河北省內丘中學2023-2024學年高二數學第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2021年是中國共產黨百年華誕，3月24日，中宣部發布中國共產黨成立100周年慶祝活動標識（如圖1）.其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為R的相交大圓，分別內含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個圓心向另一個小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）A. B.3C. D.2．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.3．已知，則（）A. B.1C. D.4．已知雙曲線的右焦點為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點，交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.5．過點且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.6．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰，經歷發射入軌、地月轉移、近月制動、環月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉移、環月等待、月地轉移、再入回收等11個關鍵階段.在經過交會對接與樣品轉移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.827．已知為等差數列，為其前n項和，，則下列和與公差無關的是（）A. B.C. D.8．已知空間向量，，，則（）A.4 B.-4C.0 D.29．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.10．已知等差數列的公差，若，，則該數列的前項和的最大值為（）A.30 B.35C.40 D.4511．已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點，P為C的準線上一點，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.612．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線，則曲線在點處的切線方程為______14．函數的圖象在點處的切線方程為___________.15．六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.16．若，，都為正實數，，且，，成等比數列，則的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，底面ABCD，E為BP的中點，，（1）證明：平面PAD；（2）求平面EAC與平面PAC夾角的余弦值18．（12分）已知函數（a為常數）（1）討論函數的單調性；（2）不等式在上恒成立，求實數a的取值范圍.19．（12分）設P是拋物線上一個動點，F為拋物線的焦點.（1）若點P到直線距離為，求的最小值；（2）若，求的最小值.20．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時，現對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進行統計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計這n輛小汽車車速的中位數；（3）根據交通法規定，小車超速在規定時速10%以內（含10%）不罰款，超過時速規定10%以上，需要罰款.試根據頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計值，估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰款的概率.21．（12分）已知函數在處有極值.（1）求的值；（2）求函數在上的最大值與最小值.22．（10分）已知雙曲線的左焦點為，到的一條漸近線的距離為1.直線與交于不同的兩點，，當直線經過的右焦點且垂直于軸時，.（1）求的方程；（2）是否存在軸上的定點，使得直線過點時，恒有？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】作出圖形，進而根據勾股定理并結合圓與圓的位置關系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.2、C【解析】直接利用向量的坐標運算法則求解即可【詳解】因為，，所以，故選：C3、B【解析】先根據共軛復數的定義可得，再根據復數的運算法則即可求出【詳解】因為，所以故選：B4、C【解析】由題設易知是的中垂線，進而可得，結合雙曲線參數關系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對稱性得，則，故，∴.故選：C.5、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B6、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C7、C【解析】依題意根據等差數列的通項公式可得，再根據等差數列前項和公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，即，所以，，，，故選：C8、A【解析】根據空間向量平行求出x,y，進而求得答案.【詳解】因為，所以存在實數，使得，則.故選：A.9、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D10、D【解析】利用等差數列的性質求出公差以及首項，再由等差數列的前項和公式即可求解.【詳解】等差數列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴當或10時，最大，，故選：D11、C【解析】設拋物線方程為，根據題意由求解.【詳解】設拋物線方程為：，因為直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，所以，又P為C的準線上一點，所以點P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C12、B【解析】寫出每次循環的結果，即可得到答案.【詳解】當時，，，，；，此時，退出循環，輸出的的為.故選：B【點睛】本題考查程序框圖的應用，此類題要注意何時循環結束，建議數據不大時采用寫出來的辦法，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導數求出切線的斜率即得解.【詳解】解：由題得，所以切線的斜率為，所以切線的方程為即.故答案為：14、【解析】求導得到，計算，根據點斜式可得到切線方程.【詳解】因此，則，故，又點在函數的圖象上，故切線方程為：，即.故答案為：15、【解析】結合空間向量運算求得.【詳解】，.所以.故答案為：16、##【解析】利用等比中項及條件可得，進而可得，再利用基本不等式即得.【詳解】∵，，都為正實數，，，成等比數列，∴，又，∴，即，∴，∴，當且僅當，即取等號.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過作輔助線，構造平行四邊形，在平面PAD找到線并證明，根據線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，進而求得相關的向量坐標，求出平面EAC與平面PAC的法向量，根據向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：取PA的中點F，由E為PB的中點，則，，而，，所以且，則四邊形CDFE為平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD【小問2詳解】∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD兩兩垂直，以A為原點，，，向量方向分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，各點坐標如下：，，，，，設平面APC的法向量為，由，，有，取，則，，即，設平面EAC的法向量為，由，，有，取，則，，即，所以，由原圖可知平面EAC與平面PAC夾角為銳角，所以平面EAC與平面PAC夾角的余弦值為18、（1）當時，在定義域上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）.【解析】（1）求出的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即得解；（2）問題轉化為，，，令，求出的最大值，從而求出的范圍即得解【詳解】解：（1）函數的定義域為，，①當時，，，，在定義域上單調遞增②當時，若，則，在上單調遞增；若，則，在上單調遞減綜上所述，當時，在定義域上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減（2）當時，，不等式在，上恒成立，，，，令，，，，在，上單調遞增，（1），，的范圍為，19、（1）；（2）4.【解析】（1）利用拋物線的定義可知，將問題問題轉化為求的最小值，即求.（2）判斷點B在拋物線的內部，過B作垂直準線于點Q，交拋物線于點，利用拋物線的定義求解即可.【詳解】解析（1）依題意，拋物線的焦點為，準線方程為.由已知及拋物線的定義，可知，于是問題轉化為求的最小值.由平面幾何知識知，當F，P，A三點共線時，取得最小值，最小值為，即的最小值為.（2）把點B的橫坐標代入中，得，因為，所以點B在拋物線的內部.過B作垂直準線于點Q，交拋物線于點（如圖所示）.由拋物線的定義，可知，則，所以的最小值為4.【點睛】本題考查了拋物線的定義，理解定義是解題的關鍵，屬于基礎題.20、（1）（2）（3）【解析】（1）根據已知條件，結合頻率與頻數的關系，即可求解（2）根據已知條件，結合中位數公式，即可求解（3）在這500輛小車中，有40輛超速，再結合古典概型的概率公式，即可求解【小問1詳解】解：由直方圖可知，速度在公里小時之間的頻率為，所以，解得【小問2詳解】解：設這輛小汽車車速的中位數為，則，解得小問3詳解】解：由交通法則可知，小車速度在66公里小時以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在之間有輛，由統計的有關知識，可以認為車速在公里小時之間的小車有輛，小車速度在之間有輛，故估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰放的概率為21、（1），；（2）最大值為，最小值為【解析】（1）對函數求導，根據函數在處取極值得出，再由極值為，得出，構造一個關于的二元一次方程組，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用導數研究函數在上的單調性，比較極值和端點值的大小，即可得出在上的最大值與最小值.【詳解】解：（1）由題可知，，的定義域為，，由于在處有極值，則，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定義域是，，令，而，解得，由，得；由，得，則在區間上，，，的變化情況表如下：120單調遞減單調遞增可得，，，由于，則，所以，函數在區間上的最大值為，最小值為.【點睛】本題考查已知極值求參數值和函數在閉區間內的最值問題，考查利用導函數研究函數在給定閉區間內的單調性，以及通過比較極值和端點值確定函數在閉區間內的最值，考查運算能力.22、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】（1）根據題意，列出的方程組，解得，則橢圓方程得解；（2）假設存在點滿足題意，設出直線的方程，聯立雙曲線方程，利用韋達定理以及，即