廣義徑向滲流壓降探測半徑的確定

求壓力擾動傳播速度導數(shù)的實驗結(jié)果勘探半徑是試井分析的重要參數(shù)，具有定量和定性雙重功能。關于探測半徑計算方法的研究已經(jīng)取得了一些比較好的成果,Johnson(1987)曾經(jīng)有過比較系統(tǒng)的總結(jié)。事實上,探測半徑計算方法的建立是基于不穩(wěn)定滲流研究結(jié)果的,典型的做法有:①利用中期平面徑向流與恒壓外邊界晚期穩(wěn)態(tài)滲流井壁壓力公式聯(lián)立得到計算公式,研究者Ikoku和Ramey(1978)、WangXinhai和MaShuoxiang(1997)等人;②利用平面徑向流與封閉系統(tǒng)擬穩(wěn)態(tài)滲流井壁壓力導數(shù)公式聯(lián)立得到計算公式,如vanPoollen(1964)等;③利用瞬時點匯所引起的壓力分布解析解式,通過求壓力擾動傳播速度的導數(shù)得到結(jié)果,如Lee(1982)。本文沿用第②、③種方法的思想對探測半徑的計算方法做進一步研究,給出了一些新的結(jié)果。另外,考慮到在壓力恢復條件下探測半徑問題比較特殊,本文引用Peaseman(1976)等人的研究結(jié)果,對壓力恢復探測半徑計算方法作了闡述。半徑計算方法的測量1.si弱化滲流控制方程按照Lee(1982)的定義,廣義徑向滲流的探測半徑可以定義為瞬時點匯所引起的壓力擾動能夠傳播的最遠距離。通過求解瞬時點匯不定常滲流問題可以得到探測半徑的計算公式。考慮在微可壓縮地層中,有一強度恒為q0的瞬時點匯,地層中發(fā)生廣義徑向Darcy滲流,在SI單位制下其不定常滲流控制方程組為1rv-1??r(rv-1?Δp?r)=13.6ηv?Δp?t0＜v≤3(1)Δp(0,r)=0(2)1rv?1??r(rv?1?Δp?r)=13.6ηv?Δp?t0＜v≤3(1)Δp(0,r)=0(2)其中ηv=Κv?μCtΔp=pi-pηv=Kv?μCtΔp=pi?p式中:p—地層壓力,MPa;Kv——滲透率,μm2;?——孔隙度,f;Ct——系統(tǒng)壓縮系數(shù),MPa-1。limε→0+(rv-1?Δp?r)r=ε=-q0Bμ86.4αvΚvδ(t)(3)Δp(t,∞)=0(4)其中αv=√πvΓ(v/2)式中:q0——單位分維厚度h3-v上的流量,m3/d。(1)探測半徑的確定Δp(r,t)=q0BμΚv√(4πt)vηv-2vexp(-r24ηvt)(5)若求壓力擾動傳播速度,并令其為0,則得到探測半徑為rinv=√2×3.6vηvt(6)式中:rinv——探測半徑,m。討論(6)式中v的不同取值,有如下結(jié)果:(1)如果v=1,可簡化一維線性滲流情形,這時記rinv為xinv,ηv為ηx,探測距離為xinv=√2×3.6ηxt(7)(2)當v.2時，可以簡化平面直徑的滲透，并記錄v是r，測量距離為rinv=√4×3.6ηrt(8)(3)擴散系數(shù)相同情況下不同滲流的探測距離rinv=√6×3.6ηrt(9)由上述討論可知,在擴散系數(shù)相同的情況下,單向滲流與徑向滲流的探測距離相差√2倍,而徑向滲流與球形滲流的探測距離相差√1.5倍。2.擬穩(wěn)態(tài)階段的計算在穩(wěn)態(tài)流量假設條件下,通過Laplace變換方法Ikoku和Ramey(1978)曾經(jīng)給出非牛頓冪率流體的不定常滲流的壓力分布研究結(jié)果,在無量綱時間較大時,井壁壓力可用如下漸近式表示,即pwDΝΝ(tDΝΝ)=(3-n)2(1-n)3-nt1-n3-nDΝΝ(1-n)Γ(23-n)-(11-n)n≠1(10)在SI單位制中,無量綱量定義為pDΝΝ=Κh(pi-p)1.842×10-3qBμeff?tDΝΝ=3.6Κet?μeffCtr2wrD=rrw?ueff=Ff(qB2πhrw)n-1Ff=Κ12(9+3/n)n(150Κ?)(1-n)/2式中:n——冪率指數(shù);μeff——非牛頓冪率流體特征粘度。若利用平面徑向流近似公式與封閉系統(tǒng)擬穩(wěn)態(tài)滲流公式聯(lián)立得到探測半徑計算公式,必須已知非牛頓流體在封閉地層中的晚期井壁壓力漸近公式,而諸多文獻目前還沒有給出這一結(jié)果。以下給出具體推導。根據(jù)物質(zhì)平衡原理,在Darcy滲流條件下,當壓力擾動完全波及封閉地層的邊界時,地層壓力分布呈現(xiàn)出擬穩(wěn)態(tài)特征,其特點是壓力降落速度處處相等(等于平均壓降速度),這一結(jié)果對于非牛頓冪率流體Ikoku-Ramey類的滲流模型也不例外。即在擬穩(wěn)態(tài)時期,有如下關系式成立,即pavgDΝΝ=2πtDΝΝr2wA(11)式中:rw——井筒半徑,m;A——泄流面積,m2;pavgDNN——地層平均壓力,MPa。在擬穩(wěn)態(tài)階段,非牛頓冪率流體滲流的Ikoku-Ramey型無量綱控制方程組可以簡化為1rnDddrD(rnDdpDΝΝdrD)=2r1-nDr2eD-1(12)內(nèi)、外邊界條件為(rnDdpDΝΝdrD)rD=1=-1(13)(dpDΝΝdrD)rD=riD=0(14)直接積分結(jié)果為pD(rD,tD)-pwD(tD)=1r2eD-1(r3-nD-13-n-r2eDr1-nD-11-n)(15)平均地層壓力為pavgDΝΝ(tD)=2r2eD-1∫reD1rDpD(rD,tD)drD≈pwD(tD)+2r1-neD(3-n)(5-n)-4r1-neD-2(3-n)2(1-n)(3-n)(16)當n→1時,注意到極限關系式,則limn→14r1-neD-2(3-n)2(1-n)(3-n)=limn→14r1-neDlnreD?(-1)+22(2n-4)=lnreD-12(16)式退化為牛頓流體晚期擬穩(wěn)態(tài)情形,即pavgDΝΝ(tD)=pwD(tD)-lnreD+34(17)若將(10)式、(11)式和(16)式聯(lián)立,在壓力導數(shù)圖上尋找中期線性流和晚期擬穩(wěn)態(tài)的交界點,則有(記此時的reD為rinvD)??tDΝΝ{(3-n)2(1-n)3-nt1-n3-nDΝΝ(1-n)Г(23-n)-11-n)}=??tDΝΝ[2tDΝΝr2eD+4r1-neD-2(3-n)2(1-n)(3-n)-2r1-neD(3-n)(5-n)]整理上式得到r2invD=2t23-nDΝΝ(3-n)1+n3-nГ(23-n)(18)當n→1時,上式簡化為(8)式。注意(18)式與文獻結(jié)果明顯不同,其差異可用下面相關結(jié)果說明。對于牛頓流體,若將平面徑向流與擬穩(wěn)態(tài)井壁壓力導數(shù)公式聯(lián)立,結(jié)果為??t[12ln[4×3.6ηrt1.781r2w)]=??t[2×3.6ηrtr2e+ln(re/rw)-34](19)整理上式將得到(8)式。而若將平面徑向流與穩(wěn)態(tài)井壁壓力公式聯(lián)立,并整理得到下式rinv=√4×3.6ηrt1.781r2w(20)對比表明,(20)式與(8)式相差一個常數(shù)。關井壓力恢復的探測半徑Peaseman(1976)曾給出一種近似求解方法。開井生產(chǎn)tp時間后,地層發(fā)生平面徑向流動,符合下式,即Δpw(r,t)=1.842×10-3qμBΚh12ln(4×3.6ηrt1.781r2)(21)關井Δt時間后,井壁壓力滿足Horner公式,即Δpw(Δt)=1.842×10-3qμBΚh12ln(tp+Δt)Δt(22)考慮到問題復雜性,用關井后的井壁壓力近似關井后的地層壓力分布,即p(rw,Δt>0)=p(r>rw,Δt=0)(23)求解后得到rinv=2.8435√ΚtpΔt?μCt(tp+Δt)(24)顯然,這一結(jié)果是近似的,關井壓力恢復的探測半徑與恢復時間有關。關井恢復時間越長