平面與空間中的余弦定理余姚市夢麟中學(xué)魯建鋒一、教材分析：本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2第二章閱讀與思考平面與空間中的余弦定理。放在合情推理后作為閱讀與思考，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會類比的特點(diǎn)：從特殊到特殊的推理，以舊的知識作為基礎(chǔ)，推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能。再次體會類比的過程，與課本中例2和例3的作用相同，首先找出兩類對象的可以確切表述的相似特征，然后，用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得到一個猜想，最后，檢驗(yàn)這個猜想。在進(jìn)行類比推理時，合理確定類比對象是非常重要的，由于確定類比對象對學(xué)生的要求過高，因此教科書的例題和習(xí)題一般都是直接給出了進(jìn)行類比的兩類對象，本課也是一樣。二、學(xué)情分析：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形中的余弦定理，并會運(yùn)用公式解決解三角形的問題。已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體幾何，具備了一定的空間想象能力，并會解決一些線面，面面關(guān)系。在學(xué)習(xí)了類比推理后，對類比推理的過程與作用有了一定的認(rèn)識。但是學(xué)生對于確定類比對象的基本原則存在困難，可能會使類比變成“亂比”。本節(jié)是從平面三角形的余弦定理出發(fā)，在給定類比對象空間四面體后，再進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)類比的原則是根據(jù)當(dāng)前問題的需要，選擇恰當(dāng)?shù)念惐葘ο蟆２⑦M(jìn)一步體會類比推理的過程。教學(xué)目標(biāo)：知識和技能：從平面三角形的余弦定理到空間四面體的余弦定理的證明和結(jié)論，體會類比推理的一般過程。會用推理得到的結(jié)論解決簡單的空間四邊形中面積與二面角之間的關(guān)系。過程與方法：從復(fù)習(xí)平面三角形中的余弦定理的內(nèi)容與證明過程出發(fā)，在給定類比對象后，讓學(xué)生以探究的方式找出兩類對象之間的相似特征，進(jìn)行類比證明和猜想。在此基礎(chǔ)上對得到的結(jié)論進(jìn)行理解與運(yùn)用。情感、態(tài)度、價值觀：在體會類比推理的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，在空間四面體中的余弦定理結(jié)論發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：類比推理的一般過程教學(xué)難點(diǎn)：明確的表示三角形中的余弦定理與空間四面體中的余弦定理二者的相似性教學(xué)策略分析：三角形中的余弦定理的復(fù)習(xí)——喚醒舊知確立空間四面體為類比對象——明確方向引導(dǎo)探究空間四面體中的余弦定理的結(jié)論證明——發(fā)現(xiàn)新知結(jié)論的應(yīng)用——提升能力教學(xué)過程復(fù)習(xí)引入，創(chuàng)設(shè)情境問題1：在平面內(nèi)，余弦定理給出了三角形的三條邊與其中的一個角的關(guān)系，具體公式是什么？設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課需要從三角形的余弦定理作為舊知準(zhǔn)備，需要喚醒學(xué)生對舊知的記憶。學(xué)生回答，教師加以指正問題2：平面中的余弦定理可以解決三角形中的那些問題？設(shè)計(jì)意圖：解釋余弦定理在解三角形中的作用，如何提供的邊角之間的關(guān)系，為四面體中的余弦定理可以解決哪些問題進(jìn)行類比做準(zhǔn)備。學(xué)生回答：1、已知兩邊和夾角求第三邊，2三邊已知求角問題3：平面中的余弦定理是如何推導(dǎo)的？設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通常會講到必修5中課本證明的方法，即用向量的方法進(jìn)行證明，鋪墊出余弦定理證明還有其他的方法。學(xué)生回答：方法1：向量的數(shù)量積公式問題4：還有其他的方法證明三角形中的余弦定理嗎？設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生積極思考，尋找其他的明方法。但是為了引出四面體中余弦定理的證明方法進(jìn)行類比，必須對學(xué)生進(jìn)一步引導(dǎo)。問題5：余弦定理是描述三角形邊與角之間的關(guān)系，直角三角形中有沒有描述邊角之間的關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)生引入直角三角形中余弦的定義，為三角形中做高線作準(zhǔn)備。學(xué)生回答：對邊比斜邊為正弦，鄰邊比斜邊為余弦問題6：線段AB在線段BC上的射影是什么？設(shè)計(jì)意圖：通過作三角形的高線，來說明邊角之間的關(guān)系，為四面體中的余弦定理的證明提供類比的對象。學(xué)生回答：過點(diǎn)A作高線，問題7：線段AB,AC在線段BC上的射影是什么？學(xué)生回答：教師歸納：①，②，③問題8：對比余弦定理，你會證明余弦定理嗎？設(shè)計(jì)意圖：體會證明過程中運(yùn)用的技巧，抓住兩個顯著的特征，余弦定理的左邊為邊長的平方，右邊沒有邊長a。學(xué)生回答：進(jìn)步一引導(dǎo)從②③式子中發(fā)現(xiàn)消去邊長a的方法得到=類比推理，探究新知思考：我們把四面體與三角形作類比，并使四面體的面對應(yīng)三角形的邊，四面體個面的面積對應(yīng)三角形各邊的邊長，三角形兩邊的夾角對應(yīng)四面體兩個面所成的二面角設(shè)計(jì)意圖：找出三角形和空間四面體之間可以確切表述的相似特征。設(shè)二面角V-BC-D,V-CD-B,V-BD-C,C-VB-D,B-BC-D,B-VD-C的大小分別為三角形ABC四面體V-BCDa,b,cA,B,C探究1：在三棱錐V-BCD中，V’為V在底面BCD中的投影，則與有什么關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：提供相似的特征，讓學(xué)生聯(lián)系到三角形中的射影，類比得到結(jié)論，并加以證明。學(xué)生回答：設(shè)計(jì)意圖：類比三角形中得到的三個方程，在四面體中得到同樣的四個方程組，然后類比證明過程，進(jìn)行化簡，抓住兩個重點(diǎn)，兩邊同時乘以面積，再代入消元。教師用PPT演示類比證明過程探究3：你能寫出其他三組定理嗎？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)四面體中，面積與二面角之間的關(guān)系，為歸納應(yīng)用做準(zhǔn)備。學(xué)生板書演示，展示探究結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。新知應(yīng)用提升能力例：在正三棱錐V-ABC中，兩側(cè)面所成的角為，側(cè)面與底面所成的角為，設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生嘗試用得到新結(jié)論去解決四面體中面積與二面角之間的關(guān)系。課堂小結(jié)過程重現(xiàn)設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)不是對知識的簡單回顧，應(yīng)該讓學(xué)生在知識、方法和策略上多層次整理。拓展延伸課后作業(yè)七、板書設(shè)計(jì)課題名稱三角形圖形四面體圖形三角形與四面體類比對象分析余弦定理證明過程四面體中的余弦定理例題解答八、課后反思本節(jié)內(nèi)容是對類比推理的延申學(xué)習(xí)，旨在學(xué)生經(jīng)歷類比推理的過程，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的認(rèn)識。在證明四面體中的余弦定理時，引導(dǎo)學(xué)生把四面體的四個面與