高思愛提分演示（KJ)初中數學教師輔導講義[教師版]學員姓名初一1班 年級初一輔導科目初中數學學科教師車勝男上課時間01-1412:00:00-12:30:00 知識圖譜幾何圖形知識精講一．立體圖形與平面圖形長方體、圓柱、球、長（正）方形、圓、線段、點等，以及小學學習過的三角形、四邊形等，都是從形形色色的物體外形中得出的，它們都是幾何圖形．幾何圖形是數學研究的主要對象之一．幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構成圖形的基本元素．平面圖形有些幾何圖形（如線段、角、三角形、長方形、圓等）的各部分都在同一平面內，它們是平面圖形．立體圖形有些幾何圖形（如長方體、正方體、圓柱、棱錐、球等）的各部分不都在同一平面內，它們是立體圖形．棱柱、棱錐也是常見的立體圖形．長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐都是幾何體，幾何體也簡稱體．包圍著體的是面．面有平的面和曲的面兩種．點動成線，線動成面，面動成體．二、常見的幾何體：棱柱棱柱在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱，相鄰兩個側面的交線叫做側棱，棱柱的所有側棱長都相等．棱柱的上、下底面的形狀相同，側面的形狀都是平行四邊形．根據底面圖形的邊數將棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它們底面圖形的形狀分別為三角形、四邊形、五邊形、六邊形……長方體、正方體都是四棱柱．棱柱可以分為直棱柱和斜棱柱．直棱柱的側面是長方形．初中只研究直棱柱（簡稱棱柱）．圓柱圓柱由兩個大小相同的圓和一個曲面組成，圓柱的側面積=底面周長×高；圓柱的體積=底面面積×高棱錐由多邊形各個頂點向它所在的平面外一點依次連直線段而構成。多邊形稱為棱錐的底面。隨著底面形狀不同，棱錐的稱呼也不相同，依底面多邊形而定，例如底面是四邊形的棱錐稱為四棱錐，底面為三角形的棱錐稱為三棱錐，底面為五邊形的棱錐稱為五棱錐等等，我們所熟悉的金字塔就是四棱錐棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個本質特征：①有一個面是多邊形；②其余的各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可。因此棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是三角形。但是也要注意“有一個面是多邊形，其余各面都是三角形”的幾何體未必是棱錐。圓錐圓錐立體幾何定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉360度而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。圓錐的高：圓錐的頂點到圓錐的底面圓心之間的最短距離叫做圓錐的高；圓錐母線：圓錐的側面展開形成的扇形的半徑、底面圓周上任意一點到頂點的距離。圓錐的側面積：將圓錐的側面沿母線展開，是一個扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,而扇形的半徑等于圓錐的母線的長.；沒展開時是一個曲面。球體一個半圓繞直徑所在直線旋轉一周所成的空間幾何體叫做球體，如圖所示的圖形為球體。球的表面是一個曲面，這個曲面就叫做球面。*棱柱、棱錐中頂點、棱、面的數量關系：棱柱棱錐頂點數側棱數總棱數側面數總面數拓展：簡單多面體的頂點數為，面數為，棱數為，那么，這個公式叫做歐拉公式三點剖析一．考點：立體圖形與平面圖形．二．重難點：立體圖形與平面圖形三．易錯點：立體圖形的認識以及立體圖形和平面圖形的對應關系．立體圖形與平面圖形例題例題1、下列圖形中，屬于圓錐的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】、此圖屬于圓錐，故此選項正確；、此圖屬于圓柱，故此選項錯誤；、此圖屬于圓臺，故此選項錯誤；、此圖屬于棱柱，故此選項錯誤．例題2、下列圖形中，含有曲面的立體圖形是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】、角是平面圖形，故不符合題意；、半圓環是平面圖形，故不符合題意；、棱臺不含曲面，故不符合題意；、側面是曲面的立體圖形，故符合題意．例題3、如圖的幾何體是由（）圖形繞鉛垂線旋轉一周形成的．A.B.C.D.【答案】A【解析】A、是直角梯形繞高旋轉形成的圓臺，故A正確；B、是直角梯形繞底邊的腰旋轉形成的圓柱加圓錐，故B錯誤；C、繞直徑旋轉形成球，故C錯誤；D、繞直角邊旋轉形成圓錐，故D錯誤．例題4、不透明袋子中裝有一個幾何體模型，兩位同學摸該模型并描述它的特征，甲同學：它有4個面是三角形；乙同學：它有8條棱，該模型的形狀對應的立體圖形可能是（）A.三棱柱B.四棱柱C.三棱錐D.四棱錐【答案】D【解析】四棱錐的底面是四邊形，側面是四個三角形，底面有四條棱，側面有4條棱，例題5、下列幾何體中，不同類的是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【解析】①是正方體，②是四棱柱，③圓柱，④三棱柱，所以只有③與其他不同類．例題6、如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫做棱錐．如圖是一個四棱柱和一個六棱錐，它們各有12條棱．下列棱柱中和九棱錐的棱數相等的是（）A.五棱柱B.六棱柱C.七棱柱D.八棱柱【答案】B【解析】九棱錐側面有9條棱，底面是九邊形，也有9條棱，共9＋9＝18條棱，A、五棱柱共15條棱，故A錯誤；B、六棱柱共18條棱，故B正確；C、七棱柱共21條棱，故C錯誤；D、八棱柱共24條棱，故D錯誤．隨練隨練1、圓柱是由長方形繞著它的一邊所在直線旋轉一周所得到的，那么下列四個選項繞直線旋轉一周可以得到如圖立體圖形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由長方形繞著它的一邊所在直線旋轉一周可得到圓柱體，如圖立體圖形是兩個圓柱的組合體，則需要兩個一邊對齊的長方形，繞對齊邊所在直線旋轉一周即可得到．隨練2、下列圖形屬于棱柱的有（）A.2個B.3個C.4個D.5個【答案】B【解析】正方體、長方體、三棱柱是棱柱．隨練3、如下圖，將直角三角形繞一條邊所在直線旋轉一周后形成的幾何體不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】將直角三角形繞較長直角邊所在直線旋轉一周后形成的幾何體為：將直角三角形繞較短直角邊所在直線旋轉一周后形成的幾何體為：將直角三角形繞斜邊所在直線旋轉一周后形成的幾何體為：隨練4、下列簡單幾何體中，屬于柱體的個數是（）A.5B.4C.3D.2【答案】B【解析】柱體分為圓柱和棱柱，所以柱體有圓柱、正方體、長方體、五棱柱，共4個．隨練5、下列各組圖形中都是平面圖形的是（）A.三角形、圓、球、圓錐B.點、線段、棱錐、棱柱C.角、三角形、正方形、圓D.點、角、線段、長方體【答案】C【解析】A、球、圓錐是立體圖形，錯誤；B、棱錐、棱柱是立體圖形，錯誤；C、角、三角形、正方形、圓是平面圖形，正確；D、長方體是立體圖形，錯誤；隨練6、下列圖形中，是柱體的有________．（填序號）【答案】②③⑥【解析】①是圓錐，②是正方體，屬于棱柱，③是圓柱，④是棱錐，⑤是球，⑥是三棱柱．所以是柱體的有②③⑥.立體圖形展開圖知識精講一．正方體、長方體展開圖長方體展開圖正方體展開圖正方體的11種展開圖1．“一四一”型2．“二三一”型3．“二二二”型4．“三三”型1、正方體的相對面問題：“堅”與“勝”相對；“就”與“利”相對；“持”與“是”相對“你”與“棒”相對；“們”與“了”相對；“太”與“！”相對*找相對面的規律：在通過正方體展開圖形找相對面時，首先在同層中隔一面尋找，再在異層中隔兩面尋找，剩下的兩面自然相對2、有圖案的正方體將如圖所示的正方體沿某些棱展開后，能得到的圖形是（）這種問題可以通過相對面進行排除，A和B中正方形和三角形是相對面，顯然不正確，C和D選項則通過空間想象能力將展開圖進行還原，如這道題我們就可以把圓形當做正對我們的一面，把其他面折起來進行判斷二．圓柱、棱柱的展開圖圓柱展開圖圓柱展開圖為一個長方形，兩側是兩個完全相同的圓形；其中側面展開圖，即長方形的長（與圓相鄰的一邊）等于底面圓的周長棱柱展開圖三．圓錐、棱錐的展開圖圓錐展開圖圓錐側面展開圖為以頂點為圓心，母線長為半徑的扇形，扇形的弧長等于底面圓的周長棱錐展開圖三點剖析一．考點：正方形的展開圖．二．重難點：對面有團的立體圖形展開圖，若立體圖形表面的圖案無方向區分，例如表面有字或字母等，則只需判斷字母所在的平面與其它平面的位置關系即可；（2）若立體圖形表面的圖案有方向區分，例如表面為不同圖案等，則不僅需要判斷字母所在的平面與其它平面的位置關系，還需判斷展開后圖案的方向．三．易錯點：1．判斷正方體平面展開圖的相對面容易出錯．2．對面有圖案的立體圖形的展開圖．正方體、長方體展開圖例題例題1、把如圖折成正方體的盒子，折好后與“考”相對的字是________．【答案】順【解析】這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“考”與面“順”相對，面“你”與面“試”相對，面“祝”與面“利”相對．例題2、如圖是一個正方體的平面展開圖，正方體中相對的面上的數字或代數式互為相反數，則的值為（）A.0B.－1C.－2D.1【答案】B【解析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形．“5”與“”是相對面，“”與“”是相對面，“－2”與“2”是相對面，∵相對的面上的數字或代數式互為相反數，∴，，解得，，∴．例題3、如圖，將甲乙丙丁四個小正方形中的一個剪掉，使余下的部分不能圍成一個正方體，剪掉的這個小正方形是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】將如圖所示的圖形剪去一個小正方形，使余下的部分不能圍成一個正方體，編號為甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁，例題4、如圖是一個正方體，則它的表面展開圖可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A、含有田字形，不能折成正方體，故A錯誤；B、能折成正方體，故B正確；C、凹字形，不能折成正方體，故C錯誤；D、含有田字形，不能折成正方體，故D錯誤．故選：B．例題5、如圖是某一立方體的側面展開圖，則該立方體是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由立方體中各圖形的位置可知，結合各選項是否符合原圖的特征．解：A、兩個圓所在的面是相對的，不相鄰，故A錯誤；B、C中空白的圓圈不與白色的三角形相鄰，故B、C錯誤；D、正確．例題6、如果有一個正方體，它的展開圖可能是下面四個展開圖中的（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由原正方體的特征可知，含有4，6，8的數字的三個面一定相交于一點，而選項A、B、D中，經過折疊后與含有4，6，8的數字的三個面一定相交于一點不符．例題7、如圖所示的是一個正方體的表面展開圖，則與“奮”字所代表的面相對的面上的漢字是________．【答案】活【解析】這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“生”與面“是”相對，面“活”與面“奮”相對，面“就”與面“斗”相對．例題8、如圖是每個面上都有一個漢字的正方體的一種展開圖，那么在正方體的表面與“中”相對的面上的漢字是（）A.數B.學C.生D.活【答案】A【解析】正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，∴“活”與“的”相對，“中”與“數”相對，“生”與“學”相對．例題9、如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對兩個面上的數字之和的最大值（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】易得2和6是相對的兩個面；3和4是相對兩個面；1和5是相對的2個面，因為2+6=8，3+4=7，1+5=6，所以原正方體相對兩個面上的數字和最大的是8．故選C．例題10、一個正方體的六個面上分別標有2，3，4，5，6，7中的一個數字，如圖表示的是這個正方體的三種放置方法，則這三種放置方法中，三個正方體下底面上所標數字之和是（）A.16B.15C.14D.13【答案】A【解析】由圖可知，“2”和“6”相對；“5”和“7”相對；“3”和“4”相對；則如圖放置方法中，三個正方體下底面上所標數字分別是5，4，7，即所標數字的和為16．例題11、圖1是邊長為30的正方形紙板，裁掉陰影部分后將其折疊成如圖2所示的長方體盒子，已知該長方體的寬是高的2倍，則它的體積是多少？【答案】1000cm3【解析】長方體的高為xcm，然后表示出其寬為，根據題意得：15－x＝2x解得：x＝5故長方體的寬為10，長為20cm則長方體的體積為5×10×20＝1000cm3．例題12、如圖為一無蓋長方體盒子的展開圖（重疊部分不計），可知該無蓋長方體的容積為（）A.4B.6C.12D.8【答案】D【解析】長方體的高是1，寬是，長是，長方體的容積是隨練隨練1、一個無蓋的長方形包裝盒展開后如圖所示（單位：cm），則其容積為________cm3．【答案】800【解析】20－15＝5（cm），15－5＝10（cm），26－10＝16（cm），16×10×5＝800（cm3）．答：其容積為800cm3．隨練2、若如圖的平面展開圖折疊成正方體后，相對面上兩個數都互為相反數，則a＋b＝________．【答案】－4【解析】這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，其中面“a”與面“1”相對，面“b”與面“3”相對，“2”與面“－2”相對．因為相對面上兩個數都互為相反數，所以a＝－1，b＝－3，故a＋b＝－4．隨練3、骰子是一種特別的數字立方體（見右圖），它符合規則：相對兩面的點數之和總是7，下面四幅圖中可以折成符合規則的骰子的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，A、4點與3點是向對面，5點與2點是向對面，1點與6點是向對面，所以可以折成符合規則的骰子，故本選項正確；B、1點與3點是向對面，4點與6點是向對面，2點與5點是向對面，所以不可以折成符合規則的骰子，故本選項錯誤；C、3點與4點是向對面，1點與5點是向對面，2點與6點是向對面，所以不可以折成符合規則的骰子，故本選項錯誤；D、1點與5點是向對面，3點與4點是向對面，2點與6點是向對面，所以不可以折成符合規則的骰子，故本選項錯誤．隨練4、圖1是一個正方體的展開圖，該正方體從圖2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此時這個正方體朝上一面的字是________．【答案】我【解析】由圖1可得，“中”和“的”相對；“國”和“我”相對；“夢”和“夢”相對；由圖2可得，該正方體從圖2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格時，“國”在下面，則這時小正方體朝上一面的字是“我”．隨練5、有一個正六面體骰子，放在桌面上，將骰子沿如圖所示的順時針方向滾動，每滾動算一次，則滾動第2018次后，骰子朝下一面的點數是（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】觀察圖形知道點數三和點數四相對，點數二和點數五相對且四次一循環，，滾動第2018次后與第二次相同，朝下的數字是4的對面3．隨練6、如圖所示的正方體的展開圖是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根據帶有各種符號的面的特點及位置，可得如圖所示的正方體的展開圖是．隨練7、如圖是一個正方體的平面展開圖，標注了A字母的是正方體的正面，如果正方體的左面與右面標注的式子相等．(注：標注的數字與字母在外表面)（1）求x的值．（2）求正方體的上面和底面的數字和．【答案】(1)x=1(2)4圓柱、棱柱的展開圖例題例題1、一個棱柱共有15條棱，那么它是________棱柱，有________個面．【答案】五；7【解析】一個棱柱共有15條棱，那么它是五棱柱，有7個面，例題2、如圖中的平面展開圖與標注的立體圖形不相符的是（）A.長方體B.正方體C.圓柱體D.三棱錐【答案】D例題3、一個棱柱的面數為12，棱數是30，則其頂點數為______．【答案】20【解析】∵簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間的關系為：V+F﹣E=2，一個棱柱的面數為12，棱數是30，∴則其頂點數為：V+12﹣30=2，解得：V=20．例題4、下面平面圖形中能圍成三棱柱的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】A、能圍成三棱柱，故選項正確；B、折疊后有兩個面重合，不能圍成三棱柱，故選項錯誤；C、不能圍成三棱柱，故選項錯誤；D、折疊后有兩個側面重合，不能圍成三棱柱，故選項錯誤．故選：A．隨練隨練1、下面的四個展開圖中，是如圖所示的三棱柱紙盒的展開圖的是（）A.B.C.D.【答案】D隨練2、如圖是一個幾何體的平面展開圖．（1）這個幾何體是________．（2）求這個幾何體的體積．（π取3.14）【答案】（1）圓柱（2）1570cm3【解析】（1）圓柱（2）體積：3.14×（10÷2）2×20＝1570（cm3）．圓錐、棱錐的展開圖例題例題1、在下列各平面圖形中，是圓錐的表面展開圖的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】圓錐的展開圖是由一個扇形和一個圓形組成的圖形．例題2、若一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為10cm，圓心角為144°的扇形，則該圓錐的底面半徑為____cm．【答案】4【解析】圓錐的底面周長是：=8π．設圓錐底面圓的半徑是r，則2πr=8π．解得：r=4．例題3、如圖，四個圖形是由立體圖形展開得到的，相應的立體圖形順次是（）A.正方體、圓柱、三棱柱、圓錐B.正方體、圓錐、三棱柱、圓柱C.正方體、圓柱、三棱錐、圓錐D.正方體、圓柱、四棱柱、圓錐【答案】A【解析】觀察圖形，由立體圖形及其表面展開圖的特點可知相應的立體圖形順次是正方體、圓柱、三棱柱、圓錐．隨練隨練1、下列四組圖中，每組左邊的平面圖形能夠折疊成右邊的立體圖形的是（）A.①②B.①④C.②D.③【答案】C【解析】①不能折疊成正方體，②能折疊成長方體，③不能折成圓錐，④不能折成四棱錐．拓展拓展1、如圖，下列圖形全部屬于柱體的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】A、左邊的圖形屬于錐體，故本選項錯誤；B、上面的圖形是圓錐，屬于錐體，故本選項錯誤；C、三個圖形都屬于柱體，故本選項正確；D、上面的圖形不屬于柱體，故本選項錯誤．故選C．拓展2、如下圖所示為8個立體圖形．其中，是柱體的序號為__________；是錐體的序號為__________；是球的序號為__________．【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③【解析】分別根據柱體、錐體、球體的定義得出即可．拓展3、若一個棱柱有12個頂點，則在下列說法中，正確的是（）A.這個棱柱的底面是六邊形B.這個棱柱有5個側面C.這個棱柱有5條側棱D.這個棱柱是一個十二棱柱【答案】A【解析】∵棱柱有12個頂點，∴上下底面各有6個頂點，即這個棱柱的底面是六邊形．拓展4、如圖，是正方體的平面展開圖，每個面上都標有一個漢字，與“信”字相對的面上的字為________．【答案】明【解析】是正方體的平面展開圖，每個面上都標有一個漢字，與“信”字相對的面上的字為：明．拓展5、如圖，一個正方體的表面上分別寫著連續的6個整數，且每兩個相對面上的兩個數的和都相等，則這6個整數的和為____．【答案】51【解析】∵正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，∴6若不是最小的數，則6與9是相對面，∵6與9相鄰，∴6是最小的數，∴這6個整數的和為：6+7+8+9+10+11=51．拓展6、如圖是一個正方體的表面展開圖，則這個正方體是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】通過具體折疊結合圖形的特征，判斷圖中小正方形內部的線段折疊后只能互相垂直，且無公共點，所以折疊成正方體后的立體圖形是C．故選：C．拓展7、如圖，一個長方體的表面展開圖中四邊形ABCD是正方形，則根據圖中數據可得原長方體的體積是____cm3．【答案】12【解析】如圖∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AE=4cm，∴立方體的高為：（6﹣4）÷2=1（cm），∴EF=4﹣1=3（cm），∴原長方體的體積是：3×4×1=12（cm3）．拓展8、如圖的正方體盒子的外表面上畫有3條粗黑線，將這個正方體盒子的表面展開（外表面朝上），展開圖可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據正方體的表面展開圖，兩條黑線在一列，故A錯誤，且兩條相鄰成直角，故B錯誤，正視圖的斜線方向相反，故C錯誤，只有D選項符合條件拓展9、有3塊積木，每一塊的各面都涂上不同的顏色，3塊的涂法完全相同，現把它們擺放成不同的位置（如圖），請你根據圖形判斷涂成綠色一面的對面的顏色是（）A.白B.紅C.黃D.黑【答案】C【解析】∵涂有綠色一面的鄰邊是白，黑，紅，藍，∴涂成綠色一面的對面的顏色是黃色，拓展10、如圖，把左邊的圖形折起來得到正方體，則下列正方體一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如帶圓圈圖案的面在前，那么帶直線圖案的面一定與它相鄰，所以A，B錯誤；D中，帶圓圈圖案的面應和帶直線圖案的面平行，所以D也錯誤．故選：C．拓展11、下列哪一個是正立方體的展開圖（）A.B.C.D.【答案】C【解析】觀察圖形可知，是正立方體的展開圖．拓展12、如圖所示的正方體展開后的平面圖形是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由正方體中正方形的陰影部分和三角形的陰影部分相鄰可排除A、C，由三角形的直角邊與圓相切可排除B拓展13、過正方體中有公共頂點的三條棱的中點切出一個平面，形成如圖幾何體，其正確展開圖正確的為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】選項A、C、D折疊后都不符合題意，只有選項B折疊后兩個剪去三角形與另一個剪去的三角形交于一個頂點，與正方體三個剪去三角形交于一個頂點符合．拓展14、小明在學習了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據你所學的知識，回答下列問題：（1）小明總共剪開了________條棱．（2）現在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經過折疊以后，仍然可以還原成一個長方體紙盒，你認為他應該將剪斷的紙條粘貼到①中的什么位置？請你幫助小明在①上補全．（3）小明說：他所剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的5倍．現在已知這個長方體紙盒的底面是一個正方形，并且這個長方體紙盒所有棱長的和是880cm，求這個長方體紙盒的體積．【答案】（1）8（2）見解析（3）200000立方厘米【解析】（1）小明共剪了8條棱．（2）如圖，四種情況．（3）∵長方體紙盒的底面是一個正方形，∴設最短的棱長高為acm，則長與寬相等為5acm，∵長方體紙盒所有棱長的和是880cm，∴4（a＋5a＋5a）＝880，解得a＝20cm，∴這個長方體紙盒的體積為：20×100×100＝200000立方厘米．拓展15、沿圖中虛線旋轉