查平行線分線段成比例、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．19．對于平行線，我們有這樣的結論：如圖1，，交于點O，則．請利用該結論解答下面的問題：如圖2，在中，點D在線段上，，，，求的長．【答案】3【分析】過點C作CE∥AB交AD的延長線于E，根據平行線分線段成比例定理得到＝，由已知代入求出DE的長，證明△ACE為等腰三角形即可．【詳解】解：過點C作CE∥AB交AD的延長線于E，則＝，又BD＝2DC，∴∵AD＝2，∴DE＝1，∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°，∴∠ACE＝∠E＝75°，∴AC＝AE＝AD+DE=3．