廣東省高州市大井中學2023-2024學年高二上數學期末經典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為等腰直角三角形的直角頂點，以為旋轉軸旋轉一周得到幾何體，是底面圓上的弦，為等邊三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．的展開式中，常數項為（）A. B.C. D.3．若傾斜角為的直線過，兩點，則實數（）A. B.C. D.4．已知，為雙曲線：的焦點，為，（其中為雙曲線半焦距），與雙曲線的交點，且有，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.5．已知在直角坐標系xOy中，點Q(4，0)，O為坐標原點，直線l：上存在點P滿足.則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．等差數列中，為其前項和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2087．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.8．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上的動點，，，則的最小值為（）A. B.C D.9．在等差數列中，已知，則數列的前6項之和為（）A.12 B.32C.36 D.3710．已知雙曲線C：(a>0，b>0)，斜率為的直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點為P(2，4)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．若，，且，則（）A. B.C. D.12．在四面體中，點G是的重心，設，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則__________.14．已知正項等比數列的前項和為，且，則_______15．已知橢圓的右頂點為A，上頂點為B，且直線l與橢圓交于C，D兩點，若直線l直線AB，設直線AC，BD的斜率分別為，，則的值為___________.16．已知幾何體如圖所示，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長為1，點M在DG上，若直線MB與平面BEF所成的角為45°，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個小島的周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區域內（圓形區域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經過小島中心東北方向處補水，求的最小值.18．（12分）已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為，拋物線上一點的橫坐標為2，且（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于兩點，設，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.19．（12分）已知數列的前項和為，且，（1）求的通項公式；（2）求的最小值20．（12分）某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語；2人只會英語，3人既會法語又會英語，現選派3人到法國的學校交流訪問（1）在選派的3人中恰有2人會法語的概率；（2）在選派的3人中既會法語又會英語的人數X的分布列和數學期望21．（12分）給定函數.（1）判斷函數f（x）的單調性，并求出f（x）的極值；（2）畫出函數f（x）的大致圖象，無須說明理由（要求：坐標系中要標出關鍵點）；（3）求出方程的解的個數.22．（10分）已知等差數列中，首項，公差，且數列的前項和為（1）求和；（2）設，求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設，過點作的平行線，與平行的半徑交于點，找出異面直線與所成角，然后通過解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設，過點作的平行線，與平行的半徑交于點，則，，所以為異面直線與所成的角，在三角形中，，，所以.故選：B.【點睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計算，一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查計算能力，屬于中等題.2、A【解析】寫出展開式通項，令的指數為零，求出參數的值，代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中常數項為.故選：A.3、C【解析】根據直線的傾斜角和斜率的關系得到直線的斜率為，再根據兩點的斜率公式計算可得；【詳解】解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C4、B【解析】根據求得的關系，結合雙曲線的定義以及勾股定理，即可求得的等量關系，再求離心率即可.【詳解】根據題意，連接，作圖如下：顯然為直角三角形，又，又點在雙曲線上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故雙曲線的離心率為.故選：B.5、A【解析】根據給定直線設出點P的坐標，再借助列出關于的不等式，然后由不等式有解即可計算作答.【詳解】因點P在直線l：上，則設，于是有，而，因此，，即，依題意，上述關于的一元二次不等式有實數解，從而有，解得，所以實數m的取值范圍是.故選：A6、D【解析】利用等差數列下標的性質，結合等差數列前項和公式進行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D7、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當時，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C8、A【解析】由橢圓的定義可得；利用基本不等式，若，則，當且僅當時取等號.【詳解】根據橢圓的定義可知，，即，因為，，所以，當且僅當，時等號成立.故選：A9、C【解析】直接按照等差數列項數性質求解即可.【詳解】數列的前6項之和為.故選：C.10、C【解析】設，代入雙曲線方程相減后可求得，從而得漸近線方程【詳解】設，則，相減得，∴，又線段的中點為P(2，4)，的斜率為1，∴，，∴漸近線方程為故選：C【點睛】方法點睛：本題考查求雙曲線的漸近線方程，已知弦的中點（或涉及到中點），可設弦兩端點的坐標，代入雙曲線方程后作差，作差后式子中有直線的斜率，弦中點坐標，有．這種方法叫點差法11、A【解析】由于對數函數的存在，故需要對進行放縮，結合（需證明），可放縮為，利用等號成立可求出，進而得解.【詳解】令，，故在上單調遞減，在上單調遞增，，故，即，當且僅當，等號成立．所以，當且僅當時，等號成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A12、B【解析】結合重心的知識以及空間向量運算求得正確答案.【詳解】設是中點，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【詳解】解：因為在中，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，則故答案為：14、【解析】根據給定條件求出正項等比數列的公比即可計算作答.【詳解】設正項等比數列的公比為，依題意，，即，而，解得，所以.故答案為：15、##0.25【解析】求出點A，B坐標，設出直線l的方程，聯立直線l與橢圓方程，借助韋達定理即可計算作答.【詳解】依題意，點，直線AB斜率為，因直線l直線AB，則設直線l方程為：，，由消去y并整理得：，，解得，于是有或，設，則，有，因此，，所以的值為.故答案：16、##【解析】把該幾何體補成一個正方體，如圖，利用正方體的性質證明面面垂直得出直線MB與平面BEF所成的角，然后計算可得【詳解】把該幾何體補成一個正方體，如圖，，連接，由平面，平面，得，同理，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，所以平面內的直線在平面上的射影是，即是直線MB與平面BEF所成的角，，，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標系設直線方程，根據點到直線的距離公式可得；（2）先求補水點的坐標，根據直線過該點，結合所求，根據基本不等式可得.【小問1詳解】根據題意，以小島中心為原點，建立平面直角坐標系，當時，則輪船返港的直線為，因為沒有觸礁危險，所以原點到的距離，解得.【小問2詳解】根據題意可得，，點C在直線上，故點C，設輪船返港的直線是，則，所以.當且僅當時取到最小值.18、（1）（2）是，0【解析】（1）根據題意，設拋物線的方程為：，則，，進而根據得，進而得答案；（2）直線的方程為，進而聯立方程，結合韋達定理與向量數量積運算化簡整理即可得答案.【小問1詳解】解：由題意，設拋物線的方程為：，所以點的坐標為，點的坐標為，因為，所以，即，解得.所以拋物線的方程為：【小問2詳解】解：設直線的方程為，則聯立方程得，所以，，因為，所以.所以為定值.19、（1）（2）【解析】（1）由可求得的值，由可求得數列的通項公式；（2）求得，利用二次函數的基本性質可求得的最小值.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以，.當時，，當時，，也滿足，故對任意的，.【小問2詳解】解：，所以，當或時，取得最小值，且最小值為.20、（1）（2）分布列見解析；【解析】（1）利用組合的知識計算出基本事件總數和滿足題意的基本事件數，根據古典概型概率公式求得結果；（2）確定所有可能的取值，根據超幾何分布概率公式可計算出每個取值對應的概率，進而得到分布列和數學期望.【小問1詳解】名同學中，會法語的人數為人，從人中選派人，共有種選法；其中恰有人會法語共有種選法；選派的人中恰有人會法語的概率.【小問2詳解】由題意可知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數學期望為21、（1）函數的減區間為，增區間為，有極小值，無極大值；（2）具體見解析；（3）具體見解析.【解析】（1）對函數求導，進而求出單調區間和極值；（2）結合（1），并代入幾個特殊點，再結合函數的變化趨勢作出圖象；（3）結合（2），采用數形結合的方法求得答案.【小問1詳解】，時，，單調遞減，時，，單調遞增，故函數在x=-1處取得極小值為，無極大值.【小問2詳解】作圖說明：由（1）