專題13平面直角坐標系一、坐標確定位置及點的坐標規律【核心考點精講】1．各個象限內，點P（a，b）的坐標特征（1）第一象限：a＞0，b＞0；（2）第二象限：a＜0，b＞0；（3）第三象限：a＜0，b＜0；（4）第四象限：a＞0，b＜0。2．坐標軸上，點P（a，b）的坐標特征（1）x軸上：a為任意實數，b＝0；（2）y軸上：b為任意實數，a＝0；（3）坐標原點：a＝0，b＝0。3．兩坐標軸夾角平分線上，點P（a，b）的坐標特征（1）一、三象限：a＝b；（2）二、四象限：a＝﹣b。【熱點題型精練】1．（2022?河池中考）如果點P（m，1+2m）在第三象限內，那么m的取值范圍是（）A．?12＜m＜0 B．m＞?12 C．m解：根據題意得m＜0①1+2m＜0解①得m＜0，解②得m＜?1則不等式組的解集是m＜?1答案：D．2．（2022?攀枝花中考）若點A（﹣a，b）在第一象限，則點B（a，b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵點A（﹣a，b）在第一象限內，∴﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，∴點B（a，b）所在的象限是：第二象限．答案：B．3．（2022?青海中考）如圖所示，A（22，0），AB＝32，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交x軸負半軸于點C，則點C的坐標為（）A．（32，0） B．（2，0） C．（?2，0） D．（﹣32解：∵A（22，0），AB＝32，∴OA＝22，AC＝AB＝32，∴OC＝AC﹣OA＝32?22∵點C在x軸的負半軸上，∴點C的坐標為（?2答案：C．4．（2022?柳州中考）如圖，這是一個利用平面直角坐標系畫出的某學校的示意圖，如果這個坐標系分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向，并且綜合樓和食堂的坐標分別是（4，1）和（5，4），則教學樓的坐標是（）A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）解：建立如圖所示的平面直角坐標系：∴教學樓的坐標是（2，2），答案：D．5．（2022?六盤水中考）兩個小伙伴拿著如圖的密碼表玩聽聲音猜動物的游戲，若聽到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的動物是“狗”，則聽到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”時，表示的動物是（）A．狐貍 B．貓 C．蜜蜂 D．牛解：由題意知，咚咚﹣咚咚對應（2，2），咚﹣咚對應（1，1），咚咚咚﹣咚對應（3，1）．∴咚咚﹣咚對應（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚對應（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚對應（1，3），表示T．∴此時，表示的動物是貓．答案：B．6．（2022?河南中考）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（）A．（3，﹣1） B．（﹣1，?3） C．（?3，﹣1） D．（1，解：∵邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，∵AB∥x軸，∴∠APO＝90°，∴∠AOP＝30°，∴AP＝1，OP=3∴A（1，3），∵將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，可知點A2與D重合，由360°÷90°＝4可知，每4次為一個循環，∴2022÷4＝505……2，∴點A2022與點A2重合，∵點A2與點A關于原點O對稱，∴A2（﹣1，?3∴第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（﹣1，?3答案：B．7．（2022?廣安中考）若點P（m+1，m）在第四象限，則點Q（﹣3，m+2）在第二象限．解：∵點P（m+1，m）在第四象限，∴m+1＞0m＜0∴﹣1＜m＜0，∴1＜m+2＜2，∴點Q（﹣3，m+2）在第二象限，答案：二．8．（2022?鄂州中考）中國象棋文化歷史久遠．某校開展了以“縱橫之間有智慧攻防轉換有樂趣”為主題的中國象棋文化節．如圖所示是某次對弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標系，使“帥”位于點（﹣1，﹣2），“馬”位于點（2，﹣2），那么“兵”在同一坐標系下的坐標是（﹣3，1）．解：根據平面內點的平移規律可得，把“帥”向左平移兩個單位，向上平移3個單位得到“兵”的位置，∴（﹣1﹣2，﹣2+3），即（﹣3，1）．答案：（﹣3，1）．9．（2022?濟南中考）規定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉90°，由數字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續變換．例如：如圖，點O（0，0）按序列“011…”作變換，表示點O先向右平移一個單位得到O1（1，0），再將O1（1，0）繞原點順時針旋轉90°得到O2（0，﹣1），再將O2（0，﹣1）繞原點順時針旋轉90°得到O3（﹣1，0）…依次類推．點（0，1）經過“011011011”變換后得到點的坐標為（﹣1，﹣1）．解：點（0，1）經過011變換得到點（﹣1，﹣1），點（﹣1，﹣1）經過011變換得到點（0，1），點（0，1）經過011變換得到點（﹣1，﹣1），答案：（﹣1，﹣1）．10．（2022?荊門中考）如圖，過原點的兩條直線分別為l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，過點A（1，0）作x軸的垂線與l1交于點A1，過點A1作y軸的垂線與l2交于點A2，過點A2作x軸的垂線與l1交于點A3，過點A3作y軸的垂線與l2交于點A4，過點A4作x軸的垂線與l1交于點A5，……，依次進行下去，則點A20的坐標為（1024，﹣1024）．解：當x＝1時，y＝2，∴點A1的坐標為（1，2）；當y＝﹣x＝2時，x＝﹣2，∴點A2的坐標為（﹣2，2）；同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n為自然數）．∵20＝5×4，∴錯誤，應改為：∴點A20的坐標為（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210），即（1024，﹣1024）．答案：（1024，﹣1024）．11．（2022?淄博中考）如圖，正方形ABCD的中心與坐標原點O重合，將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……依此類推，則點D2022的坐標是（﹣2023，2022）．解：∵將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，∴D1（1，2），∵再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，觀察發現：每四個點一個循環，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；答案：（﹣2023，2022）．12．（2022?齊齊哈爾中考）如圖，直線l：y=33x+3與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，過點B作BC1⊥l交x軸于點C1，過點C1作B1C1⊥x軸交l于點B1，過點B1作B1C2⊥l交x軸于點C2，過點C2作B2C2⊥x軸交l于點B2，…，按照如此規律操作下去，則點B2022的縱坐標是（43）解：∵y=33x+3與x軸相交于點A，與y∴當x＝0時，y=3，當y＝0時，x＝﹣∴A（﹣3，0），B（0，3），∴OA＝3，OB=3∴tan∠BAO=3∴∠BAO＝30°，∵BC1⊥l，∴∠C1BO＝∠BAO＝30°，∴BC1=BO∵B1C1⊥x軸，∴∠B1C1B＝30°，∴B1C1=B同理可得，B2C2=43B1C1＝（4依此規律，可得Bn?n＝（43）n3當n＝2022時，B2022C2022＝（43）20223答案：（43）20223二、坐標與圖形性質【核心考點精講】1．“點到坐標軸的距離”與“點的坐標”的區別（1）到x軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關。（2）“距離”是非負數，但是“坐標”可以是負數，由距離求坐標時，需要加上恰當的符號。2．由圖形中已知點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，求出相關線段的長度，是解決此類問題的基本方法和規律。3．如果坐標系內的四邊形是不規則四邊形，可以借助平行于坐標軸的輔助線，將圖形割補成邊與坐標軸平行（或垂直）且頂點坐標已經的規則圖形，通過規則圖形面積的和差來計算不規則圖形的面積。【熱點題型精練】13．（2022?銅仁中考）如圖，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），則D的坐標為（）A．（﹣2，﹣1） B．（4，﹣1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，﹣1）解：∵A（﹣3，2），B（3，2），∴AB＝6，AB∥x軸，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x軸，同理可得AD∥BC∥y軸，∵點C（3，﹣1），∴點D的坐標為（﹣3，﹣1），答案：D．14．（2022?無錫模擬）已知點A（m+1，﹣2）和點B（3，m﹣1），若直線AB∥x軸，則m的值為（）A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．3解：∵點A（m+1，﹣2），B（3，m﹣1），直線AB∥x軸，∴m﹣1＝﹣2，解得m＝﹣1．答案：C．15．（2022?天津模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC頂點A，B的坐標分別是（0，4），（0，﹣2），BC＝AC＝5，則頂點C的坐標為（）A．（4，1） B．（1，4） C．（4，2） D．（3，1）解：作CD⊥AB于D，∵點A，B的坐標分別是（0，4），（0．﹣2），∴AB＝6，∵BC＝AC＝5，CD⊥AB，∴AD＝DB=12∴OD＝1，由勾股定理得，CD=A∴頂點C的坐標為（4，1），答案：A．16．（2022?南京模擬）如圖，在網格中建立平面直角坐標系，已知A（0，0），B（﹣3，1），C（3，4），若點D使得∠BCD＝∠DAB，則點D的坐標可能是（）A．（6，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，5） D．（﹣1，3）解：當四邊形ABCD為平行四邊形，有∠BCD＝∠DAB，∴AB∥DC，根據平移原理．所以D（6，3），答案：A．17．（2022?四平模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P與x軸相切于點Q，與y軸交于M（0，2），N（0，8）兩點，則點P的坐標是（）A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）解：過點P作PD⊥MN于D，連接PQ．∵⊙P與x軸相切于點Q，與y軸交于M（0，2），N（0，8）兩點，∴OM＝2，NO＝8，∴NM＝6，∵PD⊥NM，∴DM＝3∴OD＝5，∴OQ2＝OM?ON＝2×8＝16，OQ＝4．∴PD＝4，PQ＝OD＝3+2＝5．即點P的坐標是（4，5）．答案：D．18．（2022?吉林中考）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），點B在y軸正半軸上，以點B為圓心，BA長為半徑作弧，交x軸正半軸于點C，則點C的坐標為（2，0）．解：由圖象可得OB與直徑重合，∵BO⊥AC，∴OA＝OC，∵A（﹣2，0），∴C（2，0），答案：（2，0）．19．（2022?德州模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的邊AO，AB的中點C，D的橫坐標分別是1，4，則點B的橫坐標是6．解：∵邊AO，AB的中點為點C、D，∴CD是△OAB的中位線，CD∥OB，∵點C，D的橫坐標分別是1，4，∴CD＝3，∴OB＝2CD＝6，∴點B的橫坐標為6．答案：6．20．（2022?深圳模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（﹣4，0）、（0，4），點C（3，n）在第一象限內，連接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，則n＝145解：作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，∵點A、B的坐標分別為（﹣4，0）、（0，4），點C（3，n）在第一象限內，則E（0，n），D（3，0），∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，∵CE∥OA，∴∠ECA＝∠CAO，∵∠BCA＝2∠CAO，∴∠BCE＝∠CAO，在Rt△CAD中，tan∠CAO=CDAD，在Rt△CBE中，tan∠BCE∴CDAD=BE解得n=14答案：14521．（2022?柳州模擬）如圖，在平面直角坐標系中，長為2的線段CD（點D在點C右側）在x軸上移動，A（0，2），B（0，4），連接AC，BD，則AC+BD的最小值為210．解：如圖，將線段DB向左平移到CE的位置，作點A關于原點的對稱點A′，連接CA′，EA′．則E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≥EA′，EA′=22+∴AC+BD的最小值為210．答案：210．22．（2022?婁底模擬）我們知道，兩點之間線段最短，因此，連接兩點間線段的長度叫做兩點間的距離；同理，連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，因此，直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．類似地，連接曲線外一點與曲線上各點的所有線段中，最短線段的長度，叫做點到曲線的距離．依此定義，如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，1）到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為5?1解：連接AO交⊙O于B，則線段AB的長度即為點A（2，1）到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離，∵點A（2，1），∴OA=2∵OB＝1，∴AB=5即點A（2，1）到以原點為圓心，以1為半徑的圓的距離為5?答案：5?23．（2022?麗水中考）三個能夠