非完整輪式移動機器人自適應擴展控制

1非完整系統動力學跟蹤問題近年來，非全日制機器的運動控制一直是人們研究的重點。機器人是一個十分復雜多變的多輸入多輸出的非線性系統,具有強耦合、時變和非線性的動力學特性,其控制十分復雜。因其不滿足Brockett必要性條件,使得光滑的狀態反饋控制律無能為力。于是研究人員針對具有重要工程意義的非完整移動機器人的跟蹤控制提出各種控制方法來克服這一缺陷。根據系統是由運動學模型或動力學模型來描述,可將跟蹤控制問題劃分為運動學跟蹤或者動力學跟蹤問題。運動學跟蹤問題近年來已被廣泛研究。一些學者借助線性控制理論或反饋線性化的方法進行研究,包括基于線性化方法為非完整輪式移動機器人提出了一種局部控制器,基于線性化模型提出了連續的線性局部指數控制器,基于動力學反饋線性化方法和微分平面思想提出帶有奇異點的動力學控制器等。后來研究人員為非完整輪式移動機器人設計出一種全局跟蹤控制器。而在文獻中,則設計了一種基于反步法的針對更加普遍的鏈式非完整系統的半全局化跟蹤控制器。動力學系統跟蹤問題在最近幾年受到越來越多的關注,原因之一是大多數實際的非完整機械系統都是動力學系統。當閉環系統對性能要求比較高時,其動力學描述是不可忽視的。另外,基于運動學模型的速度控制律不能直接應用于輸入為力矩的動力學系統。通常,非完整動力學系統的控制律都是通過對運動學系統控制律的簡單積分獲得。這種方法需要確切的系統動力學的參數,然而一般這些參數很難獲得。考慮到非完整系統在實際中的應用,對其進行建模的困難以及不可避免的控制中的擾動,我們需要研究不確定非完整系統的有效的跟蹤控制方法。在文獻中,作者研究了帶有未知慣性參數的非完整動力學系統,設計出一種自適應控制器。文獻中,作者則研究了不確定非完整系統動力學跟蹤問題,設計出一種魯棒H∞控制器。但是以上兩種方法僅保證系統的部分狀態跟蹤上了期望的狀態。在文獻中,先設計出運動學控制器,使得實際機器人與參考的機器人之間的誤差趨于零,然后利用反步法設計出力矩控制器,使得機器人速度收斂到之前運動學控制器所給出的期望速度。文獻中,則討論了帶有動力學不確定非完整系統跟蹤問題,通過適當的定義誤差和Barblat定理提出魯棒自適應控制器。先設計出運動學控制器,使得實際機器人與參考的機器人之間的誤差趨于零,然后利用反步法設計出力矩控制器,使得機器人速度收斂到之前運動學控制器所給出的期望速度。本文中,我們在非完整移動機器人動力學系統存在未知參數的情況下利用反步法為其設計出一種擴展的自適應控制器,有效解決了動力學模型含有不確定參數的非完整輪式移動機器人動力學系統的軌跡跟蹤問題,仿真研究證明此方法的有效性。2運動學約束相關的約束條件考慮如下帶有m約束的非完整移動機器人Μ(q)¨q+V(q?˙q)+G(q)=B(q)τ+AΤ(q)λ(1)其中q∈Rn為廣義坐標,τ∈Rr為輸入向量,λ∈Rm為約束力向量,M(q)∈Rn×n為一個對稱正定慣性矩陣,V(q,˙q)∈Rn×n為哥氏力和離心力矩陣,G(q)∈Rn為重力向量,B(q)∈Rn×r是輸入變換陣,A(q)∈Rm×n與約束相關的矩陣。以下我們考慮r=n-m的情況。運動學約束可以表示為A(q)˙q=0(2)本文中我們考慮在一個水平面上運動的兩驅動輪機器人。見圖1。其中輪子半徑為r,后輪中心軸的距離為2l。系統的輸入為兩個力矩T1和T2,分別由后輪的兩個電機供給。于是上圖中的兩輪移動機器人的動力學方程為{¨x=λmsinθ+b1u1cosθ¨y=-λmcosθ+b1u1sinθ¨θ=b2u2(3)˙xsimθ-˙ycosθ=0(4)其中b1=l/(rm),b2=l(rI),m,I分別表示機器人的質量和慣量。u1=T1+T2和u2=T1-T2分別為控制輸入。λ為拉格朗日乘數,且λ=-m˙θ(˙xcosθ+˙ysinθ)。假定b1,b2為已知符號的未知常量。因為b1,b2集合機器人的質量、慣量、輪半徑和兩輪間的距離,所以已知符號的假定是合理的。方程(4)為非完整約束,保證機器人不會滑動。q(t)=[x(t),y(t),θ(t)]T表示的是機器人的軌跡,即位置和方向。假定機器人的位置q=[x,y,θ]T及其導數˙q=[˙x?˙y?˙θ]Τ在反饋中都是可獲得的。3速度和參考角速度軌跡跟蹤使得移動機器人的軌跡q跟蹤一個參考軌跡qr。參考軌跡qr(t)=[xr(t),yr(t),θr(t)]T是由參考機器人模型{xr=vrcosθryr=vrsinθrθr=ωr(5)獲得。下標r代表參考,vr和ωr分別是參考線速度和參考角速度,假定vr和ωr及其導數都是有界可得的。假設:對于跟蹤問題,參考速度vr和θr不會同時趨于零。在這個假設下,跟蹤問題就是尋找一個反饋控制律使得limt→∞?q(t)=0,其中?q=qr(t)-q(t)為軌跡跟蹤誤差。我們定義相當的軌跡跟蹤誤差為e=Τ?q(6)其中e=[e1?e2?e3]Τ?Τ=(cosθsinθ0-sinθcosθ0001)T為非奇異矩陣,?q不為零則e不為零。假設θr和θ在[-π,π]之間,我們有跟蹤誤差e=0,當且僅當q=qr。將非完整約束(4)代入,則軌跡跟蹤誤差的導數可以表示{e˙1=e2ω-v+vrcose3e˙2=-e1ω+vrsine3e˙3=ωr-ω(7)其中v和ω分別為移動機器人的線速度和角速度,表示為v=x˙cosθ+y˙sinθω=θ˙(8)4跟蹤裝置的設計4.1vci3的音值軌跡跟蹤的目的是設計一個控制器使得跟蹤誤差e=[e1,e2,e3]T趨于零。而(7)式中并沒有出現系統實際輸入u1和u2,因此我們暫時考慮控制輸入為v和ω,vd和ωd為期望的控制輸入,即輸入為vd和ωd,則軌跡跟蹤的誤差漸近收斂到零。定義v?和ω?為虛擬的控制誤差,則有v=vd+v?ω=ωd+ω?(9)選取控制輸入vd和ωd為vd(vr,ωr,e1,e3)=vrcose3+k1(vr,ωr)e1ωd(vr,ωr,e1,e3)=ωr+k2vre2+k3(vr,ωr)sine3(10)其中k2為正常量,k1(·)和k3(·)是嚴格為正的有界連續函數,其一階導數也是有界的。(10)式中的控制律與參考文獻中所提的控制律類似,但其優越性在于只要滿足假設,系統將會跟蹤任何參考軌跡。利用反步法,得到下面的自適應控制律:u1=α^1(-c1v?+e1+v˙d)u2=α^2(-c2ω?+1k2sine3+ω˙d)(11)α^˙1=-β1sign(b1)v?(-c1v?+e1+v˙d)α^˙2=-β2sign(b2)ω?(-c2ω?+1k2sine3+ω˙d)(12)其中c1,c2,β1,β2為正定常數,α^1和α^2分別是α1=1/b1和α2=1/b2的估計。證明:考慮如下的Lypunov函數V1=12(e12+e22)+1k2(1-cose3)(13)k2為正定常數,因此V1是正定的,僅當e為零時V1為零。對V1取時間的導數,有V˙1=e1(-v+vrcose3)+e2vrsine3+1k2sine3(ωr-ω)(14)將(9)、(10)代入(14),有V˙1=-k1e12-k3k2sin2e3-v?e1-ω?1k2sine3(15)綜合以上式(3)、(4)、(8),得出v?,ω?的一階導數為v?˙=v˙-v˙d=x¨cosθθ˙-x˙sinθθ˙+y¨sinθ+y˙cosθθ˙-v˙d=b1u1-v˙dω?˙=ω˙-ω˙d=θ??-w˙d=b2u2-ω˙d(16)考慮如下函數V2=V1+12(v?2+ω?2)+|b1|2β1α?12+|b2|2β1α?22(17)其中α?1=α1-α^1=1/b1-α^1α?2=α2-α^2=1/b2-α^2考慮自適應控制器(11),有V˙2=-k1e12-k3k2sin2e3-c1v?2-c2ω?2≤0(18)V2存在下界,V˙2為半負定的,因此V2收斂到一個有限下界。且V2,e1,e2,e3,v?,ω?,α?1和α^2都是有界的。另外,利用式(7),(9),(11)和(16),V2的二階導數可以表示為V¨2=-2k1e1e2(ωr+k2vre2+k3sine3+ω?)+2k1e1(k1e1+v?)-k˙1e12+2k3k2cose3sine3(k2′vre2+k3sine3+ω?)-k˙3k2sine32-2c1v?(b1α^1(-c1v?+e1+v˙d)-v˙d)-2c2ω?(b2α?2(c2ω?+1k2sine3+ω˙d)-ω˙d)(19)根據k1,k2,k3的性質,vr和ωr及其導數都是有界的假設及以上結論可知,V˙2是一直連續的。而V2可微并收斂至某常數值,V2有界,根據Barblat引理,當t→∞時,V˙2→0。這表明e1,e3,v?,ω?也收斂到零。為了證明e2也收斂到零,將第一個誤差方程表示為e˙1=e2ωr-k1e1(20)e1的二階導數為e¨1=ω˙re2+ωr(-e1ω˙+vrsine3)-k1(e2ωr-k1e1)-k˙1e1(21)再次利用k1的性質,vr和ωr及其導數都是有界的假設以及(9)(10),有e¨1為有界的。而e1可微并收斂至零,e¨1有界,根據Barblat引理,e˙1,即e2ω2收斂到零。同理,第三個誤差方程可表示為e˙3=-k2vre2-k3sine3(22)且其二階導數也可證明是有界的。而e3可微并收斂至零,e¨3有界,根據Barblat引理,當t→∞時,e˙3→0。因此k2vre2,即vre2收斂到零。根據假設,參考速度vr和θr不會同時趨于零,可知t→∞時,一定有e2→0。于是e1,e2,e3,v?,ω?都收斂到零。證明完畢。4.2vr、r3的相關分析以上有若k2為正常數,k1(·)和k3(·)是嚴格為正的有界連續函數,其一階導數也是有界的,則系統穩定。為更好的理解控制增益對系統響應的影響,我們將v?,ω?等于零時閉環系統的方程表示如下:e˙=(-k1e1+(ωr+k2vre2+k3sine3)e2-(ωr+k2vre2+k3sine3)e1+vrsine3-k2vre2-k3sine3)(23)在e=0處將微分方程(23)線性化,得到e˙=Ae(24)其中有A=(-k1ωr0-ωr0vr0-k2vr-k3)(25)為簡化分析過程,假定vr和ωr為常數,系統的閉環極點與下面特征多項式的根相同。(s+2γω0)(s2+2γω0s+ω02)(26)其中γ和ω0為正實值,相應的控制增益為k1=2γω0k2=ω02-ωr2vr2k3=2γω0(27)上式可見當vr趨于零時,增益k2將無限增大。解決這一問題的一個途徑是使得閉環極點依賴于vr和ωr,見參考文獻,選取ω0=(ωr2+bvr2)1/2。于是控制增益變為k1=2γ(ωr2+bvr2)1/2k2=bk3=2γ(ωr2+bvr2)1/2(28)4.3對于問題的解決設計有以上所設計的控制器可以跟蹤任何的參考軌跡,但實際應用中,初始跟蹤誤差很大或參考軌跡不是連續曲線時,將會出現初始時刻速度跳變問題,或方程(10)中的速度過大使得機器人無法獲得的情況。我們采取神經動力學模型來解決這一問題。其典型的表述形式為:dζdt=-Aζ+(B-ζ)S+(t)-(D+ζ)S-(t)(29)則改進后的速度控制器(10)轉化為:vd(vr,ωr,e1,e3)=vrcosζe3+k1(vr,ωr)ζe1ωd(vr,ωr,e1,e3)=ωr+k2vrζe2+k3(vr,ωr)sinζe3(30)其中的ζe1,ζe2,ζe3滿足如下的神經動力學方程:dζe1dt=-Axζe1+(Bx-ζe1)S+(e1)-(Dx+ζe1)S-(e1)dζe2dt-Ayζe2+(By-ζe2)S+(e2)-(Dy+ζe2)S-(e2)dζe3dt=-Aθζe3+(Bθ-ζe3)S+(e3)-(Dθ+ζe3)S-(e3)(31)5atlp環境下的仿真為了驗證本文所設計的控制算法,我們采用二自由度機器人模型在matlab環境下進行仿真。對于任何軌跡的跟蹤都可以選擇參數c1=c2=100,β1=β2=10和b=250。機器人動力學參數b1,b2未知,但符號已知,這里我們選為b1=b2=0.5。5.1機器人起始點計算首先考慮跟蹤軌跡為直線的情況,其參考軌跡表示為xr(t)=0.5t,yr(t)=0.5t,θr(t)=π/4,且參考直線起始于qr(t)=[xr(0),yr(0),θr(0)]T=[0,0,π/4]T。實際的機器人的起始點位于。q(t)=[x(0),y(0),θ(0)]T=