河南省鄭州市重點中學2023年高三4月質量調研（二模）數學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是虛數單位，復數（）A． B． C． D．2．已知集合，則全集則下列結論正確的是()A． B． C． D．3．已知集合，則集合（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設到直線的距離之和的最大值為，若數列的前項和恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．5．如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．6．“紋樣”是中國藝術寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內，并向該正方形內隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據此可估計陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．7．執行如圖的程序框圖，若輸出的結果，則輸入的值為()A． B．C．3或 D．或8．已知為虛數單位，若復數，則A． B．C． D．9．已知某超市2018年12個月的收入與支出數據的折線圖如圖所示：根據該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元10．己知拋物線的焦點為，準線為，點分別在拋物線上，且，直線交于點，，垂足為，若的面積為，則到的距離為（）A． B． C．8 D．611．已知函數，，且在上是單調函數，則下列說法正確的是（）A． B．C．函數在上單調遞減 D．函數的圖像關于點對稱12．復數的共軛復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為了了解一批產品的長度（單位：毫米）情況，現抽取容量為400的樣本進行檢測，如圖是檢測結果的頻率分布直方圖，根據產品標準，單件產品長度在區間的一等品，在區間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數為__________．14．已知F為雙曲線的右焦點，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標原點），則C的離心率為________.15．一次考試后，某班全班50個人數學成績的平均分為正數，若把當成一個同學的分數，與原來的50個分數一起，算出這51個分數的平均值為，則_________．16．公比為正數的等比數列的前項和為，若，，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，求邊上的高.18．（12分）已知函數．（1）求函數的零點；（2）設函數的圖象與函數的圖象交于，兩點，求證：；（3）若，且不等式對一切正實數x恒成立，求k的取值范圍．19．（12分）在平面直角坐標系中，設，過點的直線與圓相切，且與拋物線相交于兩點．（1）當在區間上變動時，求中點的軌跡；（2）設拋物線焦點為，求的周長(用表示)，并寫出時該周長的具體取值．20．（12分）若數列滿足：對于任意，均為數列中的項，則稱數列為“數列”．（1）若數列的前項和，，試判斷數列是否為“數列”？說明理由；（2）若公差為的等差數列為“數列”，求的取值范圍；（3）若數列為“數列”，，且對于任意，均有，求數列的通項公式．21．（12分）已知函數.（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設函數的極值點為，當變化時，點構成曲線，證明：過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.22．（10分）已知函數.（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若存在滿足不等式，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用復數的除法運算，化簡復數，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，復數，故選D．【點睛】本題主要考查了復數的除法運算，其中解答中熟記復數的除法運算法則是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．2、D【解析】

化簡集合，根據對數函數的性質，化簡集合，按照集合交集、并集、補集定義，逐項判斷，即可求出結論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點睛】本題考查集合運算以及集合間的關系，求解不等式是解題的關鍵，屬于基礎題.3、D【解析】

弄清集合B的含義，它的元素x來自于集合A，且也是集合A的元素.【詳解】因，所以，故，又，，則，故集合.故選：D.【點睛】本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.4、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點睛】本題考查了向量數量積，點到直線的距離，數列求和等知識，是一道不錯的綜合題.5、C【解析】

根據三視圖作出幾何體的直觀圖，結合三視圖的數據可求得幾何體的體積.【詳解】根據三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎題.6、D【解析】

直接根據幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據幾何概型：，故.故選：.【點睛】本題考查了根據幾何概型求面積，意在考查學生的計算能力和應用能力.7、D【解析】

根據逆運算，倒推回求x的值，根據x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當，解得

，所以3是輸入的x的值；當時，解得，所以是輸入的x的值，所以輸入的x的值為

或3，故選：D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用，通過結果反求輸入的值，屬于基礎題.8、B【解析】

因為，所以，故選B．9、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎題.10、D【解析】

作，垂足為，過點N作，垂足為G，設，則，結合圖形可得，，從而可求出，進而可求得，，由的面積即可求出，再結合為線段的中點，即可求出到的距離．【詳解】如圖所示，作，垂足為，設，由，得，則，.過點N作，垂足為G，則，，所以在中，，，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以．解得，因為，所以為線段的中點，所以F到l的距離為．故選：D【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質及平面幾何的有關知識，屬于中檔題．11、B【解析】

根據函數，在上是單調函數，確定，然后一一驗證，A.若，則，由，得，但.B.由，，確定，再求解驗證.C.利用整體法根據正弦函數的單調性判斷.D.計算是否為0.【詳解】因為函數，在上是單調函數，所以，即，所以，若，則，又因為，即，解得，而，故A錯誤.由，不妨令，得由，得或當時，，不合題意.當時，，此時所以，故B正確.因為，函數，在上是單調遞增，故C錯誤.，故D錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數的性質及其應用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.12、A【解析】

試題分析：由題意可得：.共軛復數為，故選A.考點：1.復數的除法運算;2.以及復平面上的點與復數的關系二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、100.【解析】分析：根據頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數．詳解：由題意得，三等品的長度在區間，和內，根據頻率分布直方圖可得三等品的頻率為，∴樣本中三等品的件數為.點睛：頻率分布直方圖的縱坐標為，因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區間內的頻率，把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤．14、2【解析】

求出焦點到漸近線的距離就可得到的等式，從而可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，由得，∴，，∴．故答案為：2.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是求出焦點到漸近線的距離，從而得出一個關于的等式．15、1【解析】

根據均值的定義計算．【詳解】由題意，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查均值的概念，屬于基礎題．16、56【解析】

根據已知條件求等比數列的首項和公比，再代入等比數列的通項公式，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列的通項公式和前項和公式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理將邊化成角，可得，展開并整理可得，從而可求出角；（2）由余弦定理得，進而可得，由，可求出的值，設邊上的高為，可得的面積為，從而可求出.【詳解】（1）由題意，由正弦定理得.因為，所以，所以，展開得，整理得.因為，所以，故，即.（2）由余弦定理得，則，得，故，故的面積為.設邊上的高為，有，故，所以邊上的高為.【點睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應用，考查三角形的面積公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.18、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】

（1）令，根據導函數確定函數的單調區間，求出極小值，進而求解；（2）轉化思想，要證，即證，即證，構造函數進而求證；（3）不等式對一切正實數恒成立，，設，分類討論進而求解．【詳解】解：（1）令，所以，當時，，在上單調遞增；當時，，在單調遞減；所以，所以的零點為．（2）由題意，，要證，即證，即證，令，則，由（1）知，當且僅當時等號成立，所以，即，所以原不等式成立．（3）不等式對一切正實數恒成立，，設，，記，△，①當△時，即時，恒成立，故單調遞增．于是當時，，又，故，當時，，又，故，又當時，，因此，當時，，②當△，即時，設的兩個不等實根分別為，，又，于是，故當時，，從而在單調遞減；當時，，此時，于是，即舍去，綜上，的取值范圍是．【點睛】（1）考查函數求導，根據導函數確定函數的單調性，零點；（2）考查轉化思想，構造函數求極值；（3）考查分類討論思想，函數的單調性，函數的求導；屬于難題.19、（1）．（2）的周長為，時，的周長為【解析】

（1）設的方程為，根據題意由點到直線的距離公式可得，將直線方程與拋物線方程聯立可得，設?坐標分別是?,利用韋達定理以及中點坐標公式消參即可求解.（2）根據拋物線的定義可得，由（1）可得，再利用弦長公式即可求解.【詳解】（1）設的方程為于是聯立設?坐標分別是?則設的中點坐標為，則消去參數得：（2）設，，由拋物線定義知，，∴由（1）知∴，，的周長為時，的周長為【點睛】本題考查了動點的軌跡方程、直線與拋物線的位置關系、拋物線的定義、弦長公式，考查了計算能力，屬于中檔題.20、（1）不是，見解析（2）（3）【解析】

（1）利用遞推關系求出數列的通項公式，進一步驗證時，是否為數列中的項，即可得答案；（2）由題意得，再對公差進行分類討論，即可得答案；（3）由題意得數列為等差數列，設數列的公差為，再根據不等式得到公差的值，即可得答案；【詳解】（1）當時，又，所以．所以當時，，而，所以時，不是數列中的項，故數列不是為“數列”（2）因為數列是公差為的等差數列，所以．因為數列為“數列”所以任意，存在，使得，即有．①若，則只需，使得，從而得是數列中的項．②若，則．此時，當時，不為正整數，所以不符合題意．綜上，．（3）由題意，所以，又因為，且數列為“數列”，所以，即，所以數列為等差數列．設數列的公差為，則有，由，得，整理得，①．②若，取正整數，則當時，，與①式對應任意恒成立相矛盾，因此．同樣根據②式可得，所以．又，所以．經檢驗當時，①②兩式對應任意恒成立，所以數列的通項公式為．【點睛】本題考查數列新定義題、等差數列的通項公式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，難度較大.21、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，進而構造函數，求導可判斷出的單調性，進而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，則，，進而可得，即曲線的方程為，進而只需證明對任意，方程有唯一解，然后構造函數，分、和三種情況，分別證明函數在上有唯一的零點，即可證明結論成立.【詳解】（1）由題意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，則.令，則，，