甘肅省示范名校2024屆高二數學第一學期期末檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.2．某中學的校友會為感謝學校的教育之恩，準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30°，側棱長為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長為6米 B.體積為立方米C.側面積為平方米 D.側棱與底面所成角的正弦值為3．我國古代數學名著《算法統宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數來言，務要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第5個孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤4．函數的大致圖象為A. B.C. D.5．命題“”為真命題一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.6．已知焦點在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.7．等軸雙曲線漸近線是（）A. B.C. D.8．“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時C.18時~19時 D.19時~20時10．已知數列是各項均為正數的等比數列，若，則公比()A. B.2C.2或 D.411．已知拋物線上一點的縱坐標為4，則點到拋物線焦點的距離為A.2 B.3C.4 D.512．函數的圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數為奇函數，當時，，則_______14．設雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率15．程大位《算法統宗》里有詩云“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數來言.務要分明依次弟，孝和休惹外人傳.”意為：996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第一個開始，以后每人依次多17斤，直到第八個孩子為止.分配時一定要等級分明，使孝順子女的美德外傳，則第七個孩子分得斤數為___________.16．已知長方體的棱，則異面直線與所成角的大小是________________.（結果用反三角函數值表示）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）若不等式的解集為，求實數的取值范圍.18．（12分）男子10米氣步槍比賽規則如下：在資格賽中，射手在距離靶子10米處，采用立姿，在105分鐘內射擊60發子彈，總環數排名前8名的射手進入決賽；在決賽中，每位射手僅射擊10發子彈．已知甲乙兩名運動員均進入了決賽，資格賽中的環數情況整理得下表：環數頻數678910甲2352327乙5502525以各人這60發子彈環數的頻率作為決賽中各發子彈環數發生的概率，甲乙兩人射擊互不影響（1）求甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率；（2）決賽打完第9發子彈后，甲比乙落后2環，求最終甲能戰勝乙（甲環數大于乙環數）的概率19．（12分）如圖所示，第九屆亞洲機器人錦標賽VEX中國選拔賽永州賽區中，主辦方設計了一個矩形坐標場地ABCD（包含邊界和內部，A為坐標原點），AD長為10米，在AB邊上距離A點4米的F處放置一只電子狗，在距離A點2米的E處放置一個機器人，機器人行走速度為v，電子狗行走速度為，若電子狗和機器人在場地內沿直線方向同時到達場地內某點M，那么電子狗將被機器人捕獲，點M叫成功點.（1）求在這個矩形場地內成功點M的軌跡方程；（2）P為矩形場地AD邊上的一動點，若存在兩個成功點到直線FP的距離為，且直線FP與點M的軌跡沒有公共點，求P點橫坐標的取值范圍.20．（12分）已知函數（1）求在點處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積21．（12分）設數列的前項和為，，且，，（1）若（i）求；（ii）求證數列成等差數列（2）若數列為遞增數列，且，試求滿足條件的所有正整數的值22．（10分）已知函數.（1）判斷的單調性.（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.2、D【解析】連接底面正方形的對角線交于點，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點，連接，則的大小為側面與底面所成，設正方形的邊長為，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項進行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對角線交于點，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點，連接，由正四棱錐的性質，可得由分別為的中點，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設正方形的邊長為，則,又則,解得故選項A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項B正確.該正四棱錐的側面積為，故選項C正確.由題意為側棱與底面所成角，則，故選項D不正確.故選：D3、A【解析】根據等差數列的前n項和公式、等差數列的通項公式進行求解即可.【詳解】依題意得，八個子女所得棉花斤數依次構成等差數列，設該等差數列為，公差為d，前n項和為，第一個孩子所得棉花斤數為，則由題意得，，解得，故選：A4、D【解析】根據函數奇偶性排除A、C.當時排除B【詳解】解：由可得所以函數為偶函數，排除A、C.因為時，，排除B.故選：D.5、B【解析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關系判斷【詳解】命題“”為真命題，則≤1,只有是的真子集,故選項B符合題意故選：B6、D【解析】由題意，化簡即可得出雙曲線的離心率【詳解】解：由題意，.故選：D7、A【解析】對等軸雙曲線的焦點的位置進行分類討論，可得出等軸雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為，若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為.綜上所述，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：A.8、B【解析】直線傾斜角的范圍是[0°,180°)，直線斜率為傾斜角(不為90°)的正切值，據此即可判斷求解.【詳解】直線的斜率不大于0，則直線l斜率可能等于零，此時直線傾斜角為0°，不為鈍角，故“直線的斜率不大于0”不是“直線的傾斜角為鈍角”充分條件；直線的傾斜角為鈍角時，直線的斜率為負，滿足直線的斜率不大于0，即“直線的傾斜角為鈍角”是“直線的斜率不大于0”的充分條件，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要條件；綜上，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.9、B【解析】要找入園人數最多的，只要根據函數圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結合函數的圖象可知，在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，圖象變化最快的為16到17點之間故選：B.【點睛】本題考查折線統計圖的實際應用，屬于基礎題.10、B【解析】由兩式相除即可求公比.【詳解】設等比數列的公比為q，∵其各項均為正數，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，則q＝2.故選：B.11、D【解析】拋物線焦點在軸上，開口向上，所以焦點坐標為，準線方程為，因為點A的縱坐標為4，所以點A到拋物線準線的距離為，因為拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，所以點A與拋物線焦點的距離為5.考點：本小題主要考查應用拋物線定義和拋物線上點的性質拋物線上的點到焦點的距離，考查學生的運算求解能力.點評：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，這條性質在解題時經常用到，可以簡化運算.12、A【解析】根據函數的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數的定義域為，則排除選項、,當時，，則在上單調遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由奇函數的定義可得，代入解析式即可得解.【詳解】函數為奇函數，當時，，所以.故答案為-1.【點睛】本題主要考查了奇函數的求值問題，屬于基礎題.14、e＝2.【解析】先求出直線的方程，利用原點到直線的距離為，，求出的值，進而根據求出離心率【詳解】由l過兩點(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點睛】本題考查雙曲線性質，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構造出關于的等式，屬于中檔題15、167【解析】由題設知8個孩子分得斤數是公差為17的等差數列，設第一個孩子分得斤，應用等差數列前n項和公式求，進而由等差數列通項公式求即可.【詳解】由題意，設第一個孩子分得斤，則，所以，可得，故斤.故答案為：167.16、【解析】建立空間直角坐標系，求出異面直線與的方向向量，再求出兩向量的夾角，進而可得異面直線與所成角的大小【詳解】解：建立如圖所示的空間直角坐標系：在長方體中，，，，，，，，，，異面直線與所成角的大小是故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將不等式分解因式，即可求得不等式解集；（2）根據不等式解集，考慮其對應二次函數的特征，即可求出參數的范圍.【小問1詳解】當時，即，也即，則，解得或，故不等式解集為.【小問2詳解】不等式的解集為，即的解集為，也即的解集為，故其對應二次函數的，解得.故實數的取值范圍為：.18、（1）（2）【解析】（1）先求出甲運動員打中10環的概率，從而可求出甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率；（2）由于甲比乙落后2環，所以甲要獲勝，則乙6環，甲9環或10環，或者乙7環，甲10環，再利用獨立事件和互斥事件的概率公式求解即可【小問1詳解】由表中的數據可得甲運動員打中10環的概率為，所以甲運動員在決賽中前2發子彈共打出1次10環的概率為【小問2詳解】因為甲比乙落后2環，所以甲要獲勝，則乙打中6環，甲打中9環或10環，或者乙打中7環，甲打中10環，因為由題意可得乙打中6環的概率和打中7環的概率均為，甲打中9環的概率為，打中10環的概率為，且甲乙兩人射擊互不影響所以最終甲能戰勝乙的概率為19、（1）（2）【解析】（1）分別以為軸，建立平面直角坐標系，由題意，利用兩點間的距離公式可得答案.(2)由題意可得點的軌跡所在圓的圓心到直線的距離，點的軌跡與軸的交點到直線的距離，從而可得答案.【小問1詳解】分別以為軸，建立平面直角坐標系，則，設成功點，可得即,化簡得因為點需在矩形場地內，所以故所求軌跡方程為【小問2詳解】設，直線方程為直線FP與點M軌跡沒有公共點,則圓心到直線的距離大于依題意，動點需滿足兩個條件：點的軌跡所在圓的圓心到直線的距離即,解得②點的軌跡與軸的交點到直線的距離即,解得綜上所述，P點橫坐標的取值范圍是20、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程；（2）首先求出兩函數的交點坐標，再利用定積分及微積分基本定理計算可得；【小問1詳解】解：因為，所以，所以切線的斜率，切線過點，切線的方程為，即【小問2詳解】解：由題知，即解得或，即或或，直線與曲線于則所求圖形的面積21、（1）；詳見解析；（2）5.【解析】（1）由題可得，由條件可依次求各項，即得；猜想，用數學歸納法證明即得；（2）設，由題可得，進而可得，結合條件即求.【小問1詳解】（i）∵，且，，，∴，，，∴，，，又，，，∴，∴，解得，，解得，，解得，，解得，∴；（ii）由，，，，猜想數列是首項，公差為的等差數列，，用數學歸納法證明：當時，，成立；假設時，等式成立，即，則時，，∴，∴當時，等式也成立，∴，∴數列是首項，公差為的等差數列.【小問2詳解】設，由，，即，∴，又，，，∴，，，，，，∴，，，∴，又數列為遞增數列，∴，解得，由，∴，解得.【點睛】關鍵點點睛：第一問的關鍵是由條件猜想，然后數學歸納法證明，第二問求出，，即得.22