一類方程的轉化為

1反應a型1.1使用交換代數s，設置si，0s是交換代數s的單位元或零元。當s為滿足s時。aα2+bα+cΙS=0S,a,b,c∈R,a≠0,aα2+bα+cIS=0S,a,b,c∈R,a≠0,則稱α是S中一元二次方程aX2+bX+cΙS=0S(1)aX2+bX+cIS=0S(1)的一個根.記Δ=b2-4ac,則有(1)當Δ>0時,記X=√b2-4ac2aγ-b2aΙsX=b2?4ac√2aγ?b2aIs,方程(1)轉化為γ2=ΙS;(2)γ2=IS;(2)(2)當Δ<0時,記X=√4ac-b22aγ-b2aΙsX=4ac?b2√2aγ?b2aIs,方程(1)轉化為γ2=-ΙS;(3)γ2=?IS;(3)(3)當Δ=0時,記X=γ-b2aΙsX=γ?b2aIs,方程(1)轉化為于是,考察方程(1)在S中的根,可轉化為考察方程(2)或(3)或(4)中的根.定義1.2在交換代數S中,滿足方程(2)-(4)的元素,依次稱為S中的自逆元、反自逆元、自共軛零因子.記S中的自逆元集、反自逆元集、自共軛零因子集依次為U、V、W.于是,方程(1)在S中的根,可轉化為求S中的自逆元集U,或反自逆元集V,或自共軛零因子集W.2時,x=-bs,4gc-2m定理2.1在交換代數S中,若ν∈U,v∈V,ω∈W,則-ν∈U,-v∈V,-ω∈W.定理2.2交換代數S中一元二次方程aX2+bX+cIS=0S的根為:(1)當Δ>0時,(2)當Δ<0時,X=-bΙS+√4ac-b2ν2a,v∈V;X=?bIS+4ac?b2√ν2a,v∈V;(3)當Δ=0時,定理2.3若S中有非零冪零元,則當Δ=0時,方程(1)在S中有無窮多根.定理2.4若α1∈S是方程(1)在S中的根,則存在α2∈S,使得α1+α2=-baΙS,α1α2=caΙS.α1+α2=?baIS,α1α2=caIS.定理2.5若方程(1)在S中的解集J={χ1,χ2,……,χn}為有限集,則有:(1)J中元素個數n為偶數(重根按重數計);3般韋達定理2.2.定理2.1結論顯然,證明從略.定理2.2的證明當Δ=b2-4ac>0時,若X=-bΙS+√b2-4acν2a,ν∈U,X=?bIS+b2?4ac√ν2a,ν∈U,則有ν=2a√b2-4ac(X+b2aΙS).ν=2ab2?4ac√(X+b2aIS).因ν2∈U,所以ν2=[2a√b2-4ac(X+b2aΙS)]2=ΙS.ν2=[2ab2?4ac√(X+b2aIS)]2=IS.于是aX2+bX+cΙS=0S,aX2+bX+cIS=0S,即X是方程(1)的一個根.反之,設X∈S是方程(1)的一個根,則γ=2a√b2-4ac(X+b2aΙS)γ=2ab2?4ac√(X+b2aIS)是方程(2)的一個根,即γ2=4a2b2-4ac(X+b2aΙS)2=ΙS.γ2=4a2b2?4ac(X+b2aIS)2=IS.于是γ=2a√b2-4ac(X+b2aΙS)=ν,ν∈U,γ=2ab2?4ac√(X+b2aIS)=ν,ν∈U,即X=-bΙS+√b2-4acν2a,ν∈U.X=?bIS+b2?4ac√ν2a,ν∈U.定理2.2的(1)證畢.仿此可證明定理2.2的(2)和(3)成立.定理2.3的證明設α≠0S是S中的冪零元,冪零指數為T(T≥2),即αT=0S.令β=α[Τ+12]([Τ+12]β=α[T+12]([T+12]為Τ+12T+12整數部分),則二階冪零元β∈W,顯然β≠0S.從而,無窮集合X={-b2aΙS+λβ|λ∈C}X={?b2aIS+λβ|λ∈C}中的每一元素均為方程(1)在S中的根.定理2.4的證明當Δ>0時,由定理2.2,不妨設α1=-b2aΙS+√b2-4ac2aν(ν∈U),由定理2.1知,ν∈U,則-ν∈U.令α2=-b2aΙS+√b2-4ac2a(-ν),于是有仿此可證明Δ<0及Δ=0時結論成立.定理2.5的證明(1)由定理2.4的證明不難知結論成立.(2)令n=2k,k∈Z+,由定理2.4不失一般性,將J中元素次序重排為使得于是有且于是(3)成立.特別的,J中只有兩個元素時,定理2.5即為通常的韋達定理.4為2a,bb3,4,5,4,5,4,5,10,3,4,10,3,5,10,3,5,10,3,4,10,3,5,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10a,10,10a,10,10a,10a,10a,10a,10,10a,10a,10a,10,10a,10,10a,10,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a,10a設為二階復方陣代數的子代數,求二次方程在S中的根.解S是二階復方陣代數的子代數,且自逆元集反自逆元集V={(i00i),(-i00i),(i00-i),(-i00-i)},自共軛零因子集W={(0000)}.(1)當Δ>0時,二次方程(1)在S中有4個根χ1,2=-b2a(1001)±√b2-4ac2a(1001)=-b±√b2-4ac2a(1001),χ3,4=-b2a(1001)±√b2-4ac2a(100-1).(2)當Δ<0時,二次方程(1)在S中有4個根χ1,2=-b2a(1001)±√4ac-b22a(i00i),χ3,4=-b2a(1001)±√4ac-b22a(i00-i).(3)當Δ=0時,方程(1)在S中有二重根χ1,2=-b2a(1001).一般地,當S為n階復方陣代數的子代數時,二次方程aX2+bX+cΙn=0,a,b,c∈R,a≠0,In是n階單位陣,X∈Cn×n的根如下:(1)當Δ>0時X=-bΙn+√