2023-2024學年河北省滄州市普通高中數學高二上期末學業質量監測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點，的直線的斜率等于2，則的值為（）A.0 B.1C.3 D.42．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形3．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知等比數列的前3項和為3，，則（）A. B.4C. D.15．某校初一有500名學生，為了培養學生良好的閱讀習慣，學校要求他們從四大名著中選一本閱讀，其中有200人選《三國演義》，125人選《水滸傳》，125人選《西游記》，50人選《紅樓夢》，若采用分層抽樣的方法隨機抽取40名學生分享他們的讀后感，則選《西游記》的學生抽取的人數為（）A.5 B.10C.12 D.156．在平面區域內隨機投入一點P，則點P的坐標滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.7．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.68．如圖所示，某空間幾何體的三視圖是3個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為2，則該空間幾何體的體積為（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.610．設P是雙曲線上的點，若，是雙曲線的兩個焦點，則（）A.4 B.5C.8 D.1011．已知向量，則（）A. B.C. D.12．已知空間四邊形中，，，，點在上，且，為中點，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體的棱長為為的中點，為面內一點．若點到面的距離與到直線的距離相等，則三棱錐體積的最小值為__________14．若將拋擲一枚硬幣所出現的結果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為H、T，相應的拋擲兩枚硬幣的樣本空間為，則與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應的樣本空間的子集為______15．已知函數的圖象上有一點，則曲線在點處的切線方程為______.16．已知動圓P過定點，且在定圓的內部與其相內切，則動圓P的圓心的軌跡方程為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.（I）在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.18．（12分）某企業新研發了一種產品，產品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產品的非原料成本（元）與生產該產品的數量（千件）有關，經統計得到如下數據：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根據以上數據繪制了散點圖觀察散點圖，兩個變量間關系考慮用反比例函數模型和指數函數模型分別對兩個變量的關系進行擬合.已求得用指數函數模型擬合的回歸方程為，與x的相關系數.（1）用反比例函數模型求y關于x的回歸方程；（2）用相關系數判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計產量為10千件時每件產品非原料成本；（3）根據企業長期研究表明，非原料成本y服從正態分布，用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差s作為的估計值，若非原料成本y在之外，說明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時需尋找出現異樣成本的原因.利用估計值判斷上述非原料成本數據是否需要尋找出現異樣成本的原因？參考數據（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，相關系數.19．（12分）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是，記動點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）已知過點的直線與曲線C相交于兩點，，請問點P能否為線段的中點，并說明理由.20．（12分）如圖，在三棱錐中，，平面，，分別為棱，的中點.（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，直線l與橢圓交于兩點，求的面積的最大值.22．（10分）已知數列的前項和為，已知，且當，時，（1）證明數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用斜率公式即求.【詳解】由題可得，∴.故選：A2、B【解析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【詳解】因為，所以，由余弦定理，因為，所以，又，∴，故為直角三角形.故選：B.3、A【解析】根據離心率求出的值，再根據漸近線方程求解即可.【詳解】因雙曲線焦點在軸上，所以漸近線方程為：，又因為雙曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.4、D【解析】設等比數列公比為，由已知結合等比數列的通項公式可求得，，代入即可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，由，得即，又，即又，，解得又等比數列的前3項和為3，故，即，解得故選：D5、B【解析】根據分層抽樣的方法，列出方程，即可求解.【詳解】根據分層抽樣的方法，可得選《西游記》的學生抽取的人數為故選：B.6、A【解析】根據題意作出圖形，進而根據幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.7、C【解析】設，，，利用結合數量積的運算即可得到答案.【詳解】設，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C8、A【解析】在該空間幾何體的直觀圖中去求其體積即可.【詳解】依托棱長為2的正方體得到該空間幾何體的直觀圖為三棱錐則故選：A9、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.10、C【解析】根據雙曲線的定義可得：，結合雙曲線的方程可得答案.【詳解】由雙曲線可得根據雙曲線的定義可得：故選：C11、B【解析】根據向量加減法運算的坐標表示即可得到結果【詳解】故選：B.12、B【解析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】由題意可知，點在平面內的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，如圖在底面建立平面直角坐標系，求出拋物線方程，直線的方程，將直線向拋物線平移，恰好與拋物線相切時，切點為點，此時的面積最小，則三棱錐體積的最小【詳解】因為為面內一點，且點到面的距離與到直線的距離相等，所以點在平面內的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，如圖在底面，以所在的直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系，則,設拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，，直線的方程為，即，設與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由，得，由，得，所以與拋物線相切的直線為，此時切點為，且的面積最小，因為點到直線的距離為，所以的面積的最小值為，所以三棱錐體積的最小值為，故答案為：14、，，，【解析】先寫出與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應的樣本空間，再寫出其全部子集即可.【詳解】與事件“一個正面（朝上）一個反面（朝上）”對應的樣本空間為，此空間的子集為，，，故答案為：，，，15、【解析】利用導數求得為增函數，根據，求得，進而求得，得出即在點處的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程，即可求解【詳解】由題意，點在曲線上，可得，又由函數，則，所以函數在上為增函數，且，所以，因為，所以，即在點處的切線的斜率為2，所以曲線在點的切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題主要考查了利用導數求解曲線在某點處的切線方程，其中解答中熟記導數的幾何意義，以及導數的運算公式，結合直線的點斜式方程是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力16、【解析】設切點為，根據題意，列出點滿足的關系式即．則點的軌跡是橢圓，然后根據橢圓的標準方程求點的軌跡方程【詳解】設動圓和定圓內切于點，動點到定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即，點的軌跡是以，為兩焦點，長軸長為10的橢圓，，點的軌跡方程為，故答案：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.第一問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標系解出正弦值.試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.設BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.設BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A為原點，以,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由得設x=2，解得n=(2,-2,1).設直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα==.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.考點：線線平行、線面平行、向量法.18、（1）（2）反比例函數模型擬合效果更好，產量為10千件時每件產品的非原料成本約為11元，（3）見解析【解析】（1）令，則可轉化為，求出樣本中心，回歸方程的斜率，轉化求回歸方程即可，（2）求出與的相關系數，通過比較，可得用反比例函數模型擬合效果更好，然后將代入回歸方程中可求結果（3）利用已知數據求出樣本標準差s，從而可得非原料成本y服從正態分布，再計算，然后各個數據是否在此范圍內，從而可得結論【小問1詳解】令，則可轉化為，因為，所以，所以，所以，所以y關于x的回歸方程為【小問2詳解】與的相關系數為因為，所以用反比例函數模型擬合效果更好，把代入回歸方程得（元），所以產量為10千件時每件產品的非原料成本約為11元【小問3詳解】因為，所以，因為樣本標準差為，所以，所以非原料成本y服從正態分布，所以因為在之外，所以需要此非原料成本數據尋找出現異樣成本的原因19、（1）（2）不能，理由見解析.【解析】（1）利用題中距離之比列出關于動點的方程即可求解；（2）先假設點P能為線段的中點，再利用點差法求出直線的斜率，最后聯立直線與曲線進行檢驗即可.【小問1詳解】解：動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是則等式兩邊平方可得：化簡得曲線C的方程為：【小問2詳解】解：點不能為線段的中點，理由如下：由（1）知，曲線C的方程為：過點的直線斜率為，，因為過點的直線與曲線C相交于兩點，所以，兩式作差并化簡得：①當為的中點時，則，②將②代入①可得：此時過點的直線方程為：將直線方程與曲線C方程聯立得：，，無解與過點的直線與曲線C相交于兩點矛盾所以點不能為線段的中點【點睛】方法點睛：當圓錐曲線中涉及中點和斜率的問題時，常用點差法進行求解.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質即證；（2）利用坐標法，結合條件可求，然后利用體積公式即求.【小問1詳解】，是的中點，，平面，平面，，又，平面，平面，；【小問2詳解】，，，取的中點，連接，則，平面，以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、