質點系運動定律與蕩秋千

秋千是中國人民廣泛喜愛的民族體育。由千秋和人組成的系統是一個類似于原來的振動系統。然而，問題并不是那么簡單。對于由人類和千秋組成的系統來說，沒有任何外部因素作為痙攣的動力。在秋千的過程中，系統中的外部因素只有懸點的限制和反射力，懸點是固定的，這一強度不是作用的。秋千的過程是人體的一個變形體。因此，我們不能簡單地將人和千秋組成的系統視為一個個體或復合布局。然后，我們使用了相應的運動規則來詳細分析秋千的整個過程。1應變擺長原擺模型如果把人和秋千組成的系統看作一個擺,擺線在O點處是固定的,擺線自身的伸縮和擺線的質量忽略不計.設想人在最大偏轉角處迅速下蹲,在最低點處迅速站立,下蹲和站立的過程都在瞬間完成.人體的下蹲和站立導致了系統質心的升降,相當于有效擺長改變.這樣,我們就把人和秋千組成的系統抽象為一個擺長可變的原擺,稱之為可變擺長原擺模型.如圖1所示.完成第一次擺動質心所走的路徑為a-d-e-b-c,圖中人站立時的等效擺長ˉoa=ˉob=ˉoc=l1oaˉˉˉˉ=obˉˉˉ=ocˉˉˉ=l1,人下蹲時的等效擺長ˉod=ˉoe=ˉof=l0?l0＞l1.2次擺動的能力現在我們把人、秋千和地球所組成的系統作為研究對象,這樣在蕩秋千的全過程中,系統所受到的外力只有懸點的約束反力,其值與擺線張力T相同,為一變力.但是,因為懸點固定,此外力并不作功.重力為保守力,使人下蹲和站起的力為非保守內力.根據功能原理:“一切外力與非保守內力所作功之和等于質點系機械能的增量.”因為外力并不作功,所以有Aλ=△E.現在我們來研究圖1所示的可變擺長單擺模型的第一次擺動.a-d:人體下蹲:因為va=vd=0,故d-e:自由擺動,人體沒有變形,系統機械能守恒.Aλde=0,12mv2e=mgl0(1-cosθ0).(2)e-b:人體站立,又因此過程中重力和張力對懸點O的力矩為0,所以動量矩守恒.mvbl1=mvel0?即vb=l0l1ve.(3)Aλeb=12mv2b-12mv2e+mg(l0-l1)=12mv2e(l20l21-1)+mg(l0-l1)=mgl0(1-cosθ0)(l20l21-1)+mg(l0-l1).(4)注意在此過程中人體內力所作的功一部分轉化為系統的重力勢能,而另一部分轉化為能.其動能增量與初始擺角θ0有關,θ0愈大動能增量愈大.b-c:自由擺動,人體無變形,系統機械能守恒,且vc=0.Aλbc=0,mgl1(1-cosθ1)=12mv2b.(5)整個a-d-e-b-c過程(即第一次擺動)中人體非保守力所做的功:Aλ=Aλad+Aλde+Aλeb+Aλbe=mg(l1-l0)cosθ0+0+mg(1-cosθ0)(l20l21-1)+mg(l0-l1)+0=mg(1-cosθ0)l30-l31l21.系統機械能的增量為△E=Epc-Epa=mgl1(1-cosθ1)-mgl1(1-cosθ0)=mgl1(cosθ0-cosθ1)=mg△h1.上式中△h1為經過第一次擺動質心上升的高度.根據功能原理:Aλ=△E,可得:△h1=l30-l31l21(1-cosθ0)=2(l30-l31)l21sin2θ02.(6)顯然,圖2所示的第二次擺動c-f-e-b-a完全與第一次擺動類似.△h2=2(l30-l31)l21sin2θ12.(7)對于第n次擺動有:△hn=2(l30-l31)l21sin2θn-12.(8)可見,每次擺動所升高的高度與擺線的長度,質心變化的幅度及該次擺動的初始偏角有關.當l0,l1一定時,僅決定于該次擺動的初始偏角.初始偏角愈大,人體在平衡位置站起的過程中所做正功愈多,因而上升高度愈高.當θn-1＞π2時,收縮身體時內力亦做正功,故△h更大.若將擺線改為剛性輕桿,隨著擺動次數的增加,將使θ≥π,其后系統將作圓周運動而不再來回擺動.當θ0=0時,△h1=0.也就是說,如果初始位置在鉛直位置,則秋千無法蕩起.以上討論沒有考慮蕩秋千過程中空氣阻力等因素的影響,而實際過程中這些因素不可避免.因此,只要每次擺動過程中Aλ>A阻,則秋千越蕩越高;當Aλ=A阻時,系統作等幅振蕩.顯然,蕩秋千的技術要領應是:在最大偏角處人體迅速下蹲,在最低處人體迅速站立,并且應使第一次擺動的初始角θ0盡可能大.3質點系質心系統的非保守力從本文的分析可以看出,用受迫振動時發生共振的條件去解釋蕩秋千的過程顯然是不合理的.但是還有人會提出下面的問題:“人和秋千是一個系統,人蕩秋千的力應是內力,而系統的內力不能改變質心的運動狀態,人為什么能把秋千蕩高?”這個問題本身把質心運動定律,質點系的動量定理和質點系的功能原理三方面從不同角度描述質點系運動的力學規律攪在了一起,很容易使人誤入迷津,陷于困境.其實只要搞清楚上述三個規律的區別與聯系,問題就會迎刃而解.功能原理告訴我們:質點系機械能的增量等于外力所做的功與非保守內力的功的代數和.蕩秋千時外力雖然不做功,但人體變形時非保守內力做功.只要一次擺動中非保守內力做正功,系統的機制能必定增加.而質心運動定律和質點系統動量定理表明、質心加速度的產生以及質點系總動量的變化一定要求系統所受的合外力不為0,內力不能改變系統質心的運動狀態.我們知道,任何一個力學過程,必須經歷一段時間,只要合外力不為0,必定產生外力的沖量.但此過程中外力并不一定做功.蕩秋千時系統機構能的增加來自人體變形時非保守內力所做的功,而系統質心運動狀態的改變則是由于外力的沖量即懸點處約束反力的沖量所導致的.可見,質點系機械能的改變,并不一定需要外力做功,非保守內力做功也能改變系統的機械能.而質點系質心運動狀態的改變必須借助外力,但外力不一定要做功,只要有一定的沖量即可.比如,汽車啟動,其動能增加源于發動機中燃油燃燒,氣體膨脹,推動活塞,驅動車輛……總之,要靠燃油燃燒,非保守內力做功,化學能轉化為機構能.