河南省名校大聯考2024屆數學高二上期末復習檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當實數，m變化時，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.62．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.3．已知等比數列中，，，則首項（）A. B.C. D.04．正數a,b滿足,若不等式對任意實數x恒成立,則實數m的取值范圍是A. B.C. D.5．邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，、分別為、的中點，是正方形的中心，則的大小為（）A. B.C. D.6．學校開設甲類選修課3門，乙類選修課4門，從中任選3門，甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數為（）A.24 B.30C.60 D.1207．已知橢圓方程為，則該橢圓的焦距為（）A.1 B.2C. D.8．如果，，那么直線不經過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.610．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸人的（）A. B.或C. D.或11．我國古代銅錢蘊含了“外圓內方”“天地合一”的思想．現有一銅錢如圖，其中圓的半徑為r，正方形的邊長為，若在圓內隨即取點，取自陰影部分的概率是p，則圓周率的值為（）A. B.C. D.12．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線，，若，則實數______14．過拋物線的焦點作互相垂直的兩條直線，分別交拋物線與A，C，B，D四點，則四邊形ABCD面積的最小值為___________15．某班名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示．根據頻率分布直方圖，估計該班本次測試平均分為______16．已知點，為拋物線：上不同于原點的兩點，且，則的面積的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點M為棱AB的中點，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值18．（12分）已知拋物線的方程為，點，過點的直線交拋物線于兩點（1）求△OAB面積的最小值（為坐標原點）；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由19．（12分）已知命題p為“方程沒有實數根”，命題q為“”.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若p和q有且只有一個為真命題，求m的取值范圍.20．（12分）設命題p：，命題q：關于x的方程無實根.（1）若p為真命題，求實數m的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數m的取值范圍21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設點是平面上任意一點，直接寫出線段長度最小值.（不需證明）22．（10分）已知數列是等差數列，為其前n項和，，（1）求的通項公式；（2）若，求證：為等比數列

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據點到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點到直線的距離，利用圓的性質結合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點到直線的距離，設，因直線，即表示恒過定點，根據圓的性質可得.故選：D.2、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.3、B【解析】設等比數列的公比為q，根據等比數列的通項公式，列出方程組，即可求得，進而可求得答案.【詳解】設等比數列公比為q，則，解得，所以.故選：B4、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問題轉化為恒成立的類型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數，，當且僅當，即時，，若不等式對任意實數x恒成立，則對任意實數x恒成立，即對任意實數x恒成立，，，故選：A【點睛】本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數求最值，屬于中檔題.5、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面，，則兩兩垂直以O為原點，分別以OB、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系則，，，，又，則故選：B6、B【解析】利用組合數計算出正確答案.【詳解】甲乙兩類課程都有選擇的不同選法種數為.故選：B7、B【解析】根據橢圓中之間的關系，結合橢圓焦距的定義進行求解即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知：，則焦距為，故選：B.8、A【解析】將直線化為，結合已知條件即可判斷不經過的象限.【詳解】由題設，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.9、D【解析】根據全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D10、A【解析】根據題意可知該程序框圖顯示的算法函數為，分和兩種情況討論即可得解.【詳解】解：該程序框圖顯示得算法函數為，由，當時，，方程無解；當時，，解得，綜上，若輸出的，則輸入的.故選：A.11、B【解析】根據圓和正方形的面積公式結合幾何概型概率公式求解即可.【詳解】由可得故選：B12、A【解析】根據離心率求出的值，再根據漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點在軸上，所以漸近線方程為：，又因為雙曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線垂直可得到關于實數a的方程，解方程即可.【詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：14、512【解析】設出直線的方程與拋物線方程聯立，結合拋物線的定義、一元二次方程根與系數的關系進行求解即可.【詳解】拋物線焦點的坐標為，由題意可知：直線存在斜率且不為零，所以設直線的斜率為，所以直線的方程為，與拋物線的方程聯立得：，設，所以，由拋物線的定義可知：，因為直線互相垂直，所以直線的斜率為，同理可得：，所以四邊形ABCD面積為：，當且僅當時取等號，即當時取等號，故答案為：51215、【解析】將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，該班本次測試平均分為.故答案為：.16、【解析】設，，利用可得即可求得，利用兩點間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設，，由可得，解得：，，，，，所以，當且僅當時等號成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是設，坐標，采用設而不求的方法，將轉化為，求出參數之間的關系，再利用基本不等式求的最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點，分別以，，方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系，分別求得平面BCD的一個法向量和平面DCM的一個法向量，然后由求解【小問1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問2詳解】如圖，以A為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系，則，，，，，依題意，可得，設為平面BCD的一個法向量，則，不妨令，可得設為平面DCM的一個法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為18、（1）；（2）是，該定值.【解析】（1）根據弦長公式、點到直線距離公式，結合三角形面積公式進行求解即可；（2）根據兩點間距離公式，結合一元二次方程根與系數的關系進行求解即可.【小問1詳解】顯然直線存在斜率，設直線的方程為：，所以有，設，則有，，原點到直線的距離為：，△OAB的面積為：，當時，有最小值，最小值為；【小問2詳解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數關系是解題的關鍵.19、（1）（2）【解析】（1）方程無根，利用根的判別式小于0求出m的取值范圍；（2）和有且只有一個為真命題，分兩種情況進行求解，最終求出結果.【小問1詳解】由方程沒有實數根，得，解得：.所以m的取值范圍為.【小問2詳解】和有且只有一個為真命題，分為下列兩種情況：①當真且假時，且，得；②當假且真時，且，得.所以，的取值范圍為.20、（1）（2）【解析】（1）解一元二次不等式,即可求得當為真命題時的取值范圍;（2）先求得命題為真命題時的取值范圍.由為假命題,為真命題可知,兩命題一真一假.分類討論,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）當為真命題時,解不等式可得；（2）當為真命題時,由,可得,∵為假命題,為真命題,∴,兩命題一真一假,∴或,解得或,∴m的取值范圍是.【點睛】本題考查了根據命題真假求參數的取值范圍,由復合命題真假判斷命題真假,并求參數的取值范圍,屬于基礎題.21、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）設，連結，根據中位線定理即可證，再根據線面平行的判定定理，即可證明結果；（2）由菱形的性質可知，可證，又底面，可得，再根據面面垂直的判定定理，即可證明結果；（3）根據等體積法，即，經過計算直接寫出結果即可.【小問1詳解】證明：設，連結.因為底面為菱形，所以為的中點，又因為E是PC的中點，所以.又因為平面，平面，所以平面.【小問