關于概率計算中的一個錯解分析

在計算概率時，通常會出現這樣的問題：親水是一個雜合體，產生一個具有顯示特征的個體。當一個體與另一個體混合時，可以得到后代的表現式概率。針對這一問題,在計算中可能會出現各種錯誤,下面對其進行具體討論。例1某種常染色體上的隱性遺傳病在人群中的發病率為1/2500。有1對夫婦均正常,其中一方的母親是該病患者,請問,這對夫婦的子女患該種遺傳病的可能性有多大?A.1/25B.1/50C.1/100D.1/102錯解1根據“一方的母親是該病患者”可知一方一定是雜合子如甲方是雜合子,剩下問題的關鍵就是求乙方為雜合子的概率,在整個人群,設每個人攜帶該致病基因的概率是n,那么這種病在人群中的發病率為n×n×1/4=n2/4,據題意知n2/4=1/2500,則n=1/25。所以這對夫婦生病孩的概率為:1/25×1/4=1/100。錯解分析上述解法之所以錯誤,在于沒有搞清楚人群中發病率1/2500是病人占整個人群(正常人和病人)的比例,即人群中的這一發病率是由Aa×Aa,Aa×aa,aa×aa3種婚配方式所生病孩的總和,而不是只有Aa×Aa才會生病孩,用n×n×1/4=1/2500算出的人群中Aa的概率n=1/25,由于只考慮Aa×Aa生病孩,使正常人群中Aa的概率變大(應為2/51)。雖然Aa×aa、aa×aa婚配方式極少,如不考慮,對數據影響也不大,但如果人群中aa頻率較高,雜合子頻率也高,按第1種算法誤差就變大了。錯解2一般人群中發病率為1/2500，設其病人基因型為aa,則a配子頻率=1/50,A配子頻率=1-1/50=49/50,由上表知人群隨機婚配時基因型Aa的頻率為:Aa=2×49/50×1/50=98/2500,所以這對夫婦生病孩的概率為:98/2500×1/4=49/5000錯解分析這一解法明顯錯誤,這是由于98/2500這一數據,是雜合子占整個人群中的比例,而現在夫婦雙方都沒病,所以一定要排除病人,求在正常人群中是雜合子的頻率,即統計總體是正常人,而不是所有人。正確解法為一般人群中發病率為1/2500,設病人基因型為aa,則a配子頻率=1/50,A配子頻率=1-1/50=49/50。由上表知人群隨機婚姻配時基因型AA和Aa的頻率分別為:AA=(49/50)2、Aa=2×49/50×1/50,則在正常人群中是Aa的概率=,即這對夫婦的乙方基因型為Aa的概率是2/51,所以這對夫婦生病孩子的概率應為:2/51×1/4=1/102。例2下圖為一患白化病的家族系譜圖。在正常人群中雜合子概率為1/70,預測一下,9、10號婚配后子代發病概率。錯解1由系譜圖可知,3號患病,故1、2號皆為雜合子。因4號不患病,所以4號為純合子AA的概率為1/3,為雜合子Aa的概率為2/3。又已知5號不患病,所以5號為純合子AA的概率為69/70,為雜合子概率為1/70(5號與4號是社會關系)。4、5號婚配方式及其后代基因型比例如下:其所生后代9號為雜合子的概率為:1/420+69/210+2/420=141/420,同理10號為雜合子概率亦是141/420,所以9、10婚配后代患病率為:1/4×141/420×141/420=19881/705600。錯解分析上述計算9號為雜合子的方法,錯誤在于141/420是Aa在整個后代中的比例,而9號表現正常已不可能為病人,只能為AA或Aa,故所求9號為雜合子的概率應該用如下求法:,同理10號雜合子概率亦為141/419,所以9、10婚配后代患病率為1/4×(141/419.)2=19881/702244。錯解2由系譜圖可知,3號患病,故1、2號皆為雜合子,因4號不患病,故4號為雜合子的概率為2/3。又已知5號不患病,且5號與4號是社會關系,由題干可知5號是雜合子的概率為1/70,故4、5號婚配所生后代9號為雜合子的概率為:2/3×(2/3×1/70)=2/315,同理10號為雜合子的概率也為2/315,所以9、10號生病孩概率為:1/4×2/315×2/315=1/99225。錯解分析首先4號與5號婚配方式有4種:①AA×Aa。②Aa×AA。③Aa×Aa。④AA×AA。以上解法中的錯誤在于不了解4、5號(7、8號同理)哪種婚配方式可以產生雜合子,認為只有Aa×Aa可能產雜合AA×Aa和Aa×AA不產生雜合子,從而丟失了2種產生雜合子的情況。那么沿著錯解2分析的思路,在求4號為雜合子的概率時,再把以上2種婚配方式產生的雜合子的概率加上又如何呢?即Aa=1/420+69/210+2/315=1785/5292。這樣計算肯定錯誤,又錯在哪里呢?在4號與5號的4種婚配方式中,只有②③④婚配方式會產生Aa,而1/420+69/210是②③組合產生的Aa占4號與5號所生全部后代的比例,而2/315是④組合中產生的正常后代(正常只能為Aa或AA,不可能為aa)為雜合子的概率,由此這3個數據不能一起相加。此外,本題還有另外一種解法,其具體思路是,先求4、5、6、7形成配子種類及比例,然后列棋盤格再求出9、10是雜合子的概率。①由系譜圖可知,3號患病,故1、2號皆為雜合子。因4號不患病,所以4號為純合子AA的概率為1/3,為雜合子Aa的概率為2/3。又已知5號不患病,所以5號是為純合子AA的概率為69/70,為雜合子概率為1/70(5號與4號是社會關系)。4號產生的配子分別為:1/3AA→1/3A2/3Aa→2/3(1/2A+1/2a)=1/3A+1/3a兩種基因型形成的配子相加得4號形成的配子種類及比例:A配子為2/3,a配子為1/3。②5號為雜合子概率為1/70,同理其形成配子如下:69/70AA→69/70A1/70Aa→1/70(1/2A+1/2a)=1/140A+1/140a兩種基因型形成的配子相加得5號形成的配子種類及比例:A配子為139/140,a配子為1/140。③