學(xué)人工智能要學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識大全！不懂?dāng)?shù)學(xué)是學(xué)不好人工智能的，本系列文章就匯總了人工智能所需的數(shù)學(xué)知識。本文是高等數(shù)學(xué)篇。函數(shù)與極限函數(shù)y=f(x),x是函數(shù)f的自變量，y是因變量函數(shù)極限第一種表示|x|是無窮大的，同樣也可能是正數(shù)或負(fù)數(shù)；第二種表示趨向于正無窮大；第三種表示趨向于負(fù)無窮大；函數(shù)極限的定義：我們可以通過圖形來理解極限，如上圖，該函數(shù)的極限為0(x?∞和x+∞,都趨向于0，因此說x∞時極限為0)該圖形對應(yīng)的代碼為:無窮小與無窮大無窮小極限為零的變量稱為無窮小。無窮大無窮大和無窮小都是有條件的，即趨于某一點或無窮大時。極限的四則運算兩個無窮小的和是無窮小有界函數(shù)和無窮小的乘積是無窮小常見函數(shù)的極限函數(shù)連續(xù)上圖左邊的函數(shù)是連續(xù)的，而右邊的函數(shù)不是連續(xù)的。舉例因此極限不存在，該函數(shù)在0處不連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的和差積商也是連續(xù)的；連續(xù)函數(shù)的符合函數(shù)是連續(xù)的；基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)。導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的理解：指的是該點的變化率，可能是變大（導(dǎo)數(shù)為正），也可能變小（導(dǎo)數(shù)為負(fù)）從幾何意義上，是該點切線的斜率怎么理解導(dǎo)數(shù)是變化率：就是如果自變量x繼續(xù)增加，因變量y的變化。如果導(dǎo)數(shù)大于0，則y變大；如果導(dǎo)數(shù)小于0，則y變小。自變量x沿著導(dǎo)數(shù)地方向變化，就是沿著因變量y增加的方向變化。可導(dǎo)和連續(xù)先來看一下連續(xù)和可導(dǎo)的幾何意義連續(xù)幾何上看就是函數(shù)的圖形不間斷；可導(dǎo)的幾何意義是曲線在該點處有斜率且斜率存在。那么可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系，我們可以通過一個圖形來理解：由于在X2和X4處是斷開的，不連續(xù)，無法做出切線，就沒有切線的斜率一說了，因此不可導(dǎo)。在X3處是連續(xù)的，但是圖形在X3處不光滑，沒有辦法做出唯一的切線，因此該點是不可導(dǎo)的。X5處斜率不存在，不可導(dǎo)。光滑函數(shù)：曲線不尖銳,必光滑。連續(xù)光滑的曲線，必然處處有切線，這點是必然的，沒有切線(或沒有唯一的切線)的地方，就不光滑。由上可知，不連續(xù)一定不可導(dǎo)；可導(dǎo)則必然連續(xù)；連續(xù)不一定可導(dǎo)。最后以一個圖片作為總結(jié)：導(dǎo)數(shù)的四則運算復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法高階導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)要學(xué)習(xí)偏導(dǎo)數(shù)，先要了解二元函數(shù)的概念二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念對y的偏導(dǎo)數(shù)同理。要注意的是，函數(shù)在一點處偏導(dǎo)存在，則函數(shù)在這點不一定連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義注意，求偏導(dǎo)的時候，把其他因變量看成常量微分微分的意義是因變量增量的近似值(函數(shù)變化的程度)導(dǎo)數(shù)從微分的角度看可以表示成因變量的微分比上自變量的微分，所以導(dǎo)數(shù)還有個別名叫微商。由此也可以看出可微和可導(dǎo)是等價的，因此求微分時可以先求導(dǎo)數(shù)，再改寫為微分。中值定理羅爾定理如果函數(shù)y=f(x)滿足條件在[a,b]上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；f(a)=f(b)；幾何意義：如果連續(xù)曲線除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，且兩個端點處的縱坐標(biāo)相等，那么其上至少有一點處的切線平行于x軸。其應(yīng)用是判斷方程根的存在性。拉格朗日中值定理該定理反反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點的局部變化率的關(guān)系。從這個函數(shù)圖形來看，是不是很像羅爾定理的圖形旋轉(zhuǎn)了一下。并且可以看出，c點處的切線雖然不再平行于x軸，但是平行于AB兩點的連線。即它們的斜率是相等的，有：得到拉格朗日中值定理：如果函數(shù)y=f(x)滿足條件在[a,b]上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；幾何意義：如果連續(xù)曲線除端點外處處具有不垂直于ox軸的切線，那么其上至少有這樣一點存在，在該點處曲線的切線平行于連接兩端點的直線，即兩者斜率相同。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣。在拉格朗日中值定理中，若函數(shù)由參數(shù)方程:表示，如圖所示則連接兩個端點A，B的直線斜率為則由曲線在點P的切線T與直線L平行可知：得到柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)和F(x)滿足在[a,b]上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F′(x)≠0;洛必達(dá)法則設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足：泰勒展開式如果兩個連續(xù)的曲線想要相同，那么它們在某一點的一階導(dǎo)數(shù)要相同，二階導(dǎo)數(shù)也要相同，…，n階導(dǎo)數(shù)也要相同，這是泰勒展開的核心思想。(曲線的變化率的變化率的變化率…都相同)如何理解x變成了x?a了呢？從0點改到a點，相當(dāng)于函數(shù)圖像向右平移a個單位，即變成了x?a(左右平移是X加或減)得到泰勒展開式為：如果想要等式左右兩邊相等，光到nnn項是不夠的，后面還有n+2,...無窮多項，n后的無窮多項通過Rn(x)來表示。不定積分原函數(shù)：在區(qū)間I上函數(shù)F(x)可導(dǎo)，F(xiàn)′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么F(x)就是f(x)在這個區(qū)間上的一個原函數(shù)。連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)在區(qū)間I上函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)的不定積分，記為∫f(x)dx=F(x)+C不定積分是全體原函數(shù)(常數(shù)C的導(dǎo)數(shù)為0)∫積分號,f(x)被積函數(shù)，f(x)dx被積表達(dá)式，x積分變量微分運算與不定積分運算互為逆運算。不定積分的性質(zhì)：∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(k，且不為零)定積分如果f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并且有F′(x)=f(x)，那么也就是說，一個定積分式的值，就是原函數(shù)在上限的值與原函數(shù)在下限的值的差。函數(shù)單調(diào)性與極值函數(shù)單調(diào)性函數(shù)極值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點。要注意是：極值是局部性概念可以有多個極大值或極小值端點不是極值點(極值只在區(qū)間內(nèi)部取得)極值點處若f′(x)=0，這樣的點稱為駐點，若導(dǎo)數(shù)不存在，則稱為尖點。我們可以注意到，極值點兩側(cè)單調(diào)性不同，也就是導(dǎo)數(shù)符號不同，根據(jù)這點，我們可以得到極值判定第一充分條件極值判定(極值判定第一充分條件)：我們看上圖，大概xxx取-3點處的函數(shù)值是極大值，該點出的切線斜率(導(dǎo)數(shù))為0，左則切線斜率大于0，右側(cè)切線斜率小于0。也就是說，一階導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞減，因此二階導(dǎo)數(shù)小于0。得出極值判定第二充分條件：極值判定(極值判定第二充分條件)：曲線的凹凸與拐點凹凸設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)：若曲線f(x)上任一點切線位于曲線的下方，則稱曲線在(a,b)內(nèi)是凹的，區(qū)間(a,b)稱為凹區(qū)間；若曲線f(x)上任一點切線位于曲線的上方，則稱曲線在(a,b)內(nèi)是凸的，區(qū)間(a,b)稱為凸區(qū)間；但是這是在給定了函數(shù)圖像的情況下，若沒有函數(shù)圖像，我們該如何通過函數(shù)表達(dá)式來判斷呢？可以看到，導(dǎo)函數(shù)f′(x)是單調(diào)遞增的，也就是