河南省駐馬店市名校2023-2024學年數學高二上期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是公差的等差數列，如果，那么（）A. B.C. D.2．通過隨機詢問110名不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下的列聯表：男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結論是（）A.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C.在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D.在犯錯誤的概率不超過0．1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”3．中國古代數學名著《算法統宗》中有這樣一個問題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問，各若干？”其大意是，現有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級遞減石分這些俸糧，問，每個人各分得多少俸糧？在這個問題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石4．“五一”期間，甲、乙、丙三個大學生外出旅游，已知一人去北京，一人去兩安，一人去云南.回來后，三人對去向作了如下陳述：甲：“我去了北京，乙去了西安.”乙：“甲去了西安，丙去了北京.”丙：“甲去了云南，乙去了北京.”事實是甲、乙、丙三人陳述都只對了一半(關于去向的地點僅對一個).根據以上信息，可判斷下面說法中正確的是（）A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南5．在空間直角坐標系中，點關于軸對稱的點的坐標為（）A. B.C. D.6．中國景德鎮陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛，如圖1這個精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉所形成的曲面，若該頸部中最細處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.407．如圖，樣本和分別取自兩個不同的總體，它們的平均數分別為和，標準差分別為和，則（）AB.C.D.8．拋物線的焦點為F，準線為l，點P是準線l上的動點，若點A在拋物線C上，且，則（O為坐標原點）的最小值為（）A. B.C. D.9．傾斜角為120°，在x軸上截距為－1的直線方程是（）A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝010．若數列為等比數列，且，，則（）A.8 B.16C.32 D.6411．已知數列是首項為，公差為1的等差數列，數列滿足．若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（）A.， B.C.， D.12．直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則有（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的一個法向量為，點為內一點，則點到平面的距離為___________.14．一條光線經過點射到直線上，被反射后經過點，則入射光線所在直線的方程為___________.15．已知正項等比數列的前項和為，且，則_______16．拋物線的聚焦特點：從拋物線的焦點發出的光經過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的對稱軸.另一方面，根據光路的可逆性，平行于拋物線對稱軸的光線射向拋物線后的反射光線都會匯聚到拋物線的焦點處.已知拋物線，一條平行于拋物線對稱軸的光線從點向左發出，先經拋物線反射，再經直線反射后，恰好經過點，則該拋物線的標準方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知正方體的棱長為2，，，分別為，，的中點（1）求直線與直線所成角余弦值；（2）求點到平面的距離18．（12分）已知某中學高二物化生組合學生的數學與物理的水平測試成績抽樣統計如下表：若抽取了名學生，成績分為A（優秀），B（良好），C（及格）三個等級，設，分別表示數學成績與物理成績，例如：表中物理成績為A等級的共有（人），數學成績為B等級且物理成績為C等級的共有8人，已知與均為A等級的概率是0.07（1）設在該樣本中，數學成績的優秀率是30％，求，的值；（2）已知，，求數學成績為A等級的人數比C等級的人數多的概率19．（12分）已知數列滿足各項均不為0，，且，.（1）證明：為等差數列，并求的通項公式；（2）令，，求.20．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點，使得，分別過點、作底面圓的切線，兩切線相交于點，點是切線與圓的切點（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積21．（12分）已知是各項均為正數的等比數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）數列通項公式為，求數列的前n項和.22．（10分）已知函數.（1）設x=2是函數f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；（2）證明：當時，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由已知可得，即可得解.【詳解】由已知可得.故選：D.2、A【解析】由，而，故由獨立性檢驗的意義可知選A3、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數是公差為數列，利用等差數列的前n項和求，進而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數記為數列，由題意，是以為公差的等差數列，且，解得.故正三品分得俸糧數量為（石）.故選：D.4、D【解析】根據題意，先假設甲去了北京正確，則可分析其他人的陳述是否符合題意，再假設乙去西安正確，分析其他人的陳述是否符合題意，即可得答案.【詳解】由題意得，甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半，假設甲去了北京正確，對于甲的陳述：則乙去西安錯誤，則乙去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南錯誤，乙去了北京也錯誤，故假設錯誤.假設乙去了西安正確，對于甲的陳述：則甲去了北京錯誤，則甲去了云南；對于乙的陳述：甲去了西安錯誤，則丙去了北京正確；對于丙的陳述：甲去了云南正確，乙去了北京錯誤，此種假設滿足題意，故甲去了云南.故選：D5、B【解析】結合已知條件，利用對稱的概念即可求解.【詳解】不妨設點關于軸對稱的點的坐標為，則線段垂直于軸且的中點在軸，從而點關于軸對稱的點的坐標為.故選：B.6、B【解析】設雙曲線方程為，根據已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因為雙曲線焦點在軸上，設雙曲線方程為由雙曲線的性質可知：該頸部中最細處直徑為實軸長，所以，可得，因為離心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據對稱性可知頸部最右點橫坐標為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B7、B【解析】直接根據圖表得到答案.【詳解】根據圖表：樣本數據均小于等于10，樣本數據均大于等于10，故；樣本數據波動大于樣本數據，故.故選：B.8、D【解析】依題意得點坐標，作點關于的對稱點，則，求即為最小值【詳解】如圖所示：作點關于的對稱點，連接，設點，不妨設，由題意知，直線l方程為，則，得所以，得，所以由，當三點共線時取等號，又所以最小值為故選：D9、D【解析】由傾斜角求出斜率，寫出斜截式方程，再化為一般式【詳解】由于傾斜角為120°，故斜率k＝－.又直線過點(－1，0)，所以方程為y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.故選：D.【點睛】本題考查直線方程的斜截式，屬于基礎題10、B【解析】設等比數列的公比為，根據等比數列的通項公式得到，即可求出，再根據計算可得；【詳解】解：設等比數列公比為，因為、，所以，所以；故選：B11、D【解析】由等差數列通項公式得，再結合題意得數列單調遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據題意：數列是首項為，公差為1的等差數列，所以，由于數列滿足，所以對任意的都成立，故數列單調遞增，且滿足，，所以，解得故選：12、B【解析】將直線方程的一般形式化為截距式，由此可得其在x軸和y軸上的截距.【詳解】直線方程化成截距式為，所以，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】利用空間向量求點到平面的距離即可.【詳解】，，∴則點P到平面的距離為.故答案為：1.14、【解析】先求點關于直線的對稱點，連接,則直線即為所求.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，所以，又點，所以，直線的方程為：，由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡得入射光線所在直線的方程:.故答案為：.15、【解析】根據給定條件求出正項等比數列的公比即可計算作答.【詳解】設正項等比數列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：16、【解析】根據拋物線的聚焦特點，經過拋物線后經過拋物線焦點，再經直線反射后經過點，則根據反射特點，列出相關方程，解出方程即可.【詳解】設光線與拋物線的交點為，拋物線的焦點為，則可得：拋物線的焦點為：則直線的方程為：設直線與直線的交點為，則有：解得：則過點且垂直于的直線的方程為：根據題意可知：點關于直線的對稱點在直線上設點，的中點為，則有：直線垂直于，則有：點在直線上，則有：點在直線上，則有：化簡得：又故故答案為：【點睛】直線關于直線對稱對稱，利用中點坐標公式和直線與直線垂直的特點建立方程，根據題意列出隱含的方程是關鍵三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法由求解；（1）建立空間直角坐標系，先取得平面的一個法向量，，，然后由求解【小問1詳解】解：以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系.則，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，2，，所以，2，，，2，，則直線與直線所成角的余弦值為；【小問2詳解】，2，，，2，，設平面的一個法向量，，，則，取，得，1，，又，點到平面的距離18、（1），（2）【解析】（1）根據與均為A等級的概率是0.07，求得值，再根據數學成績的優秀率是30％求得值，最后利用抽取的總人數求出值即可；（2）根據，，，寫出滿足條件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.【小問1詳解】由題意知，解得，，解得，由已知得，解得.【小問2詳解】由，，，可知，則試驗的樣本空間，共9個樣本點其中包含的樣本點有共4個，故所求概率19、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據題意，結合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據題意，結合錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差數列，首項為，公差為3.∴，即，.【小問2詳解】根據題意，得，，①，②①-②得，故.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質可得、，再根據線面垂直的判定即可證結論.（2）若，構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及其對應的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設，底面圓，又是切線與圓的切點，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問2詳解】由題設，若，可構建為原點，、、為x、y、z軸的空間直角坐標系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個法向量，則，令，則，又面的一個法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積21、（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為，利用基本量運算求出公比，可得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法計算出數列的前n項和【詳解】（1）設的公比為，由題意知：，.又，解得，，所以.（2）.令，則，因此，又，兩式相減得所以.【點睛】方法點睛：本題考查等比數列的通項公式，考查數列的求和，數列求和的方法總結如下：

公式法，利用等差數列和等比數列的求和公式進行計算即可；

裂項相消法，通過把數列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數列的和；

錯位相減法，當數列的通項公式由一個等差數列與一個等比數列的乘積構成時使用此方法；

倒序相加法，如果一個數列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和22、（1），的單調遞減區間為，單調遞增區間為