2023-2024學年廣東省廣州市荔灣區高二數學第一學期期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點M在圓上，點N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.12．若直線與互相垂直，則實數a的值為（）A.-3 B.C. D.33．在數列中，，則（）A. B.C.2 D.14．已知橢圓的上下頂點分別為，一束光線從橢圓左焦點射出，經過反射后與橢圓交于點，則直線的斜率為（）A. B.C. D.5．某制藥廠為了檢驗某種疫苗預防的作用，把名使用疫苗的人與另外名未使用疫苗的人一年中的記錄作比較，提出假設：“這種疫苗不能起到預防的作用”，利用列聯表計算得，經查對臨界值表知.則下列結論中，正確的結論是（）A.若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病B.這種疫苗預防的有效率為C.在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“這種疫苗能起到預防的作用”D.有的把握認為這種疫苗不能起到預防生病的作用6．若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.7．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.8．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°9．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.210．在正方體中，AC與BD的交點為M.設則下列向量與相等的向量是（）A. B.C. D.11．函數的導函數為，對任意，都有成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C D.12．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現以為圓心作一個圓恰好經過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，，當時，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為_______14．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點.設異面直線與所成的角為，則的最大值為____15．甲、乙兩名學生通過某次聽力測試的概率分別為和，且是否通過聽力測試相互獨立，兩人同時參加測試，其中有且只有一人能通過的概率是__________16．已知直線過拋物線的焦點，且與的對稱軸垂直，與交于，兩點，，為的準線上一點，則的面積為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）王同學入讀某大學金融專業，過完年剛好得到紅包6000元，她計劃以此作為啟動資金進行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費，余款作為資金全部投入下個月，如此繼續.設第n個月月底的投資市值為an.（1）求證：數列{-5000}為等比數列；（2）如果王同學想在第二年過年的時候給奶奶買一臺全身按摩椅（商場標價為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？18．（12分）2017年廈門金磚會晤期間產生碳排放3095噸．2018年起廈門市政府在下潭尾濕地生態公園通過種植紅樹林的方式中和會晤期間產生的碳排放，擬用20年時間將碳排放全部吸收，實現“零碳排放”目標，向世界傳遞低碳，環保辦會的積極信號，踐行金磚國家倡導的可持續發展精神據研究估算，紅樹林的年碳吸收量隨著林齡每年遞增2%，2018年公園已有的紅樹林年碳吸收量為130噸，如果從2019年起每年新種植紅樹林若干畝，新種植的紅樹林當年的年碳吸收量為m（）噸．2018年起，紅樹林的年碳吸收量依次記，，，…（1）①寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；②證明：是等比數列，并求的通項公式；（2）為了提前5年實現廈門會晤“零碳排放”的目標，m的最小值為多少？參考數據：，，19．（12分）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為2（1）求實數p的值；（2）若直線l過C的焦點，與拋物線交于A，B兩點，且，求直線l的方程20．（12分）如圖是一個正三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，M為AB中點.（1）證明：平面；（2）求此幾何體的體積.21．（12分）某校高三年級進行了一次數學測試，全年級學生的成績都落在區間內，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若（1）求a，b的值；（2）若成績落在區間內的人數為36人，請估計該校高三學生的人數22．（10分）已知三角形的三個頂點，求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.2、C【解析】根據給定條件利用兩條直線互相垂直的關系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數a的值為.故選：C3、A【解析】利用條件可得數列為周期數列，再借助周期性計算得解.【詳解】∵∴，，所以數列是以3為周期的周期數列，∴，故選：A.4、B【解析】根據給定條件借助橢圓的光學性質求出直線AD的方程，進而求出點D的坐標計算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點，下頂點，左焦點，右焦點，由橢圓的光學性質知，反射光線AD必過右焦點，于是得直線AD的方程為：，由得點，則有，所以直線的斜率為.故選：B5、C【解析】根據的值與臨界值的大小關系進行判斷.【詳解】∵，，∴在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“這種疫苗能起到預防的作用”，C對，由已知數據不能確定若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病，A錯，由已知數據不能判斷這種疫苗預防的有效率為，B錯，由已知數據沒有的把握認為這種疫苗不能起到預防生病的作用,D錯，故選：C.6、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點睛】解答本題的關鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面7、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據復合命題的真假關系，即可得出結論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.8、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B9、B【解析】根據互相垂直的兩直線的性質進行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因為兩直線與互相垂直，所以，故選：B10、C【解析】根據空間向量的運算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C.11、C【解析】構造函數，利用導數分析函數的單調性，將所求不等式變形為，結合函數的單調性即可得解.【詳解】對任意，都有成立，即令，則，所以函數在上單調遞增不等式即，即因為，所以所以，，解得，所以不等式的解集為故選：C.12、A【解析】由切線的性質，可得，，再結合橢圓定義，即得解【詳解】因為過點的直線圓的切線，，，所以由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】構造新函數，求導根據導數大于等于零得到，構造，求導得到單調區間，計算函數最小值得到答案.【詳解】當時，不等式恒成立，所以，所以在上是增函數，，則上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以，所以故答案為：14、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，設，，，，，由向量法可得，令，，，利用導數研究函數的單調性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標系不妨設，則，0，，，0，，，1，，設，，，，，，，，，，，令，，則，函數在上單調遞減，時，函數取得最大值，的最大值為故答案為：15、##0.5【解析】分兩種情況，結合相互獨立事件公式即可求解.【詳解】記甲，乙通過聽力測試的分別為事件，則可得，兩人有且僅有一人通過為事件，故所求事件概率為.故答案為：16、【解析】先設出拋物線方程，寫出準線方程和焦點坐標，利用得到拋物線方程，再利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】設拋物線的方程為，則焦點為，準線方程為，由題意，得，，，所以，解得，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）足夠【解析】（1）由題意可得出遞推關系，變形后利用等比數列的定義求證即可；（2）由（1）利用等比數列的通項公式求出，再求出，再計算即可得出結論.【小問1詳解】依題意，第1個月底股票市值則又∴數列是首項為1200，公比為1.2的等比數列.【小問2詳解】由（1）知∴∵，所以王同學將一年理財投資所得全部取出來是足夠的.18、（1）①；②證明見解析，（2）最少為6.56噸【解析】（1）①根據題意直接寫出一個遞推公式即可；②要證明是等比數列，只要證明為一個常數即可，求出等比數列的通項公式，即可求出的通項公式；（2）記為數列的前n項和，根據題意求出，利用分組求和法求出數列的前n項和，再令，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：①依題意得,則，②因為，所以，所以，因為所以數列是等比數列，首項是，公比是1.02，所以，所以；【小問2詳解】解：記為數列的前n項和，，依題，所以，所以m最少為6.56噸19、（1）2（2）或【解析】（1）根據拋物線上的點到焦點與準線的距離相等可得到結果（2）通過聯立拋物線與直線方程利用韋達定理求解關系式即可得到結果【小問1詳解】拋物線焦點為，準線方程為，因為點到焦點F距離為2，所以，解得【小問2詳解】拋物線C的焦點坐標為，當斜率不存在時，可得不滿足題意，當斜率存在時，設直線l的方程為聯立方程，得，顯然，設，，則，所以，解得所以直線l的方程為或20、（1）證明見解析（2）【解析】(1)取的中點，連接，,可得四邊形為平行四邊形，從而可得，然后證明平面，從而可證明.(2)過作截面平面，分別交，于，，連接，作于,由所求幾何體體積為從而可得答案.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接，，因為，分別是，的中點.所以且又因為，，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以.因為正三角形，是的中點，所以，又因為平面，所以，又，所以平面又，所以平面.【小問2詳解】如圖，過作截面平面，分別交，于，，連接，作于，因為平面平面，所以，結合直三棱柱的性質，則平面因為，，，所以.所以所求幾何體體積為21、（1）（2）人【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質求得，結合，即可求