電磁場的基本性質光學薄膜系統特性計算膜層參數的變化對光譜特性的影響多層周期膜及規整介質高反膜膜系的分析設計方法薄膜光學的基礎理論第二講——分層介質的電磁場及其光學特性工作波段：光學薄膜厚度與考慮的波長在同一個數量級薄膜的面積與波長相比可認為無限大薄膜材料各向同性、均勻薄膜材料為非鐵磁性材料光穿過膜層而非沿著膜層在膜層內傳播幾個假設條件電磁波譜電磁波譜（續）兩束光產生干涉的條件：頻率相同振動方向一致位相相同或位相差恒定薄膜的干涉薄膜的雙光束干涉

薄膜的雙光束干涉（續）薄膜的雙光束干涉（續）

多光束干涉強度的計算原則上和雙光束完全相同，也是先把振動迭加，再計算強度，差別僅在于參與干涉的光束由兩束增加到多束，至于計算方法則以采用復振幅最為方便。薄膜的多光束干涉1.1.1分層介質的電磁場注意，在研究光學薄膜時，我們取如圖所示的坐標系統，零點位于基底與膜層的交界面上，z軸垂直于膜面由基底指向入射介質，x、y軸位于膜面所在平面內，其中x軸垂直于紙面指向里，x、y、z軸構成右手螺旋定律。

為了方便，我們將光學薄膜抽象成如圖所示的物理模型。兩種均勻的各向同性的介質1和2被一系列相互平行的平板介質分隔開。這里所謂各向同性就是說介質的介電常數和電導率在與膜面平行的平面內是不變的。介質2是平板介質的載體，也就是說平板介質是覆蓋在介質2上面的。所以介質2通常被稱為基底（substrate),通常入射光從介質1入射，因此介質1被稱為入射介質。多數情況下入射介質為空氣，覆蓋在基底上的平板介質就是光學薄膜，通常情況下，光學薄膜的縱向厚度（z向）為光的波長數量級（um量級），而其橫向大小（x、y向）為mm量級，因此相對其縱向厚度，我們可以認為光學薄膜的橫向大小為無窮大，也就是說光學薄膜在其膜面方向上是無限擴展的。分層介質的電磁場（續）

當一束平面電磁光波從入射介質入射到光學薄膜上，則會產生一束反射光和一束透射光。假設：①入射介質、薄膜及基底都非磁性②薄膜中沒有體電荷出現則各介質中電磁場的麥克斯韋方程滿足如下的形式：（1.1.1）注意：采用的是高斯單位制分層介質的電磁場（續）

毫無疑問，在σ

和ε連續的點（即在入射介質，薄膜的各層中以及基底內），電矢量?和磁矢量H是滿足上面的方程的，在σ

和ε不連續的點（即在膜層的邊界處），電矢量?和磁矢量H的切向分量是連續的。因此，研究薄膜中的電磁場的性質實際上就是在給定的邊界條件下求解上面的電磁場方程。分層介質的電磁場（續）

假設入射光是圓頻率為ω的單色平面電磁波，則電矢量?

和磁矢量H

可以表示如下：其中矢量E和矢量H只與空間變量有關將上式代入方程（1.1.1），化簡后可得：(1.1.2)分層介質的電磁場（續）定義兩個參數：波長λ和波數k波長λ定義為光波在一個周期內所走的路程，即：波數k定義為2π

單位內所包含的波長的數目，即：分層介質的電磁場（續）因此，方程（1.1.2）可簡化為：(1.1.3)(1.1.2)分層介質的電磁場（續）為了求解矢量方程組（1.1.3），我們首先需要將它化為標量方程組。為此，我們將電磁場分為s分量和p分量，其中s分量又稱為橫電波分量，它的特征是電矢量方向垂直于入射面*1。p分量又稱為橫磁波分量，它的特征是電矢量方向位于入射面內，相應的，其磁矢量方向垂直于入射面（這就是橫磁波的由來）*2。*1:入射面就是光線的入射方向和被入射表面的法線方向所構成的平面。*2:注意：在規定s、p分量時都是以電矢量方向作為參考的。分層介質的電磁場（續）為了便于說明，我們將膜系結構圖進一步簡化為下圖：說明返回分層介質的電磁場（續）S分量情形：

在圖1.2中，規定入射角為γa，入射介質的介電常數為εa，基底的介電常數為εs。下面分別就s、p偏振兩種情形求解方程（1.1.3）。(1.1.3)(1)(2)(3)(4)(5)(6)分層介質的電磁場（續）(1.1.3)注：將方程（2）(3)代入方程（4）可得：（1.1.5）運用變量分離法，假設：代入方程（1.1.5），可得：（1.1.6）方程的左邊只與y有關，而右邊只與z有關，因此只能等于一個常數，此處假設這個常數為k2α2。其中k為入射波的波數，α為一個待定常數。因此可根據方程（1.1.6）得：（1.1.7）分層介質的電磁場（續）(2)(3)(4)

這個方程的解的形式為g(y)=exp(±ikαy)，而由于α是一個待定常數，它的正負符號也是沒有確定的，因此我們取解的形式為g(y)=exp(ikαy)并不會影響最終結果。因此Ex可以寫成下面的形式：從方程（3）可得：從方程（2）可以看出，Hy也有類似的形式，因此假設：分層介質的電磁場（續）（1.1.7）(3)(2)到目前為止，我們可以將s分量的E、H分別寫成下面的形式:（1.1.8）這種形式的E、H滿足方程（1）、（3）、（5）、（6），由方程（2）、（4），我們可以得到關于u、v的方程組：（1.1.9）分層介質的電磁場（續）(1)(2)(3)(4)(5)(6)下面來考查一下u、v的連續性。在ε連續的點，也就是在膜層或基底和入射介質中，根據方程（1.1.9）可以看出u、v是連續的，而在ε不連續的點即在膜層的邊界處，根據邊界條件可知，E、H的切向分量是連續的，而從（1.1.8）可以看出，E、H的切向分量為u(z)exp(ikαy)和-v(z)exp(ikαy)，而這個連續的條件在任意y處都成立，因此u(z)

和v(z)也必定連續，因此，u(z)、v(z)在膜層、基底和入射介質中處處連續。分層介質的電磁場（續）（1.1.9）（1.1.8）下面來確定常數α。入射單色平面電磁波的電矢量可以表示為：其中，矢量k表示入射波的波矢，矢量r表示觀察點處的坐標矢量｛x,y,z｝，在入射介質中：其中k為光在真空中的波數，矢量l是光波傳播方向的單位矢量，從圖1.2可以看出：分層介質的電磁場（續）因此，入射波的電矢量可以表示為：與（1.1.8）比較可得：經過同樣的推導過程可得：因此：這就是著名的折射定律，這個方程對于吸收介質也是成立的，只要將介電常數換成復介電常數就可以了。事實上，對于膜層中的任意一層膜，假設它的介電常數為ε，折射角為γ都有：分層介質的電磁場（續）（1.1.8）對于p偏振情形，經過類似的推導，可得：和(1.1.14)方程（1.1.8）、（1.1.9）和（1.1.13）、（1.1.14）是求解分層介質的電磁場的最基本的方程。分層介質的電磁場（續）（1.1.8）（1.1.9）(1.1.13)這一節的主要任務是推導出分層介質的幅度透射率和反射率的通用表達式。下面分s、p偏振兩種情形來討論。S偏振情形方程（1.1.9）在入射介質和基底中也是成立的。在入射介質中：將方程（1.1.9）的第一個方程兩邊對z求導，再將第二個方程代入就可得到：（1.1.15）令：則方程（1.1.15）可化為：1.1.2分層介質的幅度透射率和反射率（1.1.9）方程（1.1.15）的兩個線形獨立解exp(-ikqaz)和exp(+ikqaz),由于我們選擇的時間因子為exp(iωt)，則第一個線性獨立解代表沿＋z方向傳播的波，第二個線性獨立解代表的是沿-z方向傳播的波。對于如圖1.2中選擇的坐標系。入射波的形式為exp(ikqaz)，反射波的形式為exp(-ikqaz)。因此從（1.1.9）的第一個方程很容易得到：（入射波）而對于反射波，同樣可以得到：分層介質的幅度透射率和反射率（續）（1.1.9）（1.1.15）假設膜系與入射介質的交界面處的z坐標為za（如圖），該處的入射光和反射光的電矢量的切向分量的幅度分別為EA和ER，則對于入射光：對于反射光：同樣對于透射光，假設膜系與基底交界面處的電矢量的切向分量的幅度為ET，則：其中因此，對于s偏振，其幅度透射率和反射率可定義為：注意：用切向分量定義幅度透射率和反射率的原因主要是：①只關心沿膜面垂直的方向傳播的能量。②符合垂直入射時的常識。分層介質的幅度透射率和反射率（續）

幅度反射率不會隨著入射光、反射光及透射光的電矢量的幅度變化而變化，它是由膜系本身的性質決定的，因此，我們可以用透射光的電矢量的幅度來歸一化場矢量，也就是假設ET＝1。另外，注意方程（1.1.9）中的u、v的解不僅依賴于z，而且還依賴于k，因此，從現在開始我們將u、v分別寫成u（z，k）、v（z，k）來表示這種依賴關系。分層介質的幅度透射率和反射率（續）（1.1.9）從u、v在基底與膜系的交界面處的連續性可以得到方程（1.1.9）的初始條件為：（1.1.16）在外邊界za處，場的幅度是入射光和反射光的幅度的和，則：從這兩個式子可以推出：注意，這里假設ET＝1，所以：（1.1.17）方程（1.1.17）的推導過程中，我們沒有作任何假設，因此，方程（1.1.17）的結果是普遍適用的。分層介質的幅度透射率和反射率（續）（1.1.9）到目前為止，我們可以根據初始條件（1.1.16）求解方程組（1.1.9），并進而根據（1.1.17）求解出膜系的幅度反射率和幅度透射率。這是求解膜系光譜系數的一種方法，但我們后面會介紹更簡便的遞推方法。分層介質的幅度透射率和反射率（續）（1.1.9）（1.1.16）（1.1.17）P偏振情形經過類似的推導，我們可以從形式上得到與s偏振相同的結果（（1.1.16）和（1.1.17））。只是其中qa和qs取值不同。分層介質的幅度透射率和反射率（續）（1.1.16）（1.1.17）為了方便，我們引入折射率的概念（電磁波在真空中的速度c與在介質中的速度v之比稱為介質的折射率n），我們規定折射率和介電常數的關系為：對于吸收介質，則規定：參數α可以表示成：折射定律可以表示成我們熟悉的形式：參數qa和qs也可以方便地寫成下面的形式：S偏振情形