2023/10/231

第二講概率分布與統計圖表

2023/10/232

一、正態分布的概念

第一節正態分布

正態分布是自然界最常見的一種分布，若指標X的頻率分布曲線對應于數學上的正態分布曲線，則稱該指標服從正態分布。2023/10/2332023/10/234正態分布的概率密度函數（即縱向的曲線高度）

-∞＜X＜+∞

圖3.2正態曲線位置、形狀與μ、σ的關系2023/10/235

均數為0，標準差為1的正態分布，這種正態分布稱為標準正態分布。-∞＜Z＜+∞

標準正態分布的密度函數：

對于任意一個服從正態分布N(μ,σ2)的隨機變量，可作如下的標準化變換，也稱Z變換，2023/10/236正態分布的特征

1.關于對稱。即正態分布以均數為中心，左右對稱。

2.

在處取得概率密度函數的最大值，在處有拐點，表現為鐘形曲線。即正態曲線在橫軸上方均數處最高。

2023/10/237

3.

正態分布有兩個參數，即均數μ和標準差σ。μ是位置參數，σ是變異度參數(形狀參數)。常用N(μ,σ2)表示均數為μ，標準差為σ的正態分布；用N(0,1)表示標準正態分布。

4.正態曲線下面積分布有一定規律。橫軸上正態曲線下的面積等于1（也常寫作100%）。

2023/10/238

二、正態曲線下面積的分布規律正態方程的積分式(分布函數)：

F(X)為正態變量X的累計分布函數，反映正態曲線下，橫軸尺度自－∞到X的面積，即下側累計面積。標準正態分布方程積分式(分布函數)：Φ(Z)為標準正態變量Z的累計分布函數，反映標準正態曲線下，橫軸尺度自－∞到Z的面積，即下側累計面積。2023/10/239標準正態分布累積概率2023/10/2310

用查表代替計算必須注意：

1）表中曲線下面積為－∞到Z的面積。

2）當μ,σ和X已知時，先求出Z值，

再用Z值查表，得所求區間占總面積的比例。當μ和σ未知時，要用樣本均數和樣本標準差S來估計Z值。

3）曲線下對稱于0的區間，面積相等。

4）曲線下橫軸上的面積為1（即100%）。

三、標準正態分布表2023/10/2311

正態分布是一種對稱分布，其對稱軸為直線X=μ，即均數位置，理論上：

μ±1σ范圍內曲線下的面積占總面積的68.27%

μ±1.96σ范圍內曲線下的面積占總面積的95%

μ±2.58σ范圍內曲線下的面積占總面積的99%

實際應用中：

±1S范圍內曲線下的面積占總面積的68.27%

±1.96S范圍內曲線下的面積占總面積的95%

±2.58S范圍內曲線下的面積占總面積的99%

2023/10/2312正態分布曲線下的面積

μ±σ0.6827μ±1.64σ0.9090μ±1.96σ0.9500μ±2.58σ

0.99002023/10/2313標準正態分布的μ=0，σ=1，則μ±σ相當于區間(-1，1)，μ±1.96σ相當于區間(-1.96，1.96),μ±2.58σ的區間相當于區間(-2.58，2.58)。區間(-1,1)的面積：1-2Φ(-1)=1-2×0.1587=0.6826=68.26%

區間(-1.96,1.96)的面積：1-2Φ(-1.96)=1-2×0.0250=0.9500=95.00%

區間(-2.58,2.58)的面積：1-2Φ(-2.58)=1-2×0.0049=0.9902=99.02%

2023/10/2314

正態曲線下面積對稱，則區間（1.96，∞）的面積也是0.025。Z取值于（-1.96，1.96）的概率為1-2×0.025=0.95，即X取值在區間上的概率為95%。

例1X服從均數為μ

，標準差為的正態分布，試估計（1）X取值在區間上的概率；（2）X取值在區間上的概率；先做標準化變換:2023/10/2315例2已知某地1986年120名8歲男童身高均數，S=4.79cm，估計(1)該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數的百分比；(2)身高界于120cm~128cm者占該地8歲男孩總數的比例；(3)該地80%男孩身高集中在哪個范圍？先做標準化變化:

理論上該地8歲男孩身高在130cm以上者占該地8歲男孩總數的7.21%。2023/10/2316（2）2023/10/2317（3）查附表1，標準正態分布曲線下左側面積為0.10所對應的Z值為-1.28，所以80%的8歲男孩身高值集中在區間內，即116.9cm~129.2cm查附表，求標準正態分布曲線下的面積。（-∞，-1.96），（-∞，-2.58），（-1.96，1.96），（-1，1），（-∞，0.00）。練習：2023/10/2319（一）制定醫學參考值范圍參考值范圍：指特定的“正常”人群的解剖、生理、生化、免疫等各種數據的波動范圍。制定參考值范圍的步驟：

1.選擇足夠數量的正常人作為調查對象。

2.樣本含量足夠大。

3.確定取單側還是取雙側正常值范圍。

4.選擇適當的百分界限。

5.選擇適當的計算方法。四、

正態分布的應用2023/10/2320估計醫學參考值范圍的方法：

1.正態近似法：適用于正態分布或近似正態分布的資料。

2.百分位數法：適用于偏態分布資料。過低異常過低異常過高異常過高異常2023/10/2321

例3某地調查120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示，其分布近似于正態分布，得均數為117.4g/L，標準差為10.2g/L，試估計該地正常女性血紅蛋白的95%醫學參考值范圍。

分析：正常人的血紅蛋白過高過低均為異常，要制定雙側正常值范圍。

該指標的95%醫學參考值范圍為2023/10/2322

例4某地調查110名正常成年男子的第一秒肺通氣量，得均數為4.2L，標準差為0.7L，試估計該地正常成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍。

該地正常成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍為：不低于3.052L。分析：正常人的第一秒肺通氣量近似正態分布，且只以過低為異常，要制定單側下限。2023/10/2323

例5某年某市調查了200例正常成人血鉛含量（μg/100g)如下，試估計該市成人血鉛含量的95%醫學參考值范圍。2023/10/2324

分析：血鉛的分布為偏峰分布，且血鉛含量只以過高為異常，要用百分位數法制定單側上限。2023/10/2325（二）質量控制

為了控制實驗中的檢測誤差，常用±2S作上下警戒線，以±3S作為上下控制線。這里的2S和3S可視為1.96S和2.58S的約數。其依據是正常情況下檢測誤差是服從正態分布的。

2023/10/2326判斷異常的8種情況是：有一個點距中心線的距離超過3個標準差（控制限以外）在中心線的一側連續有9個點連續6個點穩定地增加或減少連續14個點交替上下連續3個點中有兩個點距中心線距離超過2個標準差（警戒限以外）2023/10/2327連續5個點中有4個點距中心線距離超過1個標準差中心線一側或兩側連續15個點距中心線距離都在1個標準差以內中心線一側或兩側連續8個點距中心線距離都超出1個標準差范圍。2023/10/2328

五、統計處理方法的理論基礎如統計描述中計算算術平均數、標準差、統計推斷中進行總體均數置信區間估計、

t檢驗、F檢驗、相關與回歸等分析2023/10/2329（一）成敗型實驗（Bernoulli實驗）

在醫學衛生領域的許多實驗或觀察中，人們感興趣的是某事件是否發生。如用白鼠做某藥物的毒性實驗，關心的是白鼠是否死亡；某種新療法臨床實驗觀察患者是否治愈；觀察某指標的化驗結果是否呈陽性等。將我們關心的事件A出現稱為成功，不出現稱為失敗，這類試驗就稱為成-敗型實驗。第二節二項分布

一、二項分布的概念與特征2023/10/2330

成-敗型（Bernoulli）實驗序列：滿足以下三個條件的n次實驗構成的序列稱為成-敗型實驗序列。

1）每次實驗結果，只能是兩個互斥的結果之一（A或非A）。

2)相同的實驗條件下，每次實驗中事件A的發生具有相同的概率π。（非A的概率為1-π）。實際工作中要求π是從大量觀察中獲得的較穩定的數值。

3)各次實驗獨立。各次的實驗結果互不影響。2023/10/2331（二）二項分布的概率函數二項分布是指在只能產生兩種可能結果（如“陽性”或“陰性”）之一的n次獨立重復實驗中，當每次試驗的“陽性”概率保持不變時，出現“陽性”的次數X=0,1,2,…,n的一種概率分布。若從陽性率為π的總體中隨機抽取大小為n的樣本，則出現“陽性”數為X的概率分布即呈現二項分布，記作B(n,π)。2023/10/2332舉例設實驗白鼠共3只，要求它們同種屬、同性別、體重相近，且他們有相同的死亡概率，即事件“白鼠用藥后死亡”為A，相應死亡概率為π。記事件“白鼠用藥后不死亡”為，相應不死亡概率為1-π。設實驗后3只白鼠中死亡的白鼠數為X，則X的可能取值為0，1，2和3，則死亡鼠數為X的概率分布即表現為二項分布。2023/10/2333獨立事件的乘法定理互不相容事件的加法定理2023/10/23342023/10/2335

構成成-敗型實驗序列的n次實驗中，事件A出現的次數X的概率分布為：

其中X=0，1，2…，n。

n，π是二項分布的兩個參數。

對于任何二項分布，總有

2023/10/2336例6臨床上用針灸治療某型頭疼，有效的概率為60%，現以該療法治療3例，其中2例有效的概率是多大？分析：治療結果為有限和無效兩類，每個患者是否有效不受其他病例的影響，有效概率均為0.6，符合二項分布的條件。2例有效的概率是0.4322023/10/2337有效數不少于1例的概率為：或2023/10/2338（三）二項分布的特征1.二項分布的圖形特征

n，π是二項分布的兩個參數，所以二項分布的形狀取決于n，π。可以看出，當π=0.5時分布對稱，近似對稱分布。當π≠0.5時，分布呈偏態，特別是n較小時，π偏離0.5越遠，分布的對稱性越差，但只要不接近1和0時，隨著n的增大，分布逐漸逼近正態。因此，π或1-π不太小，而n足夠大，我們常用正態近似的原理來處理二項分布的問題。2023/10/23392023/10/23402023/10/2341

2.二項分布的均數和標準差對于任何一個二項分布B(n,π)，如果每次試驗出現“陽性”結果的概率均為π

，則在n次獨立重復實驗中，出現陽性次數X的總體均數為方差為標準差為2023/10/2342例7實驗白鼠3只，白鼠用藥后死亡的死亡概率π=0.6，則3只白鼠中死亡鼠數X的總體均數

=3×0.6=1.8（只）方差為標準差為2023/10/2343

如果以率表示，將陽性結果的頻率記為，則p的總體均數總體方差為總體標準差為式中是頻率p的標準誤，反映陽性頻率的抽樣誤差的大小。2023/10/2344例8如果某地鉤蟲感染率為6.7%,隨機觀察當地150人,樣本鉤蟲感染率為p,求p的抽樣誤差。2023/10/2345

二、二項分布的應用（一）

概率估計例9如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當地150人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大?2023/10/2346

(二)單側累計概率計算

二項分布出現陽性次數至少為k次的概率為陽性次數至多為k次的概率為2023/10/2347例10如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當地150人，其中至多有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有20人感染鉤蟲的概率有多大?至多有2名感染的概率為:2023/10/2348至少有2名感染的概率為:至少有20名感染的概率為:2023/10/2349

第三節Poisson分布的概念與特征

一、Poisson分布的概念

Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述罕見事件發生次數的概率分布。Poisson分布也可用于研究單位時間內(或單位空間、容積內)某罕見事件發生次數的分布，如分析在單位面積或容積內細菌數的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動物數的分布，粉塵在觀察容積內的分布，放射性物質在單位時間內放射出質點數的分布等。Poisson分布一般記作。2023/10/2350

Poisson分布可以看作是發生的概率π

很小，而觀察例數很大時的二項分布。除要符合二項分布的三個基本條件外，Poisson分布還要求π或1-π接近于0和1。有些情況π和n都難以確定，只能以觀察單位(時間、空間、容積、面積)內某種稀有事件的發生數X等來表示，如每毫升水中大腸桿菌數，每個觀察單位中粉塵的計數，單位時間內放射性質點數等，只要細菌、粉塵、放射性脈沖在觀察時間內滿足以上條件，就可以近似看為Poisson分布。Poisson分布作為二項分布的一種極限情況2023/10/2351

二、Poisson分布的特征1.Poisson分布的概率函數為:式中為Poisson分布的總體均數，X為觀察單位時間內某稀有事件的發生次數；e為自然對數的底，為常數，約等于2.71828。2023/10/2352

如某地20年間共出生短肢畸形兒10名，平均每年0.5名。就可用代入Poisson分布的概率函數來估計該地每年出生此類短肢畸形兒的人數為0，1，2…的概率P(X)。2023/10/23532023/10/23542.Poisson分布的特性：（1）Poisson分布的的總體均數與總體方差相等，均為。（2）Poisson分布的觀察結果有可加性。即對于服從Poisson分布的m個互相獨立的隨機變量X1,X2…Xm，它們之和也服從Poisson分布，其均數為這m個隨機變量的均數之和。2023/10/2355

從總體均數為的服從Poisson分布總體中隨機抽出一份樣本，其中稀有事件的發生次數為X1，再獨立地從總體均數為的Poisson分布總體中隨機抽出另一份樣本，其中稀有事件的發生次數為X2，則他們的合計發生數T=X1+X2也服從Poisson分布，總體均數為。2023/10/2356Poisson分布的這些性質還可以推廣到多個Poisson分布的情形。例如，從同一水源獨立地取水樣5次，進行細菌培養，每次水樣中的菌落數分別為，均服從Poisson分布，分別記為，把5份水樣混合，其合計菌落數也服從Poisson分布，記為，其均數為。

醫學研究中常利用Poisson分布的可加性，將小的觀察單位合并以增大發生次數X，以便用正態近似法進行統計推斷。2