廣東省湛江市2024屆數學高二上期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則A.2 B.3C. D.42．設，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知點O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，點T在拋物線C的準線上，線段FT與拋物線C的交點為W，，則（）A.1 B.C. D.4．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.5．有一個圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點，則關于下列命題：①鉛垂的側面積為150cm2；②一只螞蟻從P點出發沿鉛垂側面爬行一周、最終又回到P點的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯誤C.①錯誤、②正確6．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.107．阿波羅尼斯約公元前年證明過這樣一個命題：平面內到兩定點距離之比為常數且的點的軌跡是圓．后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P與A，B距離之比滿足：，當P、A、B三點不共線時，面積的最大值是（）A. B.2C. D.8．已知點在拋物線：上，點為拋物線的焦點，，點P到y軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.9．已知l，m是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．若直線過點（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°11．某學校隨機抽取了部分學生，對他們每周使用手機的時間進行統計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內的學生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③12．已知拋物線=的焦點為F，M、N是拋物線上兩個不同的點，若，則線段MN的中點到y軸的距離為（）A.8 B.4C. D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線無公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是____14．計算：________15．已知函數，若有兩個零點，則的范圍是______16．某高中高二年級學生在學習完成數學選擇性必修一后進行了一次測試，總分為100分.現用分層隨機抽樣方法從學生的數學成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數據分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計成績樣本數據眾數，平均數，中位數；（2）在區間40，50）和90，100內的兩組學生成績樣本數據中，隨機抽取兩個進調查，求調查對象來自不同分組的概率.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是等差數列的前n項和，且，（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前n項和18．（12分）已知動點M到點F（0，2）的距離，與點M到直線l：y＝﹣2的距離相等.（1）求動點M的軌跡方程；（2）若過點F且斜率為1的直線與動點M的軌跡交于A，B兩點，求線段AB的長度.19．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，點M和點N分別為PA和PC的中點（1）證明：直線DM∥平面PBC；（2）求直線BM和平面BDN所成角的余弦值；（3）求二面角M-BD-N正弦值；（4）求點P到平面DBN距離；（5）設點N在平面BDM內的射影為點H，求線段HA的長20．（12分）已知橢圓上頂點與橢圓的左，右頂點連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，，求橢圓C的標準方程21．（12分）如圖，已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、，離心率為.過的直線與橢圓的一個交點為，過垂直于的直線與橢圓的一個交點為，.（1）求橢圓的方程和點的軌跡的方程；（2）若曲線上的動點到直線：的最大距離為，求的值.22．（10分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設直線，的斜率分別為，，求證：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點，∴，故選D.2、A【解析】根據兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當時，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A3、B【解析】根據平面向量共線的性質，結合拋物線的定義進行求解即可.【詳解】由已知得：，該拋物線的準線方程為：，所以設，因為，所以，由拋物線的定義可知：，故選：B4、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結合正弦定理，即可求得.【詳解】根據題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.5、C【解析】根據圓錐的側面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯誤.將其側面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數為,作，，又,,cm,②正確.故選：C6、C【解析】根據兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，且，所以，解得；故選：C7、C【解析】根據給定條件建立平面直角坐標系，求出點P的軌跡方程，探求點P與直線AB的最大距離即可計算作答.【詳解】依題意，以線段AB的中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，設，因，則，化簡整理得：，因此，點P的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點P不在x軸上時，與點A，B可構成三角形，當點P到直線(軸)的距離最大時，的面積最大，顯然，點P到軸的最大距離為，此時，，所以面積的最大值是故選：C8、D【解析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設∵點P到y軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.9、B【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系分析選項A,C,D，由平面與平面垂直的判定定理判定選項D.【詳解】選項A.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項B.由，，則，故正確.選項C.由，，直線l，m可能相交、平行，異面，故不正確.選項D.由,,則可能相交，可能平行，故不正確.故選：B10、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A11、B【解析】根據頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內的學生中選取的人數為3.【詳解】，故①正確；根據頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內的學生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數為，故③正確.故選：B.12、B【解析】過分別作垂直于準線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過MN的中點作垂直于準線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結果【詳解】拋物線=的焦點，準線方程為直線如圖，過分別作垂直于準線，垂足為，過MN的中點作垂直于準線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因為，所以，因為是梯形的中位線，所以，所以線段MN的中點到y軸的距離為4，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】聯立直線得，由無公共點得，進而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.14、【解析】根據無窮等比數列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：.15、【解析】利用導數求出函數的最小值，結合函數的圖象列式可求出結果.【詳解】,當時，，在上為增函數，最多只有一個零點，不符合題意；當時，令，得，令，得，所以在上為減函數，在上為增函數，所以在時取得極小值為，也是最小值，因為當趨近于正負無窮時，都是趨近于正無窮，所以要使有兩個零點，只要，即就可以了.所以的范圍是故答案為：.16、（1）眾數；平均數，中位數.（2）.【解析】（1）按“眾數，平均數，中位數”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數取頻率分布直方圖中最高矩形對應區間的中點75；平均數；因為，所以中位數在區間上，且中位數【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區間40，50）和90，100內的成績樣本數據分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結果，記事件A=“調查對象來自不同分組”，結果有所以.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設等差數列的首項、公差，由列出關于首項、公差的方程組，解方程組可得與的值，從而可得數列的通項公式；（2）由（1）可知，利用裂項相消法可求數列的前n項和.小問1詳解】依題意：設等差數列的首項為，公差為，則解得所以數列的通項公式為【小問2詳解】由（1）可知因為，所以，所以.18、（1）x2＝8y（2）16【解析】小問1：由拋物線的定義可求得動點M的軌跡方程；小問2：可知直線AB的方程為y＝x+2，設點A（x1，y1）、B（x2，y2），將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，求出y1+y2的值，利用拋物線的定義可求得|AB|的值.【小問1詳解】由題意點M的軌跡是以F為焦點，直線l為準線的拋物線，所以，則p＝4，所以動點M的軌跡方程是x2＝8y；【小問2詳解】由已知直線AB方程是y＝x+2，設A（x1，y1）、B（x2，y2），由得x2﹣8x﹣16＝0，，所以x1+x2＝8，則y1+y2＝x1+x2+4＝12，故|AB|＝y1+y2+4＝1619、（1）證明見解析（2）（3）（4）（5）【解析】（1）以為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法，證明與平面的法向量垂直，從而證明直線平面（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直線和平面所成角的余弦值（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值（4）求出的坐標，再求出平面的法向量，利用向量法，求出點到平面的距離；（5）設點在平面內的射影為點，從而表示出的坐標，求出到平面的距離，列出方程組，求出點坐標，從而求出的長度.【小問1詳解】四棱錐，底面是一個直角梯形，，平面，所以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，，，，設平面的法向量，所以，，取，則，所以，平面，所以直線平面.【小問2詳解】，，，設平面的法向量，則，即，取，則，設直線與平面所成的角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.【小問3詳解】設平面的法向量為，則，即，取，得，平面的法向量，設二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為.【小問4詳解】，平面的法向量，所以點到平面的距離為.【小問5詳解】設點在平面的射影為點，則，所以點到平面的距離為，根據，得解得，，，或者，，（舍）所以.20、（1）（2）【解析】（1）根據題意，可知，可得，再根據橢圓的性質可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯立，由韋達定理得到，，再根據弦長公式，建立方程，即可求出的值，進而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點坐標為，左右頂點的坐標分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為21、（1）橢圓的方程為，點的軌跡的方程為（2）【解析】（1）由題意可得，求出，再結合，求出，從而可得橢圓的方程，設，則由題意可得，坐標代入化簡可得點的軌跡的方程，（2）由題意結合點到直線的距離公式可得，設，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數的關系，由，可得，因為，代入化簡計算可求得答案【小問1詳解】由題意得，解得，則，所以橢圓的方程，設，則由題意可得，所以，所以，所以點軌跡的方程為【小問2