離散Markovian跳變系統的穩定性研究及控制器設計【摘要】本文以離散Markovian跳躍系統為研究對象，利用Lyapunov穩定性定理，分析該系統的穩定性，并借助線性矩陣不等式（LMIs）的方法得到穩定性條件及控制器形式，并對實際系統進行仿真，得到控制器參數。【關鍵詞】離散Markovian跳躍系統；Lyapunov穩定法；性矩陣不等式（LMIs）0.引言在實際工業過程中，存在著愈加復雜的關聯子系統，子系統的相關關聯的轉變、零件故障以及外界環境的突變，都會引起系統的結構和參數的變化，由這些突變產生的系統我們稱之為Markovian跳躍系統[1]。這類系統可以描述眾多的實際系統，對實際控制過程有較大價值，因此得到廣泛關注。另一方面，迅猛發展的科技水平使得各種工業過程、生產設備以及其他很多的被控對象日益復雜化、大型化，系統維數呈現越來越高的趨勢，所以，要想實現對工業過程的更優控制，要求更好地利用及優化Markovian模型，深入研究該類系統的穩定性條件以及控制策略，這不僅有重要的理論價值，也具有很重要的實際意義。1.系統描述1.1離散Markovian跳躍系統離散Markovian跳變系統定義為一類具有Markov跳躍參數的離散時間切換系統，切換系統在切換的過程中，每一時刻的系統模式對應于一個子系統的模型，由切換序列確定每一時刻系統切換到哪一個子系統[2]。而Markov跳躍系統在模態的切換過程中并沒有遵循任何固定的切換序列，各模態間是隨機切換的，但這種隨機切換是符合一定的統計特性，即服從Markov跳躍過程的，因此也被視為一類特殊的隨機系統，或稱隨機Markov跳躍系統。而離散Makovian系統就是模態參數為離散的一類隨機系統。針對離散Markovian跳變系統，Ji等證明了二階矩穩定（均方穩定、隨機穩定與指數均方穩定）是相互等價的特性，并運用隨機Lyapunov泛函方法得到了隨機穩定、隨機鎮定，均方穩定及幾乎必然穩定的條件。接著，Boukas等以代數Riccati方程的形式給出了離散Markovian跳躍系統的穩定性及魯棒鎮定性條件[3]。1.2系統模型考慮離散Markovian跳躍系統的模型為[4]：（公式1）其中，和是系統的狀態和控制輸入。這里，是離散同質的Markovian鏈，在有限狀態空間={1，2，..，N}取值，狀態轉移概率矩陣為，，其中狀態轉移概率代表從模態到模態的轉移概率，并且：，（公式2）對于任意，。2.系統穩定性分析2.1李亞普諾夫穩定法李雅普諾夫法是建立在普遍情況之上的一種穩定判據，即：如果系統有一個漸進穩定的平衡狀態，那么當它運動到平衡狀態的鄰域內時，系統積蓄的能量隨時間的增長而衰減，直到平衡狀態處達到最小值[5]。若能找到一個完全描述上述過程的所謂的能量函數，則系統的穩定性問題也就容易解決了，對于離散跳變系統，引入李亞普諾夫能量函數，即：對于離散Markovian跳變系統，而言，若存在正定函數，且滿足，，，則平衡狀態是漸進穩定的，如果是漸進穩定的，且當時，有，則是全局漸進穩定的。利用這種方法，我們就可以構造一個正定函數，用來判斷系統的穩定情況。2.2系統穩定條件定理2.1對于系統（1），若存在一個正定矩陣P滿足線性矩陣不等式，其中，，則系統隨機穩定[6]。證明：分析系統穩定性時，令，系統模型簡化為：，（公式3）設定能量方程為：其中，P為正定矩陣，令，對于離散系統，變量的變化率用差分方程來表示，若要系統穩定，則要滿足：（公式4）其中，將公式3代入公式4，得：（公式5）由公式5可得證：即為系統穩定條件。3.系統控制器設計Markovian跳躍系統是一個隨機性較強的系統，在控制系統的應用中，為了防止發生數據丟失、錯發，要設計控制器使系統穩定。3.1問題描述設計控制器要考慮到系統的輸入，系統模型為：（公式6）其中，為反饋控制器，且令3.2穩定性分析考慮Lyapunov能量方程的形式為，對能量方程進行微分，得到差分方程如下：（公式7）將公式6代表的系統帶入代入公式7，得到：（公式8）由公式8可知，要想滿足，使能量方程為衰減，需要滿足：（公式9）可知，公式9即為離散系統的穩定性條件。3.3控制器設計已知離散Markovian跳變系統的穩定性條件為：其中，，將其帶入穩定性條件并變形得到：（公式10）以分別左乘和右乘上式公式10，得到其中，那么可由Schur補引理[7]，得到下列矩陣不等式其中，*代表矩陣的對陣部分。令，得到令，得到（公式10）由矩陣