勾股定理的逆定理

1、理解勾股定理的逆定理。2、了解逆命題的概念，知道原命題為真命題，它的逆命題不一定為真命題。3、應用勾股定理的逆定理解決實際問題。學習目標學習目標1.理解勾股定理的逆定理及證明過程。2.能簡單的運用勾股定理的逆定理判定直角三角形。3.利用勾股定理逆定理解決實際問題重點運用勾股定理的逆定理判定直角三角形。難點勾股定理逆定理的證明。探索與思考已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．bacABC分析：1.要證明△ABC是直角三角形，即要證明∠B=______°2.構造△A’B’C’，使其滿足___________________________。3.如果△ABC____△A’B’C’，則△ABC是直角三角形。90≌bacA’B’C’AB=A’B’,BC=B’C’,∠B’=90°下面有三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.問題2這三組數在數量關系上有什么相同點？①5,12,13滿足52+122=132,②7,24,25滿足72+242=252,③8,15,17滿足82+152=172.問題3古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？∵32+42=52，∴滿足.a2+b2=c2新知講解命題2：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。猜想：這個命題和前面學的命題1（勾股定理）之間有什么關系嗎？1.題設和結論正好相反的兩個命題，叫做互逆命題。

2.如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。命題2是正確的嗎？你能試著證明嗎？利用勾股定理逆定理判斷直角三角形下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？1）a=15，b=8，c=172）a=13，b=14，c=15解：∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形。∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個三角形不是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′證一證:新知講解證明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc新知講解定理與逆定理一個命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題。如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理是另一個定理的逆定理。判斷勾股數下列各組數中是勾股數的為（

）A．1、2、3 B．4、5、6 C．3、4、5 D．7、8、9【詳解】解：A．∵12+22=5≠32=9，∴不是勾股數，故A錯誤；B．∵42+52=41≠62=36，∴不是勾股數，故B錯誤；C．∵32+42=25=52=25，∴是勾股數，故C正確；D．∵72+82=113≠92=81，∴不是勾股數，故D錯誤．新知講解根據勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.

例2：某港口P位于東西方向的海岸線上?！斑h航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，“海天”號每小時航行12nmile。它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距30nmile。如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？RSQPEN解：根據題意畫圖，如圖所示：PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30。∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°。由“遠航”號沿東北方向航行可知，∠QPS=45°。

∴∠RPS=45°，即“海天”號沿西北方向航行。RSQPEN利用勾股定理逆定理判斷直角三角形

例2如圖，在正方形ABCD中，F是CD的中點，E為BC上一點，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關系，并說明理由．

解：AF⊥EF.理由如下：設正方形的邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.新知講解利用勾股定理逆定理解決實際問題如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于Q、R處，且相距30海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎?

NEP

QR12

同學們，再見勾股定理的應用

1．學會利用勾股定理的數學思想解決生活中的實際問題．2．能熟練將實際問題轉化為數學模型進行計算．波平如鏡一湖面，半尺高處出紅蓮．婷婷多姿湖中立，突遭狂風吹一邊．離開原處兩尺遠，花貼湖邊似睡蓮．請你動動腦筋看，湖水在此多深淺．這節課我們就來學習用勾股定理來解決這一實際問題．印度的數學家婆神迦羅在他的著作《麗拉瓦提》中提出這樣一個問題：上面的問題可以歸結為：如圖，AC長為0.5尺，BC長為2尺，OA＝OB，求OC長為幾尺．請你解答這個問題．ACOB解：OA＝OB＝OC＋0.5，在Rt△OBC中，根據勾股定理，OB2＝OC2＋BC2，即(OC＋0.5)2＝OC2＋22，OC＝3.75．所以OC長為3.75尺．應用勾股定理解決實際問題，關鍵是將實際問題轉化為直角三角形模型．如圖，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面圓的周長為18cm，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？AB（1）自己做一個圓柱，嘗試從點A到點B沿圓柱側面畫幾條路線，你覺得哪條

路線最短？ABABAB

方案①

方案②

方案③（2）如圖，將圓柱側面剪開展成一個長方形，點A到點B的最短路線是什么？

你畫對了嗎？ABABAB∵兩點之間線段最短，∴方案③的路線最短．（3）螞蟻從點A出發，想吃到點B上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是

多少？

ABC高12cm，底面周長18cm．求立體圖形中最短路徑問題的一般步驟：（1）展平：將立體圖形表面展開為平面圖形，只需展開包含相關點的面（可能存在多種展法）．（2）定點：確定相關點的位置．（3）連線：連接相關點，構造直角三角形．（4）計算：利用勾股定理求解．例1如圖，一高層住宅發生火災，消防車立即趕到距住宅樓8m（車尾AE距住宅樓墻面CD）處，升起云梯到火災窗口B．已知云梯AB長17m，云梯底部距地面的高AE＝1.5m，問發生火災的住戶窗口距離地面多高？解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.

根據勾股定理，得BC2＝172－82＝152（m），

∴BC＝15m．∴BD＝15＋1.5＝16.5（m）.答：發生火災的住戶窗口距離地面16.5m．例2有一個圓柱形油罐，要從A點環繞油罐建梯子，正好建到A點的正上方B

點，問梯子最短需多少米？（已知：油罐的底面半徑是2m，高AB是5m，π取3）ABABA′B′解：圓柱形油罐的展開圖如圖，則AB′為梯子的最短距離．AA′＝2πr＝2×3×2＝12（m），A′B′＝5m，由勾股定理，得AB′2＝

AA′2＋

A′B′

2

＝122＋52

＝169．所以AB′＝13．即梯子最短需13m．AB展開利用勾股定理解應用題的三步驟123根據題意，畫出圖形分析題目中的數量關系，數形結合，正確標圖，將已知條件體現到圖形中在適當的直角三角形中應用勾股定理進行計算或建立等量關系，列出方程，解決問題勾股定理應用的常見類型1．已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；2．已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關系；3．證明包含有平方（算術平方根）關系的幾何問題；4．求解幾何體表面上的最短路徑問題；5．構造方程（或方程組）計算有關線段長度，解決生產、

生活中的實際問題．

ABB2．有兩棵樹，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹相距8m．一只小鳥從一棵樹

的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A．8mB．10mC．12mD．14m3．小明想知道學校旗桿有多高，他發現旗桿上的繩子垂到地面還余1m，當

他把繩子下端拉開5m后，發現下端剛好接觸地面，則旗桿高度為_____m．B124．如圖，學校有一塊長方形花園，有極少數