一類非線性系統的自適應控制設計

0非線性設計方法近年來，反走法和后推法引起了相關科學家的關注，并在航空航天和機器人控制項目中取得了成功的應用。在文獻中介紹的是用自適應反饋線性化來設計模型參考自適應控制器,由于參數估計的高階倒數將出現在高階系統的控制律中,所以此方法不能應用于通過反饋進行線性化的所有系統中。基于文獻,本文提出了另外一種非線性設計方法——反步法。并舉例說明了它在自適應控制器設計中的應用。控制器的設計基于backstepping思路,在每一步設計中,都可以得到一個由V函數,不確定參數的自適應調節函數和一個已知李亞普諾夫函數的虛擬控制系統的鎮定函數組成的三元組,整個系統的V函數和自適應控制律由最后一步得出。它適用于可狀態線性化或嚴參數反饋的不確定系統,可以方便的用符號代數軟件來實現。應用此方法所設計出來的自適應控制器可保證整個非線性系統的穩定性,通過適當的引入虛擬控制,使得其與虛擬反饋間具有某種漸近特性,從而實現整個系統的漸近鎮定。1漸進定位功能的實現考慮單輸入單輸出非線性系統˙x1=x2+f1(x1)˙x2=x3+f2(x1?x2)?˙xi=xi+1+fi(x1,??xi)?˙xn=fn(x1,??xn)+u}(1)其中:x∈Rn為系統的狀態變量,u∈R為系統的輸入變量。非線性部分fi(x1,…,xi)呈下三角結構。反步法的設計思想是視每一個子系統˙xi=xi+1+fi(x1???xi)中的xi+1為虛擬控制,通過確定適當的虛擬反饋xi+1=γi(i=1,…,n-1)使得系統的前面狀態達到漸進穩定。但系統的解一般不滿足xi+1=γi,因此,在此引進誤差變量,期望通過控制的作用,使得xi+1與虛擬反饋γi鍵具有某種漸進特性,從而實現整個系統的漸進鎮定。首先,利用虛擬控制,定義n個誤差變量e1=x1e2=x2-γ1(x1)?en=xn-γn-1(x1???xn-1)}(2)其中γi(i=1,…,n-1)待定。在每一步將要構造一個李雅普諾夫函數,使每一狀態分量具有適當的漸進特性。為鎮定原系統,只需鎮定(2)中的誤差即可。第一步:對e1求導得:˙e1=x2+f1(x1)=-e1+x1+x2+f1(x1)(3)令v1=12e21,取γ1=-x1-f1(x1)??γ1(e1),則˙e1=-e1+e˙e2=x3+f2(x1?x2)-??γ1?e1˙e1?x3+f2(?e1?e2)˙v1=-e21+e1e2}(4)顯然,如果e2=0,則e1漸進穩定。但通常e2≠0,因此在此需要引入虛擬控制γ2使得誤差e2=x2-?γ1(e1)具有期望的漸進特性。為此,進行下一步設計。第二步:定義v2=12e22+v1,取?γ2?-e1-e2+?f2(e1?e2),則˙e1=-e1+e2˙e2=-e1-e2+e3˙e3=x4+f3(x1?x2?x3)-2∑i=1??γ2?ei˙ei?x4+f3(e1??e2?e3)˙v2=-e21+e22+e2e3}(5)同理,在此還需要引入虛擬控制α3,使得e3=x3-?γ3具有期望的漸進性態。第i步:定義李雅普諾夫函數vi及虛擬控制γ?i為vi=12(e12+?+ei2)γ?i=-ei-1-ei+f?i(e1???ei)}(6)則在最后一步可得e˙n=fn(x1??,xn)+u-∑i=1n-1?γ?n-1?eie˙i?f?n(e1???en)+uv˙n=-(e12+?+en-12)+en-1en+en[f?n(e1???en)+u]}(7)選取反饋控制規律為:u=γ?n(e1???en)=-en-1-en-f?n(e1???en)(8)由式(7)及式(8)得:e˙n=-en-en-1v˙n=-(e12+?+en-12+en2)}(9)因此誤差是指數漸進穩定的。在上述反步法中給定的虛擬控制(6)及反饋控制(9)下,原非線性系統確實是指數漸進穩定的。2控制變量的選擇考慮下列系統:dx1dt=x2+θf(x1)dx2dt=x3dx3dt=u其中f是一個已知的函數,θ是一個未知參數。本文中,在參數θ是未知的情況下,得到了一個使系統達到穩定的控制規律。引入一個新的狀態變量s1=x6。s1的倒數可以由幾項組成,其中的任何一項僅僅取決于已知的量。為了實現這個目的,可以引入參數估計量θ^和參數估計誤差θ?=θ-θ^。那么s1的導數為:ds1dt=-s1+s1+x2+θ^f(s1)+θ?f(s1)引入狀態變量s2=x2+α1(s1?θ^),其中α1(s1?θ^)=s1+θ^f(s1)(10)則ds1dt=-s1+s2+θ?f(11)下面,將推算出dθ^/dt的近似表達式:ds2dt=x3+?α1?s1(-s1+s2+θ?f)+?α1?θ^dθ^dt(12)應用反步法的觀點,此處把x3看作是一個可以自由選擇的控制變量。通過李雅普諾夫函數可以找出使誤差等式穩定的一個控制律和一個自適應律。經過計算,可得到v的導數:dvdt=-s12+s1s2+x3(s2+?α1?θ^dθ^dt)+θ?(s1f+s2?α1?s1f(s1)-dθ^dt)為了消除包含θ?的項,在此做出如下選擇:dθ^dt=b2(s1?s2)其中b2=s1f(s1)+s2?α2?s1f(s1)(13)函數b2(s1,s2)是選擇參數更新率dθ^/dt的最好方式。通過選擇控制變量x3可以得到:dwdt=-s12-s22b2作為dθ^/dt的估計值,(3)式可以寫為:ds2dt=-s1-s2+x3+s1+s2+?α1?s1?(-s1+s2+θ?f)+?α1?θ^b2+?α1?θ^(dθ^dt-b2)(14)令α2(s1?s2?θ^)=s1+s2+?α1?s1(-s1+s2)+?α1?θ^b2(15)引入狀態變量s3=x3+α2(s1,s2?θ^),微分等式(5)能夠變為:ds2dt=-s1-s2+s3+?α1?s1θ?f+?α1?θ^(dθ^dt-b2)(16)s3的導數為:ds3dt=u+?α2?s1ds1dt+?α2?s2ds2dt+?α2?θ^dθ^dt(17)結合式(2),(7),(8),可得到誤差等式。下面,我們將找出使誤差等式穩定的一個反饋律和一個參數調節規則,選擇李雅譜諾夫函數:v=12(s12+s22+s32+θ?2)經計算,可得:dvdt=-s12-s22+s2s3+s2?α1?θ^(dθ^dt-b2)+s3[u+?α1?θ^(dθ^dt-b2)+?α2?θ^dθ^dt]+θ?[s1f+s2?α1?s1f+s3(?α2?s1+?α1?s1?α2?s2)f-dθ^dt]為了消除包含θ?的項,用下列方式更新參數dθ^dt=s1f+s2?α1?s1f+c(s1?s2)s3(18)其中c(s1?s2)=(?α2?s1+?α1?s1?α2?s2)f。另外,引入b3(s1,s2,s3)=b2+cs3,且α3=s2+s3+?α2?s1(-s1+s2)+?α2?s2(-s1-s2+s3-s32?α1?θ^c)+?α2?θ^b3得到:dθ^dt-b2=cs3李雅譜諾夫函數的導數能夠寫成:dvdt=-s12-s22-s32+s3(u+α3)在反饋規律u=-α3(s1,s2,s3)下,得到:dv/dt=-s21-s22-s32。故只要|s|≠0,則dvdt是負的。3生物控制系統結構的仿真考慮下列非線性系統:x˙1=x2+θx1?x˙2=u其中:u∈R和x∈R2分別代表系統的輸入和狀態變量,θ是未知參數。利用MATLAB對上述系統及控制器結構進行仿真。在仿真中,假設未知參數為:θ1=1,θ2=1,取系統的初始條件為:x1(0)=1,x2(0)=1,s1(0)=1,s2(0)=1。仿真結果如圖1～4所示。4數值穩定性控制本文把一種非線性的設計方法(反步法)應用