專題07導數及其應用（重點）一、單選題1．已知函數可導，且滿足，則函數在處的導數為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據導數的定義求解.【解析】因為,所以,故選:A.2．曲線在點處的切線方程為，則a，b的值分別為（

）A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1【答案】C【分析】根據切點和斜率求得切線方程.【解析】依題意，切點為，斜率為，，所以，解得.故選：C3．下列求導運算錯誤的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導數公式和運算法則判斷【解析】解：A選項中，，故正確；B選項中，，故正確；C選項中，，故正確D選項中，，故錯誤，故選：D.4．函數的圖像如圖所示，則關于函數的說法正確的是（

）A．函數有3個極值點B．函數在區間上是增加的C．函數在區間上是增加的D．當時，函數取得極大值【答案】C【分析】結合導數與函數單調性的關系可知，，函數單調遞增，，函數單調遞減，結合圖像即可判斷函數的單調區間及極值.【解析】結合導數與函數單調性的關系可知，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，故當時，函數取得極大值，當時，函數取得極小值.所以D錯誤；故函數有2個極值點，所以A錯誤；函數的單調性為：單增區間；單減區間.故B錯誤，C正確.故選：C.5．當時，函數取得最大值，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由得，再由在處取得最大值，分析得，得.【解析】當時，函數取得最大值-2，所以，即，，定義域為，又因為在處取得最大值，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，則，所以.故選：A.6．若函數在區間上不單調，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求導，對分類討論，分與兩種情況，結合零點存在性定理可得的取值范圍.【解析】，，當時，在上恒成立，此時在上單調遞減，不合要求，舍去；當時，則要求的零點在內，的對稱軸為，由零點存在性定理可得：，故，解得：，故的取值范圍.故選：C7．已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原式整理化簡為，可構造函數，使用函數的單調性求解.【解析】∵∴原式令，則，當時，，在區間上單調遞增，當時，，在區間上單調遞減，又∵，，，∴當時，，∴當，的取值范圍是.故選：D.8．函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到的奇偶性，排除CD，再利用導函數得到時，恒成立，排除A，選出正確答案.【解析】的定義域為R，且，所以為偶函數，排除CD；令，，則恒成立，故當時，，又在上恒成立，所以在上恒成立，排除A，B選項正確.,故選：B9．定義在上的可導函數的導函數記為，若為奇函數且，當時，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，根據題意求得函數在為單調遞增函數，然后分，和三種情況進行求解即可【解析】設，則，因為當時，成立，所以，為遞減函數，又因為函數為奇函數，可得，則，所以函數為偶函數，所以函數在為單調遞增函數，因為，所以，，，當時，由為奇函數可得不滿足題意；當時，由可得，所以；當時，由可得，所以，此時，綜上所述，不等式的解集是故選：D10．函數的定義域為，為奇函數，且的圖像關于對稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意得函數的圖像關于點對稱，關于對稱，進而得函數是周期為的周期函數，再結合題意，根據周期性與對稱性求解即可.【解析】解：因為為奇函數，即，所以，函數的圖像關于點對稱，即，因為的圖像關于對稱，所以的圖像關于對稱，即，所以，，所以，即函數是周期為的周期函數，所以曲線在處的切線斜率等于曲線在處的切線斜率，因為曲線在處的切線斜率為，圖像關于對稱，所以，曲線在處的切線斜率為，因為，，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A11．對任意恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得，令，，利用導函數求最小值、最大值即可.【解析】當時，，不等式顯然成立；當時，，令，令，則是上的增函數且，當時，此時遞減，時，此時遞增.故的最小值為，令，則，故是增函數，的最大值為，故，綜上所述，，故選：D12．關于函數，下列判斷正確的是（

）①是的極大值點，②函數有且只有1個零點，③存在正實數，使得成立，④對任意兩個正實數，且，若，則.A．①④ B．②③ C．②③④ D．②④【答案】D【分析】對于①，根據極大值點的定義，求導，研究導數與零的大小關系，可得答案；對于②，構造函數，求導研究其單調性，根據零點存在定理，可得答案；對于③，采用變量分離，構造函數，研究單調性與最值，可得答案；對于④，以直線為對稱軸，構造函數，求導研究其單調性和最值，可得答案.【解析】對于①，由，求導得，令，解得，可得下表：極小值則為函數的極小值點，故錯誤；對于②，由，求導得：，則函數在上單調遞減，當時，，當時，，由，故函數有且只有1個零點，故正確；對于③，由題意，等價于存在正實數，使得，令，求導得，令，則，在上，，函數單調遞增；在上，，函數單調遞減，，，在上單調遞減，無最小值，不存在正實數，使得恒成立，故錯誤；對于④，令，則，，令，則，在上單調遞減，則，即，令，由，且函數在上單調遞增，得，則，當時，顯然成立，故正確.故選：D.二、多選題13．（多選）設在處可導，下列式子中與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用導數的定義對各選項逐一分析計算并判斷作答.【解析】對于A，，A滿足；對于B，，B不滿足；對于C，，C滿足；對于D，，D不滿足.故選：AC14．已知函數，則（

）A．成立 B．是上的減函數C．為的極值點 D．只有一個零點【答案】CD【分析】本題首先可根據求導得出，然后利用導函數求出函數的單調性，最后結合單調性求出函數的最值，即可得出結果.【解析】因為，所以，當時，，，即當時是增函數，B錯誤，當時，，，即當時是減函數，則當時，取極小值，即最小值，，，故A錯誤，C正確，D正確，故選：CD.15．定義在上的函數滿足，，則下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值，極大值為B．有兩個零點C．若在上恒成立，則D．【答案】ACD【分析】根據給定條件，求出函數的解析式，再逐項分析即可判斷作答.【解析】，由得：，即，令，而，則，即有，，當時，，當時，，即函數在上單調遞增，在上單調遞減，于是得在處取得極大值，A正確；顯然，即函數在上有1個零點，而時，恒成立，即函數在無零點，因此，函數在定義域上只有1個零點，B不正確；，，令，，當時，，當時，，即函數在上遞增，在上遞減，因此，當時，，所以，C正確；因函數在上單調遞增，而，則，又，則，即，D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數，利用導數探求函數單調性、最值是解決問題的關鍵.16．已知函數，則下列選項正確的有（

）A．函數極小值為1B．函數在上單調遞增C．當時，函數的最大值為D．當時，方程恰有3個不等實根【答案】AC【分析】求導得，分析的單調性，進而可得極大值、極小值與最值，即可判斷ABC是否正確；作出的圖象，結合圖象即可判斷D是否正確.【解析】對于AB：，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的極大值為，的極小值為，故A正確，B錯誤；對于C：由函數單調性知，在上單調遞增，在上單調遞減，在上遞增，且，，故函數的最大值為，故C正確；對于D：當時，，時，，且的極大值為，的極小值為，由上述分析可知，的圖象為：由圖象可得當或時，有1個實數根，當或時，有2個實數根，當時，有3個實數根，故D錯誤.故選：AC.三、填空題17．已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數______．【答案】【分析】求導，根據切線斜率為切點處導數值即可求解.【解析】直線的斜率為：，故切線的斜率為2，，解得．故答案為：18．記函數的導函數為，且溥足，則＝______．【答案】##1.5【分析】首先對函數求導，將代入導函數中，求解的導函數值，進而求得，最后代入求解即可.【解析】由題意得，，∴，解得，∴，∴．故答案為：19．已知函數的定義域為D，給出下列三個條件：①，有；②，有；③且，有.試寫出一個同時滿足條件①②③的函數，則___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根據條件分析函數的奇偶性、單調性判斷即可【解析】由①可得，在定義域內為奇函數，由②可得恒成立，由③可得不是在整個區間上單調遞減，故可有故答案為：（答案不唯一）20．的兩個極值點滿足，則的最小值為________.【答案】【分析】由已知函數求導，令則可得，代入極值點后兩式作商，可得到的關系，作商得到的結果指對互換，便可解出，根據題目所求，代入后便可構造新的函數，通過求導可求得最小值.【解析】由函數，，則，因為函數兩個極值點，則①，②，得③，設，則且，代入③得，設，則，設，則，在單調遞減，，從而，在單調遞減，，故的最小值為.故答案為：【點睛】求函數最值，通常是對所求函數求導，當一階導數不能確定極值點時，可二階求導確定導函數的單調性和零點，可得到原函數的單調區間，進而求得原函數的最值.四、解答題21．已知函數，且.(1)求的解析式；(2)求曲線在處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求導數，根據可求，進而可得答案；（2）先求導數得到切線斜率，再求出切點，利用點斜式可求切線方程.（1）因為，且，所以，解得，所以函數的解析式為.（2）由（1）可知，；又，所以曲線在處的切線方程為，即.22．求下列函數的導數：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用基本初等函數及加法求導法則計算；（2）利用導函數乘法法則進行計算；（3）利用導函數乘法法則進行計算；（4）利用復合函數求導法則計算；（5）利用復合函數及導函數乘法法則進行計算；（6）利用求導加減乘除法則進行計算.(1)(2)(3)(4)(5)(6)23．已知函數，其中(1)求的單調區間；(2)恒成立，求a的值．【答案】(1)遞減區間是，遞增區間是；(2)2.【分析】（1）求出函數的導數，再解不等式即可作答.（2）利用（1）的信息，求出的最小值，再構造函數并求出其最大值即可作答.【解析】（1）函數的定義域為，求導得函數，因，當時，，當時，，即函數在上遞減，在上遞增，所以函數的遞減區間是，遞增區間是.（2）由（1）知，函數在處取得最小值，，令，，當時，，當時，，因此函數在上單調遞增，在上單調遞減，則，于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，從而得，所以.24．已知且.(1)討論函數的單調性；(2)當時，求證：.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）對參數的值進行分類討論，在不同的情況下根據導數的正負即可判斷函數單調性；（2）將待證不等式兩邊同乘以，令，將問題轉化為證明的最小值大于等于零即可.【解析】（1）且的定義域為，，當時，令，得；令，得，故函數在上單調遞增，在上單調遞減；當時，令，得；令，得，故函數在上單調遞減，在上單調遞增.（2）當時，即為，由于，兩邊同時乘以，得，即證明.因為，令，令，則，所以在上，單調遞減，在上，單調遞增.所以，所以.即得證.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用導數研究函數單調性，以及利用導數證明不等式；第二問處理的關鍵是構造函數，從而簡化證明，屬綜合中檔題.25．設函數．(1)若函數是增函數，求實數a的取值范圍；(2)是否存在實數a，使得是的極值點？若存在，求出a；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由是增函數等價轉化為恒成立，通過參變分離，求新函數的最值，得到參數a的取值范圍；（2）先假設是的極值點，由必要性條件求出a的值，再代回驗證，發現不能使是極值點成立，故判斷為不存在.【解析】（1），∵是增函數，∴對恒成立，∴令令且當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.∴，∴即a的取值范圍為．（2）若是的極值點，則必有（必要性）當時，∴在上單調遞增，無極值點，故假設不成立即不存在這樣的a．26．如圖，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為，且，點P到平面的距離．沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用，從點O到山腳修路的造價為a萬元，原有公路改建費用為萬元，當山坡上公路長度為時，其造價為萬元，已知，，，．(1)在AB上求一點D，使沿折線PDAO修建公路的總造價最小；(2)對于（1）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小；(3)在AB上是否存在兩個不同的點，使沿折線修建公路的總造價小于（2）中得到的最小總造價，證明你的結論．【答案】(1)時，總造價最小.(2)時，總造價最小(3)不存在，使總造價小于（2）中得到的最小造價，證明見解析【分析】（1）設，則，寫出總造價的函數解析式，求最小值；（2）設，寫出總造價的函數解析式，利用導數求函數最小值；（3）設，，寫出總造價的解析式，求最小值，并與（2）中得到的最小值進行比較.【解析】（1）由題，因為，，，所以，即山坡面與所成二面角的平面角，，.設，，則.設總造價萬元，則當，即時，總造價最小.（2）設，，總造價萬元，則，，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以當，即時，總造價最小，最小總造價為萬元.（3）不存在，使總造價小于（2）中得到的最小造價.證明：在AB上取不同兩點，，由題在和A點之間，設，，，總造價為萬元，則，同（1）（2），，，當且僅當，時，等號同時成立，即總造價最小，最小總造價為萬元，等于第（2）中的最小造價.所以不存在，使總造價小于（2）中得到的最小造價.27．已知函數(1)若函數f（x）在處取得極值，求m；(2)在（1）的條件下，，使得不等式成立，求a的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）首先對函數求導，利