復變函數論FunctionsofOneComplexVariable6.1留數的概念及留數的求法第六章留數理論及其應用§6.1留數§6.2用留數定理計算實積分§6.3輻角原理及其應用6.1留數的概念及留數的求法1.留數的定義及留數定理

設函數f(z)在點a解析.作圓C:|z–a|=r

設函數f(z)在區域0<|z-a|<R內解析.選取r，使0<r<R，并且作圓C:|z–a|=r

如果f(z)在a也解析，則上面的積分也等于零；使f(z)在以它為邊界的閉圓盤上解析，那么根據柯西積分定理§6.1留數6.1留數的概念及留數的求法

如果a是f(z)的孤立奇點，則上述積分就不一定等于零.

定義6.1

設f(z)在點a的某去心鄰域0<|z–a|<R內解析，則稱積分為f(z)在孤立奇點a的留數(residue)，記作6.1留數的概念及留數的求法而且這一展式在Γ上一致收斂。逐項積分，我們有因此

注1.我們定義的留數與圓Γ的半徑ρ無關：事實上，在0<|z-a|<R內，f(z)有洛朗展式：6.1留數的概念及留數的求法

注2.f(z)在孤立奇點a的留數等于其洛朗級數展式中

的系數c-1

。

注3.如果a是f(z)的可去奇點，那么6.1留數的概念及留數的求法柯西留數定理

定理6.1

如果f(z)在周線或復周線C所圍的區域D內，除a1，a2，…，an外解析，在閉域D+C上除a1，a2，…，an外連續，則6.1留數的概念及留數的求法6.1留數的概念及留數的求法留數定理的證明

以D內每一個孤立奇點ak為心，作圓Γk，使以它為邊界的閉圓盤上每一點都在D內，并且使任意兩個這樣的閉圓盤彼此無公共點。從D中除去以這些Γk為邊界的閉圓盤的一個區域G，其邊界是C以及Γk.

在G及其邊界所組成的閉區域上，f(z)解析。因此根據柯西定理，6.1留數的概念及留數的求法

注1.留數定理在兩個完全不同，也不相干的概念之間架起了一座橋梁.

注2.具體計算一定要注意前面的系數2πi.

注3.柯西積分定理與柯西積分公式都是柯西留數定理的特殊情形.

注4.留數定理把計算周線積分的整體問題化為計算各孤立奇點處的留數的局部問題.6.1留數的概念及留數的求法

2.留數的求法

計算f(z)在孤立奇點a的留數時，我們只關心其洛朗級數展式中的洛朗系數c-1，應用洛朗級數是求留數的一般方法.但是對于奇點較多的情形此法較繁.

對于計算f(z)在極點a處的留數時，我們有下面的定理：6.1留數的概念及留數的求法

定理6.2

設a為f(z)的n階極點，6.1留數的概念及留數的求法

推論6.3

設a為f(z)的二階極點，

定理6.2的結論也可寫成

推論6.3

設a為f(z)的一階極點，6.1留數的概念及留數的求法

定理6.5

設a為的一階極點.

其中P(z)及Q(z)在a解析，P(a)≠0，Q(a)=0.6.1留數的概念及留數的求法

例1.

函數因此有兩個一階極點z=±i

，這時6.1留數的概念及留數的求法

例2.

函數

在z=0有三階極點，而因此由上述公式也可得：6.1留數的概念及留數的求法

例3.

函數在z=i有二階極點.這時令z=i+t，那么在的泰勒展式中，t的系數就是f(z)在z=i處的留數。寫出h(t)中每個因子的到t的一次項，我們有：6.1留數的概念及留數的求法當|t|<1時,因此當|t|<1時，

于是6.1留數的概念及留數的求法由上述公式也可得：6.1留數的概念及留數的求法例6.3計算積分

.

解只以z=0為三階極點.6.1留數的概念及留數的求法例6.4計算積分

.

解法一6.1留數的概念及留數的求法例6.4計算積分

.解法二的全部零點為

在|z|=1內只有z=0一個零點.且為被積函數的一階極點.

6.1留數的概念及留數的求法例6.5

計算積分

.

解