河北省石家莊市辛集中學2023-2024學年數學高二上期末學業質量監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某企業為節能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產.第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.2．已知直線l：過橢圓的左焦點F，與橢圓在x軸上方的交點為P，Q為線段PF的中點，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現.如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個數是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.564．已知橢圓及以下3個函數：①；②；③，其中函數圖象能等分該橢圓面積的函數個數有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個5．若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）A. B.C. D.7．直線，若的傾斜角為60°，則的斜率為（）A. B.C. D.8．已知定義在上的函數的導函數為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.9．在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與交于，兩點，與軸交于點，，則的離心率為（）A. B.C. D.10．過拋物線C：y2=4x的焦點F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（）A.10 B.12C.14 D.1611．如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，點E為中點，若直線與所成的角為，則三棱錐的體積等于（）A. B.C.2 D.12．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖：二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內，，則的長等于__________.14．已知函數，是其導函數，若曲線的一條切線為直線：，則的最小值為___________.15．命題“，”為假命題，則實數a的取值范圍是______16．某中學擬從4月16號至30號期間，選擇連續兩天舉行春季運動會，從已往的氣象記錄中隨機抽取一個年份，記錄天氣結果如下：日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴雨雨陰晴晴晴雨估計運動會期間不下雨的概率為_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）保護生態環境，提倡環保出行，節約資源和保護環境，某地區從2016年開始大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000汽車調查，得到新能源汽車y輛與年份代碼x年的數據如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車y輛305070100110（1）建立y關于x的線性回歸方程；（2）假設該地區2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計總體來預測該地區2022年有多少新能源汽車參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，18．（12分）已知函數（a是常數）.（1）當時，求的單調區間與極值；（2）若，求a的取值范圍.19．（12分）已知雙曲線的漸近線方程為，且過點（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的一個焦點作斜率為的直線交雙曲線于兩點，求弦長20．（12分）已知數列的前n項和為，且（1）求證：數列為等比數列；（2）記，求數列的前n項和為21．（12分）已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.22．（10分）如圖，四邊形是正方形，平面，，（1）證明：平面平面；（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數列是以2為首項，2為公差的等差數列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數列在實際問題中的應用，注意根據題設條件概括出數列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.2、D【解析】由直線的傾斜角為，可得，結合，可推得是等邊三角形，可得，計算可得離心率【詳解】直線：過橢圓的左焦點，設橢圓的右焦點為，所以，又是的中點，是的中點，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：3、B【解析】由題意知第8行的數就是二項式的展開式中各項的二項式系數，可得第8行，第3個數是為，即可求解【詳解】解：由題意知第8行的數就是二項式的展開式中各項的二項式系數，故第8行，第3個數是為故選：B4、C【解析】由橢圓的幾何性質可得橢圓的圖像關于原點對稱，因為函數,函數為奇函數,其圖像關于原點對稱，則①②滿足題意,對于函數在軸右側時，，只有時，，即函數在軸右側的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數為偶函數,其圖像關于軸對稱，則函數在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因為橢圓的圖像關于原點對稱，對于①，函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于②，函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于③，對于函數在軸右側時，，只有時，，即函數在軸右側的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數為偶函數,其圖像關于軸對稱，則函數在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數的圖像不能等分該橢圓面積，即函數圖象能等分該橢圓面積的函數個數有2個，故選C.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、函數的奇偶性及函數的對稱性，重點考查了函數的性質，屬基礎題.5、D【解析】將本題轉化為直線與半圓的交點問題，數形結合，求出的取值范圍【詳解】將曲線的方程化簡為即表示以為圓心，以2為半徑的一個半圓，如圖所示：當直線經過時最大，即，當直線與下半圓相切時最小，由圓心到直線距離等于半徑2，可得：解得（舍去），或結合圖象可得故選：D.6、A【解析】利用空間向量加法運算，減法運算，數乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A7、D【解析】直線,斜率乘積為，斜線斜率等于傾斜角的正切值.【詳解】,，所以.故選：D.8、D【解析】構造函數，用導數判斷函數單調性，即可求解.【詳解】根據題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調遞減函數，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.9、B【解析】由題意結合幾何性質可得為等腰三角形，且，所以，求出的長，結合橢圓的定義可得答案.【詳解】如圖，由題意軸，軸，則又為的中點，則為的中點，又，則為等腰三角形，且，所以將代入橢圓方程得，，即所以，則由橢圓的定義可得，即則橢圓的離心率故選：B10、B【解析】設出l1的方程為，與拋物線聯立后得到兩根之和，兩根之積，用弦長公式表達出，同理表達出，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】拋物線C：y2=4x的焦點F為，直線l1的方程為，則聯立后得到，設，，，則，同理設可得：，因為|k1·k2|=2，所以，當且僅當，即或時，等號成立，故選：B11、D【解析】由題意可證平面，取BD的中點F，連接EF，則為直線與所成的角，利用余弦定理求出，根據三棱錐體積公式即可求得體積【詳解】如圖，∵，點為的中點，∴，，∵，，兩兩垂直，，∴平面，取BD的中點F，連接EF，∴為直線與所成的角，且，由題意可知，，設，連接AF，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，即∴三棱錐的體積故選：12、A【解析】根據雙曲線定義求解【詳解】,則根據雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A第II卷（非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，二面角等于，根據，結合向量的運算，即可求解.【詳解】由題意，二面角等于，可得向量，，因為，可得,所以.故答案為：14、【解析】設直線與曲線相切的切點為，借助導數的幾何意義用表示出m，n即可作答.【詳解】設直線與曲線相切的切點為，而，則直線的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，則，，當且僅當時取“=”，所以的最小值為.故答案為：【點睛】結論點睛：函數y=f(x)是區間D上的可導函數，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.15、【解析】寫出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.【詳解】因命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，當時，恒成立，則，當時，必有，解得，所以實數a的取值范圍是.故答案為：16、【解析】以每相鄰兩天為一個基本事件，求出試驗的基本事件數，再求出兩天都不下雨的基本事件數，利用古典概率公式計算作答.【詳解】依題意，以每相鄰兩天為一個基本事件，如16號與17號、17號與18號為不同的兩個基本事件，則從4月16號至30號期間，共有14個基本事件，它們等可能，其中相鄰兩天不下雨有16與17，19與20，20與21，21與22，22與23，26與27，27與28，28與29，共8個不同結果，所以運動會期間不下雨的概率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）46800【解析】（1）第一步分別算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一問的結果，帶入方程即可算出預估的結果.【小問1詳解】，，，因為，所以，所以【小問2詳解】預測該地區2022年抽樣1000汽車調查中新能源汽車數，當時，，該地區2022年共有30萬輛汽車，所以新能源汽車.18、（1）函數在上單調遞增，在上單調遞減，極小值是，無極大值.（2）【解析】（1）由當，得到，求導，再由，求解；（2）將，轉化為成立，令，求其最大值即可.【小問1詳解】解：當時，，定義域為，所以，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，取得極小值是，無極大值.【小問2詳解】因為，即成立.設，則，當時，，當時,，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，即.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據雙曲線漸近線斜率、雙曲線過點可構造方程求得，由此可得雙曲線方程；（2）由雙曲線方程可得焦點坐標，由此可得方程，與雙曲線方程聯立后，利用弦長公式可求得結果.【小問1詳解】由雙曲線方程知：漸近線斜率，又漸近線方程為，；雙曲線過點，；由得：，雙曲線的方程為：；【小問2詳解】由（1）得：雙曲線的焦點坐標為；若直線過雙曲線的左焦點，則，由得：；設，，則，；由雙曲線對稱性可知：當過雙曲線右焦點時，；綜上所述：.20、（1）證明見解析;（2）.【解析】（1）由已知得，當時，兩式作差整理得，根據等比數列的定義可得證；（2）由（1）求得，，再運用錯位相減法可求得答案.【小問1詳解】證明：因為，……①，所以當時，，當時……②，則①-②可得，所以，因為，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列【小問2詳解】解：由（1）知，即，因為所以，則……①，①得……②，①-②得，所以.21、（1）；（2）存在，.【解析】（1）設出圓心，根據圓心到直線距離等于半徑列方程求出的值可得圓心坐標，進而可得圓的方程；（2）由題可設直線的方程為，與圓的方程聯立，利用韋達定理及可得，即得.【小問1詳解】由已知可設圓心，則，解得或（舍）.所以圓.【小問2詳解】由題可設直線的方程為，由，得到：顯然成立，所以.①若軸平分，則，所以：，整理得：，將①代入整理得對任意的恒成立，則.∴存在點為時，使得軸平分.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點O，易得平面，取的中點M，易得為平行四邊形，即，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理證明；（2）以A為坐標原點，分別為x，y，z軸