控制工程基礎全冊電子教案課題名稱(含教材章節):第一章緒論教學目的和要求：1.了解控制系統的發展歷史；2.熟悉控制系統概念及組成、分類，掌握對控制系統的性能要求。1.自動控制系統的基本概念、分類及性能要求；2.控制理論的發展；3.控制理論在機械制造工業中的應用；4.課程主要學習內容及學時安排。1.1自動控制系統的基本概念一、自動控制自動控制，是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設備或裝置(稱為控制器或控制裝置),使機器、設備或生產過程(統稱被控對象)的某個工作狀態或參數(統稱被控量)自動地按照預定的規律運行。自動控制系統，是指能夠對被控制對象的工作狀態進行自動控制的系統。如：數控機床、室內溫度控制、機車、船舶及飛機自動駕駛、導彈制導等。舉例：恒溫箱的人工控制與自動控制。人工控制的恒溫箱如圖1-1所示。溫度計溫度計加熱電阻絲調壓器圖1-1人工控制的恒溫箱1.觀測恒溫箱內的溫度(被控制量);2.與要求的溫度(給定值)進行比較，得到溫度偏差的大小和方向；3.根據偏差大小和方向調節調壓器，控制加熱電阻絲的電流以調節溫度回復到要求值。人工控制過程的實質：檢測偏差再糾正偏差。人工控制恒溫箱系統的功能框圖如圖1-2所示。期望期望實際大腦手調壓器恒溫箱溫度溫度圖1-2人工控制恒溫箱系統功能框圖給定信號比較電壓比較電壓放大器u+u+功率放大器執行放大器電動機熱電偶調壓器熱電偶加熱電阻絲圖1-3恒溫箱自動控制系統恒溫箱自動控制系統如圖1-3所示。恒溫箱自動控制系統工作原理：1.恒溫箱實際溫度由熱電偶轉換為對應的電壓u2;2.恒溫箱期望溫度由電壓ui給定，并與實際溫度u2比較得到溫度偏差信號u=ui-u?;3.溫度偏差信號經電壓、功率放大后，用以驅動執行電動機，并通過傳動機構拖動調壓器動觸頭。當溫度偏高時，動觸頭向減小電流的方向運動，反之加大電流，直到溫度達到給定值為止，此時，偏差u=0,電機停止轉動。恒溫箱自動控制系統的功能框圖如圖1-4所示。電壓功率放大給定電壓功率放大給定信號減速減速器調壓器溫度t(被控量溫度t(被控量Vnun(控制對象)熱電偶圖1-4恒溫箱自從恒溫箱控制系統功能框圖1.給定量位于系統的輸入端2.被控制量位于系統的輸出3.輸出量(全部或一部分)入量進行比較，產生偏差(給定4.用偏差信號產生控制調節由于存在輸出量反饋，上述減少系統的輸出量與參考輸入量——反饋控制系統。反饋控制系控制方式稱之為反饋控制——"注意：反饋控制系統中，反稱為負反饋。負反饋控制是實現二、控制系統的分類實際的控制系統根據有無反統和半閉環控制系統(反饋信號1.開環控制系統系統僅受輸入量和擾動量控輸出量在整個控制過程中對系統如圖1-5所示。動控制系統功能框圖可見,稱為系統輸入量。也稱為參考輸入量(信端，稱為系統輸出量。通過測量裝置返回系統的輸入端，使之與輸信號與返回的輸出信號之差)信號。作用去消除偏差，使得輸出量維持期望的輸系統能在存在無法預計擾動的情況下，自動(或者任意變化的希望的狀態)之間的偏差統具備測量、比較和執行三個基本功能。其檢測偏差再糾正偏差"。饋信號是與給定信號相減，使偏差越來越小，自動控制最基本的方法。饋作用可分為：開環控制系統、閉環控制系通過系統內部的中間信號獲得)。制；輸出端和輸入端之間不存在反饋回路；的控制不產生任何影響。開環控制系統框圖圖1-5開環控制系統框圖優點：簡單、穩定、可靠。若組成系統的元件特性和參數值比較穩定，且外界干擾較小，開環控制能夠保持一定的精度。缺點：精度通常較低、無自動糾偏能力。舉例如圖1-6開環數控系統所示。開環數控系統開環數控系統CNC插圖1-6開環數控系統2.閉環控制系統輸出端和輸入端之間存在反饋回路，輸出量對控制過程有直接影響。閉環的作用：應用反饋，減少偏差。閉環控制系統框圖如圖1-7所示。輸出量輸入量輸出量控制器對象或過程反饋量圖1-7閉環控制系統框圖優點：精度高，對外部擾動和系統參數變化不敏感。缺點：存在穩定、振蕩、超調等問題，系統性能分析和設計麻煩。舉例如圖1-8全閉環數控系統所示。少少全閉環數控系統實際位置反饋插補指令圖1-8全閉環數控系統3.3.閉環控制系統的基本組成反饋校正主反饋信號x6主反饋反饋元件放大變換信號e給定元件元件控制局部反饋串聯校正圖1-9閉環控制系統的組成控制工程主要研究閉環控制系統，其組成如圖1-9所示，主要包括以下七類元件：(1)給定元件：產生給定信號或輸入信號。(2)反饋元件：測量被控量，產生主反饋信號。(3)被控對象：控制系統所要操縱的對象。(4)比較元件：用來比較輸入信號和反饋信號的偏差。(5)放大元件：對偏差信號進行信號放大和功率放大。(6)執行元件：直接對被控對象進行操作的元件。(7)反饋校正元件：用以穩定控制系統，提高性能。控制系統的其他分類方法：按照系統輸入量是否為恒值可分為：1.恒值控制系統系統輸入量為恒定值。控制任務是保證在任何擾動作用下系統的輸出量2.隨動系統(伺服系統)輸入量的變化規律不能預先確知，其控制要求是輸出量迅速、平穩地跟隨輸入量的變化，并能排除各種干擾因素的影響，準確地復現輸入信號的變按照系統傳遞信號是否為連續信號可分為：1.連續控制系統系統中各部分傳遞的信號為隨時間連續變化的信號。連續控制系統通常采用微分方程描述。2.離散(數字)控制系統系統中某一處或多處的信號為脈沖序列或數字量傳遞的系統。離散控制系統通常采用差分方程描述。此外按系統是否為線性可分為線性系統和非線性系統；系統參量變化是否為常數分為定常系統和時變系統；按控制方法分為機械、電氣、機電、液壓、氣動、熱力等控制系統；按控制被控量的性質可分為溫度、壓力、位置等控制系統等等。三、對控制系統的基本要求1.穩定性系統動態過程的振蕩傾向及其恢復平衡狀態的能力。穩定的系統當輸出量偏離平衡狀態時，其輸出能隨時間的增長收斂并回到初始平衡狀態。穩定性是控制系統正常工作的先決條件。這里討論的控制系統穩定性由系統結構所決定，與外界因素無關。控制精度，主要以穩態誤差來衡量。穩態誤差：系統的調整(過渡)過程結束而趨于穩定狀態時，系統輸出量的實際值與給定量之間的差值。3.快速性輸出量和輸入量產生偏差時，系統消除這種偏差的快慢程度。快速性表征系統的動態性能。不同性質的控制系統，對穩定性、精確性和快速性要求各有側重。系統的穩定性、精確性、快速性相互制約，應根據實際需求合理選擇。1.2控制工程的發展公元前1400-1100年，中國、埃及和巴比倫相繼出現自動計時漏壺，人類產生了最早期的控制思想。公元100年，亞歷山大的希羅發明開閉廟門和分發圣水的自動計時裝置。公元1788年，英國人J.Watt用離心式調速器控制蒸汽機的速度，由此產生了第一次工業革命。1868年：J.C.Maxwell發表《調速器》,提出反饋控制的概念及穩定性1884年：E.J.Routh提出勞斯穩定性判據。1892年：A.M.Lyapunov提出李雅普諾夫穩定性理論。1895年：A.Hurwitz提出赫爾維茨穩定性判據。1932年：H.Nyquist提出乃奎斯特穩定性判據。1945年：H.W.Bode提出反饋放大器的一般設計方法1948年：N.Wiener發表《控制論》,標志經典控制理論基本形成；經典控制理論以傳遞函數為基礎，主要研究單輸入一單輸出(SISO)系統的分析和控制問題。1950年：W.R.Evans提出根軌跡法，進一步充實了經典控制論。1954年：錢學森用英文出版《工程控制論》,首先把控制論推廣到工程技術領域50年代末60年代初：現代控制理論形成；現代控制理論以狀態空間法為基礎，主要分析和研究多輸入-多輸出(MIMO)、時變、非線性等系統的最優控制、最優濾波、系統辨識、自適應控制、智能控制等問題；控制理論研究的重點開始由頻域移到從本質上說是時域的狀態空間方法。1956年：龐特里亞金(IⅡIOHTPHTMH,π.C.)提出極大值原理。1957年：R.I.Bellman提出動態規劃理論。1960年：R.E.Kalman提出卡爾曼濾波理論1960～1980年：確定性系統的最優控制、隨機系統的最優控制、復雜系統的自適應和自學習控制1980迄今：魯棒控制、Hao控制、非線性控制、智能控制等。接著短短的幾十年里，在各國科學家和科學技術人出現了生物控制論，經濟控制論和社會控制論等，控制理論已經滲透到各個領域，并伴隨著其它科學技術的發展，極大地改變了整個世界。控制理論自身也在創造人類文明中不斷向前發展。控制理論的中心思想是通過信息的傳遞、加工處理制，控制理論是信息學科的重要組成方面。根據自動控制理論的內容和發展的不同階段，控制理論"和“現代控制理論"兩大部分。"經典控制理論"的內容是以傳遞函數為基礎，以頻率法和根軌跡法作為分析和綜合系統基本方法，主要研究單輸入，單輸出這類控制系統的分析和設計問題。.3控制理論在機械制造工業中的應用機電工業是我國最重要的支柱產業之一，而傳統的機電產品正在向機一體化(Mechatronics)方向發展。機電一體化產品或系統的顯著特點是控制自動化。機電控制型產品技術含量高，附加值大，在國內外市場上具有很強的競爭優勢，形成機電一體化產品發展的主流。當前國內外機電結合型產品，諸如典型的工業機器人，數控機床，自動導引車等都廣泛地應用了控制理論。舉例：機器人關節伺服系統(圖1-10);數控機床(圖1-11);自動導引小車(AGV)(圖1-12)。伺服放大器功率數字器器電路++圖1-10機器人關節伺服系統圖1-11數控機床圖1-12自動導引小車1.4課程主要內容及學時安排一、本課程的基本要求包括：(1)掌握機電反饋控制系統的基本概念，其中包括機電反饋控制系統的基本原理、機電反饋控制系統基本組成、開環控制、閉環控制等；(2)掌握建立機電系統動力學模型的方法；(3)掌握機電系統的時域分析方法；(4)掌握機電系統的頻域分析方法；(5)掌握模擬機電控制系統的分析及設計綜合方法。章(節)內容學時實驗(上機)學時(習題課)學時學時一、緒論22型882426266合計6控制工程基礎教案年至年第學期第周星期課題名稱(含教材章節):第二章控制系統的動態數學模型教學目的和要求：1、掌握線性系統微分方程的建立和拉普拉斯變換；2、掌握傳遞函數的定義，典型環節的傳遞函數；3、掌握開環控制系統，閉環控制系統傳遞函數的計算方法.教學重點：掌握開環控制系統，閉環控制系統傳遞函數的計算方法教學難點：動態結構圖的繪制及等效變換1.拉氏變換及反拉變換；2.傳遞函數的定義、性質；3.典型環節的傳遞函數；4.動態結構圖及等效變換；5.閉環控制系統傳遞函數的運算，方塊圖的變換。一、數學模型的基本概念數學模型是描述系統輸入、輸出量以及內部各變量之間關系的數學表達式，它揭示了系統結構及其參數與其性能之間的內在關系。經典控制理論：以傳遞函數為基礎。現代控制理論：以狀態空間方程為基礎。而以物理定律及實驗規律為依據的微分方程又是最基本的數學模型，是列寫傳遞函數和狀態空間方程的基礎。建立數學模型的方法：依據系統及元件各變量之間所遵循的物理或化學規律列寫出相應的數學關系式，建立模型。人為地對系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型進行逼近。這種方法也稱為系統辨識。數學模型應能反映系統內在的本質特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。二、質量-彈簧-阻尼系統機電控制系統的受控對象是機械系統。在機械系統中，有些構件具有較大的慣性和剛度，有些構件則慣性較小、柔度較大。在集中參數法中，我們將前一類構件的彈性忽略將其視為質量塊，而把后一類構件的慣性忽略而視為無質量的彈簧。這樣受控對象的機械系統可抽象為質量-彈簧-阻尼系統。例：進給傳動裝置示意圖及等效力學模型WkDWkDWJ12m-?MD?D??系統2系統3機械系統中以各種形式出現的物理現象，都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素：1.質量：牛頓第二定律m參考點圖2-2質量2.彈簧：胡克定律圖2-3彈簧3.阻尼：阻尼力與速度成正比D圖2-4阻尼例：機械平移系統圖2-5機械平移系統講解時注意：靜止(平衡)工作點作為零點，以消除重力的影響化簡上述三式可得：;D;D方程描述。顯然，微分方程的系數取決于系統的結構參數儲能元件(慣性質量、彈簧)的數量。0kD圖2-6機械平移系統系統運動方程為一階常系數微分方程。k柔性軸粘性液體齒輪端J圖2-7機械旋轉系統例：組合機床動力滑臺及其力學模型動力滑臺DkMD圖2-8組合機床動力滑臺及其力學模型三、電路系統電路系統三個基本元件：電阻、電容和電感。1.電阻：歐姆定律“()圖2-9歐姆定律圖2-10電容圖2-11電感一般R、L、C均為常數，上式為二階常系數微分方程。若L=0,則系統簡化為：即可得：四、電動機OOCuo(1aR-+ODJ星T圖2-14電動機等效電路原理圖磁場對載流線圈作用的定律：基爾霍夫定律：電磁感應定律：牛頓第二定律：LJ6()+(L,D+RJ)δ,(T)+(R,D+K,K.)θ,(t)為電樞控制式直流電動機的控制系統的動態數學模型。當電樞電感較小時，通常可忽略不計，系統微分方程可簡化為R,J6,(t)+(R,D+K,K)θ,(t)=五、小結1.建立數學模型的一般步驟：(1)分析系統工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統和各元件的輸入、輸出量；(2)從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件的動態微分方程；(3)消去中間變量，得到描述元件或系統輸入、輸出變量之間關系的微分(4)標準化：右端輸入，左端輸出，導數降冪排列2.單輸入、單輸出微分方程的一般形式式中，a?,a?,…,a和b,b?,…,b,為由系統結構參數決定的實常數，2.2數學模型的線性化一、線性系統與非線性系統1.線性系統可以用線性微分方程描述的系統。如果方程的系數為常數，則為線性定常系統；如果方程的系數是時間t的函數，則為線性時變系統；線性是指系統滿足疊加原理，即：可加性：齊次性：或2.非線性系統用非線性微分方程描述的系統。非線性系統不滿足疊加原理。實際的系統通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內成立。為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統簡化為線性系統處理。線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。二、非線性系統數學模型的線性化1.泰勒級數展開法函數y=f(x)在其平衡點(xo,yo)附近的泰勒級數展開式為：略去含有高于一次的增量△x=x-x的項，則：上式即為非線性系統的線性化模型，稱為增量方程。y=f(x?)稱為系統的靜態方程；由于反饋系統不允許出現大的偏差，因此，這種線性化方法對于閉環控制系統具有實際意義。增量方程的數學含義就是將參考坐標的原點移到系統或元件的平衡工作點上，對于實際系統就是以正常工作狀態為研究系統運動的起始點，這時，系統所有的初始條件均為零。對多變量系統，如：y=f(x,x?),同樣可采用泰勒級數展開獲得線性化的增量方程。增量方程：靜態方程：,2.滑動線性化——切線法線性化增量方程為：Vo圖2-15滑動線性化切線法是泰勒級數法的特例。三、系統線性化微分方程的建立1.建立步驟：(1)確定系統各組成元件在平衡態的工作點；(2)列出各組成元件在工作點附近的增量方程；(3)消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；例：單擺運動線性化801圖2-16單擺運動T(1)-mglsinθ。(t)=ml2將非線性在θ。=0點附近泰勒展開例：閥控液壓缸PooXQX0XQXPMP圖2-17閥控液壓缸液壓腔工作腔流動連續性方程為：液壓腔力平衡方程為：2.線性化處理的注意事項線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；某些典型的本質非線性，如繼電器特性、間隙、死區、摩擦等，由于存在不連續點，不能通過泰勒展開進行線性化，只有當它們對系統影響很小時才能忽略不計，否則只能作為非線性問題處理。2.3拉式變換及反變換一、拉氏變換設函數f(t)(t≥0)在任一有限區間上分段連續，且存在一正實常數σ,使則函數f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=σ+jo(σ,均為實數)為復變數；稱為拉普拉斯積分。F(s)稱為函數f(1)的拉普拉斯變換或象函數，它是一個復變函數；f(t)稱為F(s)的原函數；L為拉氏變換的符號。二、拉氏反變換為拉氏反變換的符號。Laplace(拉普拉斯)變換是描述、分析連續、線性、時不變系統的重要工具!拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時域和頻域間的聯系，而拉氏變換建立了時域和復頻域間的聯系。三、簡單函數的拉氏變換1.單位階躍函數1(1)10單位階躍函數10圖2-18單位階躍函數2.指數函數1t0t指數函數圖2-19指數函數f(t)=e“(a為常數)3.正弦及余弦函數1t0t圖2-20正弦及余弦函數由歐拉公式，有：從而04.單位脈沖函數δ(t)1E單位脈沖函數圖2-21單位脈沖函數由洛必達法則：1t圖2-22單位速度函數7.冪函數圖2-23單位加速度函數函數的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉換四、拉氏變換性質1.疊加原理齊次性：L[af(1)]=aL[f(1)],a為常數；疊加性：L[afl(t)+bf2(1)]=aL[fl(1)]+bL[f2(1)],a,b為常數；顯然，拉氏變換為線性變換。2.微分定理式中，f'(0),f"(0),……為函數f(t)的各階導數在t=0時的值。當f(t)及其各階導數在t=0時刻的值均為零時(零初始條件):當f(t)在t=0處具有間斷點時，df()/dt在t=0處將包含一個脈沖函數。故若f0+)≠f(0一),則：3.積分定理當初始條件為零時若f(0+)≠f(0一),則：同樣[[當初始條件為零時4.衰減定理5.延時定理設當t<0時，f(t)=0,則對任意t≥0,有：7.終值定理 8.定理的像函數9.f(1)的像函數10.的像函數11.周期函數的像函數若函數f(t)是以T為周期的周期函數，即f(t+T)=f(t),則12.卷積定理其中，f(t)*g(1)表示函數ft)和g(1)的卷積。若<0時，f(t)=g(1)=0,則f(1)和g(1)的卷積可表示為五、拉氏反變換1.部分分式法如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=Fi(s)+F2(S)+...Fn假定Fi(s),F2(s),…,Fn(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則在控制理論中，通常為了應用上述方法，將F(s)寫成下面的形式式中，pi,p?,.,pn為方程A(s)=0的根的負值，稱為F(s)的極點；ci=b此時，即可將F(s)展開成部分分式。(1)只含不同單極點的情況式中，A,為常數，稱為s=-p極點處的留數。于是例：求的原函數。(2)含共軛復數極點情況方法1假設F(s)含有一對共軛復數極點-p、-p?,其余極點均為各不相同的實數極點，則式中，A和A?的值由下式求解：上式為復數方程，令方程兩端實部、虛部分別相等即可確定A和A的值。方法2此時F(s)仍可分解為下列形式：由于p、p,為共軛復數，因此，A和A?也為共軛復數。方法1例：求的原函數。所以t方法2例：(3)含多重極點情況設F(s)存在r重極點-p,其余極點均不同，則式中，A,…,A,利用前面的方法求解。A=[F(s)(s+Po)']s=-p注意到：例：求的原函數。A?=[F(s)(s+1)]s=-1=2于是(4)借用拉氏變換解常系數線性微分方程求解步驟：a.將微分方程通過拉氏變換變為s的代數方程；b.解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；c.應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。象函數原函數象函數拉氏反變換(微分方程的解)拉氏反變換代數方程圖2-24拉式變換法求解線性微分方程的過程實例設系統微分方程為：若x(t)=1(t),初始條件分別為x'(0)、x,(0),試求x,(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換所以當初始條件為零時：2.4傳遞函數以及典型環節的傳遞函數一、傳遞函數的概念和定義1.傳遞函數設線性定常系統的微分方程為：則零初始條件下，其拉式變換為：as"X。(s)+a,s"-X。(s)+…+a,-sX。(s=bs"X,(s)+bs"-X,(s)+…+bm-sX,(s)+b定義傳遞函數為：即在零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。零初始條件：(1)t<0時，輸入量及其各階導數均為0;(2)輸入量施加于系統之前，系統處于穩定的工作狀態，即t<0時，輸出量及其各階導數也均為0。傳遞函數有以下特點：(1)比微分方程簡單，通過拉氏變換，實數域復雜的微積分運算已經轉化為簡單的代數運算；(2)輸入典型信號時，其輸出與傳遞函數有一定對應關系，當輸入是單位脈沖函數時，輸入的象函數為1,其輸出象函數與傳遞函數相同；(3)令傳遞函數中的s=jw,則系統可在頻率域內分析(詳見第四章);(4)G(s)的零極點分布決定系統動態特性。2.傳遞函數求解示例例1.質量-彈簧-阻尼系統的傳遞函數MDkD圖2-25質量-彈簧-阻尼系統所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：ms2X。(s)+DsX。(s)+kX。(s)=F按照定義，系統的傳遞函數為：例2.R-L-C無源電路網絡的傳遞函數C圖2-26R-L-C無源電路網絡所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：LCs2U。(s)+RCsU。(s)+U。(s按照定義，系統的傳遞函數為：3.傳遞函數的幾點說明：(1)傳遞函數是一種以系統參數表示的線性定常系統輸入量與輸出量之間的關系式；傳遞函數的概念通常只適用于線性定常系統；(2)傳遞函數是s的復變函數。傳遞函數中的各項系數和相應微分方程中的各項系數對應相等，完全取決于系統結構參數；(3)傳遞函數是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統對所給定的平衡工作點處于相對靜止狀態。因此，傳遞函數不反映系統在非零初始條件下的全部運動規律；(4)傳遞函數只能表示系統輸入與輸出的關系，無法描述系統內部中間變量的變化情況；(5)一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的關系，適合于單輸入單輸出系統的描述。二、典型環節的傳遞函數1.比例環節輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。其運動方程為：xo(t)=Kx(t)xo(t)、x;(t)—分別為環節的輸出和輸入量；K—比例系數，等于輸出量與輸入量之比。比例環節的傳遞函數為：例11齒輪傳動副RR?RR??七比例運算放大器凡運動方程為下面一階微分方程形式的環節稱為一階慣性環節。其傳遞函數為：T—時間常數，表征環節的慣性，和環節結構參數有關。例：彈簧-阻尼器環節彈簧-阻尼器組成的環節,輸出量正比于輸入量的微分。例：測速發電機00o測速發電機圖2-29微分環節例圖無負載時例：無源微分網絡C圖2-30微分環節例圖顯然，無源微分網絡包括有慣性環節和微分環節，稱之為慣性微分環節，只有當|Ts|<<1時，才近似為微分環節。在物理系統中輸入輸出同量綱的微分環節很難獨立存在，經常和其它環節一起出現。除了上述微分環節外，還有一類一階微分環節，其傳遞函數為：微分環節的輸出是輸入的導數，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統以有關輸入變化趨勢的預告。因此，微分環節常用來改善控制系統的動態性能。4.積分環節輸出量正比于輸入量對時間的積分。運動方程為：傳遞函數為：積分環節特點：(1)輸出量取決于輸入量對時間的積累過程；(2)具有明顯的滯后作用。如當輸入量為常值A時，由于輸出量須經過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A。積分環節常用來改善系統的穩態精度。如：有源積分網絡CaO+OR圖2-31積分環節例圖5.二階振蕩環節含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質，運動方程為：傳遞函數：式中，T—振蕩環節的時間常數—阻尼比，對于振蕩環節，0<s<1K—比例系數振蕩環節傳遞函數的另一常用標準形式為(K=1):,con稱為無阻尼固有角頻率。例：質量-彈簧-阻尼系統MDkD圖2-32二階振蕩環節例圖傳遞函數：當D<2√mk時，為振蕩環節。6.延遲環節運動方程：傳遞函數：式中，r為純延遲時間。延遲環節與慣性環節的區別：(1)慣性環節從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；(2)延遲環節從輸入開始之初，在0-t時間內，沒有輸出，但t=t之后，輸出等于之前時刻的輸入。裝置或元件；(2)一個環節往往由幾個元件之間的運動特性共同組成；(3)同一元件在不同系統中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環節的作用。三、幾點結論(1)傳遞函數是復數s域中的系統數學模型，其參數僅取決于系統本身的結構及參數，與系統的輸入形式無關；(2)若輸入給定，則系統輸出特性完全由傳遞函數G(s)決定，即傳遞函數表征了系統內在的固有動態特性；(3)傳遞函數通過系統輸入量與輸出量之間的關系來描述系統的固有特性。即以系統外部的輸入一輸出特性來描述系統的內部特性。2.5系統函數方塊圖和信號流圖一、系統函數的圖解表示方法1.方塊圖系統方塊圖是控制系統的動態數學模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統中各環節間的相互關系及其功能以及信號在系統中的傳遞、變換過程。2.信號流圖是表示控制系統的另一種圖形，與方塊圖有類似之處，可將系統函數方塊圖轉化為信號流圖。二、方塊圖的結構要素系統方框圖是系統控制系統的動態數學模型的圖解形式。可以形象直觀地描述系統中各環節間的相互關系及其功能以及信號在系統中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統的數學關系式相同，其方框圖也不一定相同。1.信號線帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記變量，即信號的時間函數或象函數。圖2-33信號線2.信號引出點(線)表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。圖2-34信號引出線3.函數方塊(環節)傳遞函數的圖解表示。圖2-35函數方塊函數方塊具有運算功能，即：4.求和點(比較點、綜合點)信號之間代數加減運算的圖解。用符號“×”及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的"+"或“-”表示加上此信號或減去此信號。相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數運算的交換律、結合律和分配律。求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。任何系統都可以由信號線、函數方塊、信號引出點及求和點組成的方框函數方塊函數方塊 三、系統方框圖的建立(1)建立系統各環節的微分方程，明確信號的因果關系(輸入/輸出);(2)對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖；(3)按照信號在系統中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統的方框圖。Ru(1)Cu.()i(n)圖2-38無源RC網絡拉氏變換得：從而可得系統各方框單元及其方框圖：11R于是可得系統框圖：圖2-39無源RC網絡方框圖1.方框圖的運算法則(1)串聯圖2-40串聯運算法則(2)并聯++G?(s)+G?(s)+…+G,(s)圖2-41并聯運算法則(3)反饋仟X(s)G(s)X.5)1+G(s)H(s即對于具有負反饋的環節，其傳遞函數等于前向通道的傳遞函數除以1加上前向通道與反饋通道傳遞函數的乘積。稱G(s)H(s)為閉環系統的開環傳2.方塊圖變換法則(1)求和點的移動CCG(s)B士1AAABBBCC4土±求和點后移求和點前移(2)引出點的移動AACCCAAACCCACAACCAACCG(s)引出點前移引出點后移圖2-43引出點的移動法則3.由方框圖求系統傳遞函數基本思路：利用等效變換法則，移動求和點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的簡單回路。例：求下圖所示系統的傳遞函數。+B圖2-43由方框圖求系統傳遞函數圖例+2)消去H?(s)G?(s)反饋回路+—3)消去H?(s)反饋回路X,(s)X,(s)X?(s)G(s)G?(?)G?(s)—4)消去H?(s)反饋回路X。(s)G(S)G(S)G(s)2.6控制系統傳遞函數推導舉例一、等效彈性剛度—彈簧一阻尼系統表示。對于質量一彈簧一阻尼系統，利用等效彈性剛度的概念，可以避免從微分方程開始列寫、而直接列寫復頻域內的代數方程，使繪制系統方塊圖和求取系統傳遞函數變得簡便。等效彈性剛度的說明見表表2-1等效彈性剛度說明剛度kD二、等效復阻抗類似于機械系統中引入等效彈性剛度的概念，對于電路網絡系統，利用復阻抗的概念，也可以避免從微分方程開始列寫、而直接列寫復頻域內的代數方程，使繪制系統方塊圖和求取系統傳遞函數變得簡便。復阻抗的說明見表2-2。表2-2等效復阻抗說明時域方程電阻負載RR電容負載電感負載L三、機械系統傳遞函數推導舉例例：當汽車行駛時，輪胎的垂直位移作用于汽車懸掛系統上，系統的運動由質心的平移運動和圍繞質心的旋轉運動組成。W車體W質心車架汽車懸掛系統(垂直方向)mmK?mmK?D??簡化的懸掛系統(垂直方向)列寫微分方程如下所示：假定零初始條件，作拉式變換得：繪制各環節方塊圖：KX(s)KX(s)Fx?(s)?一m?s2+Fn(s)KKKK?K?ms+圖2-46汽車懸掛系統方塊圖1?圖2-47汽車懸掛系統方塊圖簡圖系統傳遞函數為：系統數學模型的MATLAB實現Matlab簡介：1980年前后，美國moler博士構思并開發；最初的matlab版本是用fortran語言編寫，現在的版本用c語言改寫；1992年推出了具有重要意義的matlab4.0版本；并于1993年推出了其windows平臺下的微機版，目前matlab2012版是比較新的版本。一、控制系統數學模型要分析系統，首先需要能夠描述這個系統。例在MATLAB中，多項式通過系數行向量表示，系數按降序排列。如要輸入多項式：x4-12x3+25x+126在MATLAB中，用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：然后利用下面的語句就可以表示這個系統：其中tf()代表傳遞函數的形式描述系統，還可以用零極點形式來描述，語句為而且傳遞函數形式和零極點形式之間可以相互轉化，語句為當傳遞函數復雜時，應用多項式乘法函數conv()等實現。例如計算閉環傳遞函數：系統的基本連接方式有三種：串連、并聯和反饋串連：sys=series(sys1,sys2)如果是單位反饋系統，則可使用cloop()函數，sys=cloop(sys1,-1)應用舉例用MATLAB展開部分分式用num和den分別表示F(s)的分子和分母多項式，即：num=[b0b1…MATLAB提供函數residue用于實現部分分式展開，其句法為：行向量。若無重極點，MATLAB展開后的一般形式為：若存在q重極點p(j),展開式將包括下列各項：例：求下式的部分分式展開。rr1展開式為：二、用MATLAB求系統傳遞函數已知兩個系統分別求兩者串聯、并聯連接時的系統傳遞函數，并求負反饋連接時系統的零、極點增益模型。Laplace變換的由來(個人整理、理解):記a,=a(n),。若取a(n)=1,則A(x)=1+x+x2+…+x”,該式在x<1時，收斂于。上式說明：在實數域取一離散數集(n=0,1,2,…),可得到不同的輸出結果(函數)。若取一連續區間，該冪級數又會得到什么結果呢?例如取n為0≤n≤o,符合常規起見，置換n為t,計算∑a(t)x',0≤t≤o等同于計算廣義積分因為這會增加計算復雜性；當指數的底是e時，做積分和微分運算時會簡單一些。因為x=e"x,故x'=(e")。我還希望式(1)可被計算，因為如果x的取值不同，式(1)有可能不收斂。比如x=1,式(1)就不收斂。如果x<1,式(1)將有可能收斂。如果x取值為負數，計算式(1)也很麻煩，因為t=1/2時，將會面臨虛數的計算。綜上所述取0<x<1,此時Inx<0。若令-Inx=s,s將是個正數，無論如何，正數總比負數容易處理一些。則式(1)將變為人們總喜歡將函數表示為f(t),故上式可寫成這就是laplace變換了。控制工程基礎教案學期第課題名稱(含教材章節):第三章時域分析法教學目的和要求：1、熟悉控制系統時域性能指標：2、掌握一階、二階系統的時域分析，了解高階系統時域分析；3、掌握勞斯穩定判據及赫爾維茲穩定判據；4、掌握穩態誤差計算。教學重點：二階系統的階躍響應，代數穩定判據、穩態誤差的求取教學難點：高階系統的暫態響應，穩態誤差的求取1.控制系統性能指標2.一階、二階系統的時域分析及高階系統的時域分析；3.控制系統穩定的定義及條件，勞斯穩定性判據；4.控制系統穩態誤差分析。第三章時域分析法控制系統的數學模型是研究控制系統的理論基礎。上一章介紹了建立控制系統數學模型的方法后，就可以運用工程方法對系統的控制性能進行全面的分析和時域分析法是對于線性穩定系統，基于系統的微分方程，利用拉普拉斯變換為數學工具，直接求解控制系統的時域響應，并利用響應表達式及響應曲線分析系統的控制性能，如穩定性、平穩性、快速性、準確性等。3.1典型輸入信號一、瞬態響應的基本概念穩態(靜態)響應：當某一信號輸入時，系統在時間趨于無窮大時的輸出狀瞬態(過渡)響應：系統在某一輸入信號作用下其輸出量從初始狀態到穩定狀態的響應過程。瞬態響應分析是本章要討論的問題。分析瞬態響應時，往往選擇典型輸入信號，這是因為：1.數學處理簡單，給定典型信號下的性能指標，便于分析和綜合系統；2.典型輸入的響應往往可以作為分析復雜輸入時系統性能的基礎；3.便于進行系統辨識，確定未知環節的傳遞函數。二、典型輸入信號1.階躍信號示意圖：a圖3-1階躍信號2.斜坡信號示意圖：a圖3-2斜坡信號大型船閘勻速升降時主拖動系統發出的位置信號，數控機床加工斜面時的進結指令等，均可看成斜坡作用。3.加速度信號數學表達式：示意圖：X0圖3-3加速度信號4.脈沖信號數學表達式：示意圖：t圖3-4脈沖信號當系統輸入為單位脈沖函數時，其輸出響應稱為脈沖響應函數。由于δ函數的拉氏變換等于1,因此系統傳遞函數即為脈沖響應函數的象函理想的單位脈沖作用(t)在現實中是不存在的，它只有數學意義，是一個重要的數學工具，脈沖電壓信號、沖擊力、陣風等，均可近似為脈沖作用。當系統輸入任一時間函數時，如圖3-5所示，可將輸入信號分割為n個脈沖。y(t)=歲(t)gt)ar臺0tt輸出響應為輸入函數與脈沖響應函數的卷積，脈沖響應函數由此又得名權函5.正弦信號示意圖：a0t海浪對艦艇的擾動力，伺服振動臺的輸入指令，電源及機械振動的噪聲等正弦作用。三、典型輸入信號選擇關于在系統分析中選用何種實驗信號的問題，需要根據對系統的考查目的來確定。例如在考查系統的調節能力時，可選用脈沖信號；如果考查系統對于定值信號的保持能力時，就要選用階躍信號來進行系統分析了。地面雷達跟蹤空中的機動目標時，無論是俯仰角的變化還是方位角的變化，都可以近似為等速率變化規律，采用斜坡信號比較恰當。但是在考查船舶自動駕駛系統，或者戰車炮塔在一階系統：能夠用一階微分方程描述的系統。1.一階系統的單位階躍響應象函數為：X(s)=1/s則xo(1)斜率=B0.632A%2836%3.99%2.89%59%5.6.圖3-7一階系統單位階躍響應(4)在t=0處，響應曲線的切線斜率為1/T;,據此鑒別系統是否為一階慣性環節。((t0T圖3-8一階系統對數圖2.一階系統的單位斜坡響應單位斜坡輸入：x;(1)=t-1(1)象函數為：則)x;(1),x;(1),xo(t)F)8(Xt0圖3-9一階系統單位斜坡響應3.一階系統的單位脈沖響應單位斜坡輸入：x(1)=δ(1)象函數為：X,(s)=1則1T圖3-10一階系統單位脈沖響應一階系統的瞬態響應：1.單位斜坡響應xa(t)=3.單位脈沖響應xs(t)=三者的關系：一、二階系統((T用二階微分方程描述的系統稱為二階系統。它的典型形式是二階振蕩環節。標準形式一：:系統的(閉環系統阻尼比，阻尼系數；①.:閉環系統固有頻率，無阻尼自然頻率。標準形式二二、典型輸入響應1.一階系統的單位階躍響應單位階躍輸入：x(1)=1(1)象函數為：X;(s)=1/s則根據二階系統的極點分布特點，分五種情況進行討論。二階系統的極點是一對共軛復根。式中o=0,√1-52是稱為阻尼自振角頻率。進行拉氏反變換，得圖3-11二階系統欠阻尼響應特點：a.以w,為角頻率衰減振蕩；b.隨著5的減小，振蕩幅度加大。(2)臨界阻尼ξ=1二階系統的極點是二重負實根。1圖3-11二階系統臨界阻尼響應特點：無超調。(3)過阻尼5>1二階系統的極點是兩個負實根。則11圖3-12二階系統過阻尼響應特點：無超調，過渡時間長。二階系統的極點是一對共軛虛根。進行拉氏反變換，得21圖3-13二階系統無阻尼響應特點：無阻尼，等幅振蕩。二階系統的極點具有正實部。響應表達式的指數項變為正指數，隨著時間t→o,其輸出x。(1)→o,系統不穩定。其響應曲線有兩種形式：圖3-14二階系統負阻尼響應2.二階系統單位階躍響應小結(1)欠阻尼：衰減振蕩，振蕩角頻率為a,隨著阻尼系數的減小，其振蕩幅度加大；(2)臨界阻尼：無超調；(3)過阻尼：無超調，阻尼比越大，過渡時間越長；(4)零阻尼：等幅振蕩；(5)負阻尼：發散，系統不穩定。3.二階系統單位脈沖響應單位脈沖輸入：x;(1)=δ(1)象函數為：X,(s)=1則0.80.80.200/00負阻尼和零阻尼對工程技術領域沒有意義，故分三種情況進行討論。(1)欠阻尼0<5<1二階系統的極點是一對共軛復根。式中a=0,√1-52。圖3-12二階系統單位脈沖欠阻尼響應特點：a.以為角頻率衰減振蕩；b.隨著5的減小，振蕩幅度加大。(2)臨界阻尼5=1二階系統的極點是二重負實根。05<1圖3-13二階系統單位脈沖臨界阻尼響應(3)過阻尼5>1其響應圖如圖3-13所示。則與二階系統單位脈沖響應相似，分三種情況進行討論。(1)欠阻尼0<5<125ess0n圖3-14二階系統單位斜坡欠阻尼響應(2)臨界阻尼5=1Nt圖3-15二階系統單位斜坡臨界阻尼響應(3)過阻尼5>1圖3-16二階系統單位斜坡過阻尼響應3.4時域分析性能指標一、時域分析性能指標控制系統的性能指標常分為動態性能指標和穩態性能指標，動態性能指標又可分為跟隨性能指標和抗擾性能指標。在控制工程基礎中所討論的系統動態性能指標，一般是指跟隨性能指標。各性能指標如圖31.上升時間t響應曲線從零時刻首次到達穩態值的時間。或從穩態值的10%上升到穩態值的90%所需的時間。允許誤差允許誤差05200圖3-17時域分析性能指標2.峰值時間，響應曲線從零時刻上升到第一個峰值點所需要的時間。3.最大超調量M。響應曲線的最大峰值與穩態值的差與穩態值之比；單位階躍輸入時，即是響應曲線的最大峰值與穩態值的差。通常用百分數表示。4.調整時間t.響應曲線達到并一直保持在允許誤差范圍內的最短時間。響應曲線從零上升到穩態值的50%所需要的時間。6.振蕩次數在調整時間t、內響應曲線振蕩的次數。二、時域性能指標求取1.求取上升時間t系統的單位階躍響應為因為e-5≠0所以由于上升時間是輸出響應首次達到穩態值的時間，故2.求取峰值時間峰值點為極值點，令因為e?5≠03.最大超調量M。M,=x。(t)-14.求取調整時間t10圖3-18漸近線以進入±5%的誤差范圍為例得,當阻尼比較小時，同理可證，進入±2%的誤差范圍，則有0當阻尼比5一定時，無阻尼自振角頻率，越大，則調整時間t、越短，系統響應越快。當ξ較大時，前面兩式的近似度降低。當允許有一定超調時，工程上一般選擇二階系統阻尼比5在0.5~1之間。當變小時，ζ愈小，則調整時間愈長；而當ζ變大時，ζ愈大，調整時間也愈例：下圖所示系統，施加8.9N階躍力后，記錄其時間響應如圖，試求該系統的質量M、彈性剛度k和粘性阻尼系數D的數值。kMDewg圖3-19例圖拉氏變換，并整理得,得q=1.96(rad/s)∴3.5高階系統的瞬態響應一般的高階機電系統可以分解成若干一階慣性環節和二階振蕩環節的疊加。其瞬態響應即是由這些一階慣性環節和二階振蕩環節的響應函數疊加組成。對于一般單輸入——單輸出的線性定常系統，其傳遞函數可表示為設輸入為單位階躍，則如果其極點互不相同，則上式可展開成經拉氏反變換，得函數疊加組成的。當所有極點均具有負實部時，系統穩定。一、高階系統的簡化1.距虛軸最近的閉環極點為主導極點。工程上當極點A距離虛軸大于5倍極點B離虛軸的距離時，分析系統時可忽略極點A。2.系統傳遞函數中，如果分子分母具有負實部的零、極點數值上相近，則可將該零點和極點一起消掉，稱之為偶極子相消。工程上認為某極點與對應的零點之間的間距小于它們本身到原點距離的士分之一時，即可認為是偶極子。例：已知某系統的閉環傳遞函數為試求系統近似的單位階躍響應。解：對高階系統的傳遞函數，首先需分解因式，如果能找到一個根，則多項式可以降低一階。首先我們找到該題分母有一個根s=-20,則利用下面長除法分解出一個因式一)s?+20s3一)80s3+1.6×103s2一)6.4×103s2+1.28×10?s對于得到的三階多項式，我們又找到一個根s2=-60,則可繼續利用長除法分解出一個因式。一)s3+60s2一)20s2+1.2×103s則系統傳遞函數為其零點、極點如下圖所示。根據前面敘述簡化高階系統的依據，該四階系統可簡化為這是一個二階系統，用二階系統的一套成熟的理論去分析該四階系統，將會得到近似的單位階躍響應結果為z.(t)≈1-e-sin(71.4t+圖3-20響應結果3.6系統穩定性的基本概念一、穩定性概念1.單擺圖3-21單擺由單擺可得一般意義上的穩定概念：即系統受擾動后能否恢復原來的狀態。2.閉環控制系統的穩定性問題定義：若控制系統在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復原平衡狀態的性能，則稱該系統為穩定；否則，稱該系統為不穩定。二、系統穩定的充要條件圖3-22系統框圖考慮如圖3-22所示系統方框圖，N(s)到Xo(s)的傳遞函數：x設n(t)為單位脈沖函數，則N(s)=1因為上式的拉式反變換必然可以寫成如果系統穩定，應有條件是：閉環特征方程式的根全部具有負實部。由于系統特征根即閉環極點，故也可以說充要條件為：極點全部在[s]平面的左半面。3.7代數穩定性判據一、勞斯判據勞斯判據是基于方程式的根與系數的關系而建立的。設系統特征方程為sj,s?,…,s,為系統的特征根。復數根與系數的關系：要使全部特征根均具有負實部，必須滿足：1.特征方程的各項系數a,≠0(i=0,1,2,…,n);2.特征方程的各項系數的符號都相同。a;一般取正值，則上述兩條件簡化為q>0。此為系統穩定的必要條件。其充要條件為：如果"勞斯陣列"中第一列所有項均為正，則系統穩定。勞斯陣列：S?C?Cf:…:判別方法：(1)如果勞斯表中第一列的系數均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應的系統是穩定的。(2)如果勞斯表中第一列系數的符號有變化，其變化的次數等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數，相應的系統為不穩定。試應用勞斯穩定判據判斷系統的穩定性。解：s?+8s3+17s2+16s+5=0首先由方程系數可知滿足穩定的必要條件。其次，排勞斯陣列ss3由于勞斯陣列第一列中系數符號全為正，所以控制系統穩定。例2設控制系統的特征方程式為試應用勞斯穩定判據判斷系統的穩定性。解：由方程系數可知已滿足穩定的必要條件。排勞斯陣列第一列系數改變符號2次，閉環系統的根中有2個實部為正，控制系統不穩對于特征方程階次低(n≤3)的系統，勞斯判據可簡化：二階系統特征式為ays2+as+a?,勞斯表為asas?a??a?a??a三階系統特征方程式：aos3+a1s2+a?s+a?=0列勞斯表：故系統穩定的充分必要條件是例3設某反饋控制系統如下圖所示，試計算使系統穩定的K值范圍。十K十圖3-23系統框圖解：系統閉環傳遞函數為特征方程為故使系統穩定的K值范圍為0<K<6。特殊情況一(第一列中有一元素為零)例：特征方程：s?+2s3+s+2s+1=0列勞斯表：一列系數數值符號改變2次，有，兩個根位于右半平面，系統不穩定。特殊情況二(勞斯表中一行元素均為零):至少有三種情況：1.特征方程有一對實根，大小相等，符號相反2.有一對虛根3.有對稱于S平面原點的共軛復根。舉例：系統特征方程為：s?+2s?+8s?+12s3+20s2+16s+16=0列勞斯表：輔助方程：第一列沒改變符號，右半平面沒有根。所以，有一對共軛虛根。系統臨界穩二、胡爾維茨判據系統特征方程：n×n行列式：系統穩定的充要條件：各階主子行列式均>0。即：試應用赫爾維茨穩定判據判斷系統的穩定性。解：由方程系數可知滿足穩定的必要條件。各系數排成行列式由于A,=8>0故該系統穩定。二、代數判據的不足：1.必須知道系統的閉環傳遞函數2.定性——較難從量上判斷系統的穩定程度3.對含有延遲環節的系統無效3.8穩態誤差的基本概念"準確"是對控制系統提出的一個重要要求。對于實際系統來說，輸出量常常不能絕對精確地達到所期望的數值，期望的數值與實際輸出的差就是所謂的誤系統的輸出量通常由瞬態分量和穩態分量組成。誤差也由瞬態誤差和穩態誤差兩部分組成。在過渡過程開始時，瞬態誤差是誤差的主要部分，但它隨時間而逐漸衰減，穩態誤差逐漸成為誤差的主要部分。穩態誤差分析是本章要討論的問題。一、系統的誤差e(1)與偏差ε(1)c(s)G(s)X;(s)圖3-24誤差和偏差的概念誤差是以系統的輸出端為基準來定義的：控制系統的理想輸出量與實際輸出量之差，稱為誤差e(t)。偏差是以系統的輸入端為基準來定義的：控制系統的量之差，稱為偏差ε(1)。E(s)和ε(s)間的關系：s(s)對控制系統的控制作用體現在，如X。(s)≠X。(s),則ε(s)≠0,ε(s)就起控制作用，力圖將X。(s)調節到X。(s)值；反之，當X。(s)=Xa(s),就有s(s)=0,而使s(s)不再對X。(s)進行調節。因此，當X。(s)=X。(s)時，有E(s)=X,(s)-X。(s)H(s)=X,(s)-Xo(s)故又由可得故求出偏差ε(s)后，即可求出誤差E(s)。二、系統的誤差e(t)與偏差ε(t)系統的穩態誤差是指系統進入穩態后的誤差，因此，不討論過渡過程中的情況。只有穩定的系統存在穩態誤差。穩態誤差的定義為其計算可利用拉式變換的終值定理進行：同理，系統的穩態偏差：3.9輸入引起的穩態誤差一、偏差傳遞函數X,(s)+X,(s)+c(s)X。(s)G(s)若考慮圖3-25所示控制系統，有偏差傳遞函數：由上述結論：由上式可知，穩態偏差不僅與系統的結構與參數有關，而且與輸入信號的特性有關。二、靜態誤差系數考慮圖3-25所示控制系統，有偏差傳遞函數：其開環傳遞函數必可以寫成下式：系統”。單位階躍輸入：靜態位置誤差系數：單位階躍輸入的穩態誤差：單位階躍輸入時，0型系統的穩態偏差：I型以上系統：故單位階躍輸入：對I型以上系統e、=0可見，當系統開環傳遞函數中有積分環節存在時，系統階躍響應的穩態值將是無差的。而沒有積分環節時，穩態是有差的。為了減少誤差，應當適當提高放大倍數。但過大的K值，將影響系統的相對穩定性。2.靜態速度誤差系數單位速度輸入：靜態速度誤差系數：單位速度輸入的穩態誤差：單位速度輸入時，0型系統的穩態偏差：I型系統：故單位速度輸入：上述結果說明，0型系統不能跟隨斜坡輸入，因為其穩態偏差為無窮；I型系統可跟隨斜坡輸入，但存在穩態偏差，同樣可增大K值來減少偏差；II型以上系統，對斜坡輸入響應的穩態是無差的3.靜態加速度誤差系數單位加速度輸入：靜態加速度誤差系數：單位加速度輸入的穩態誤差單位加速度輸入時，0型系統的穩態偏差：I型系統：故單位加速度輸入：對Ⅱ型系統可見，輸入為加速度信號時，0、I型系統不能跟隨；I型為有差，要無差需要采用II型或以上。4.各類系統的穩態偏差各類系統的穩態偏差總結如下表所示。表3-1各類系統的穩態偏差系統類別型0II型00穩態偏差與輸入信號的形式有關。在隨動系統中，一般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。由輸入“某種”信號而引起的穩態偏差用一個系數來表示，就叫"某種"誤差系數。如輸入階躍信號而引起的偏差，就叫靜態位置誤差系數。它表示了穩態的精度。該系數越大，表明系統精度越高。如大到o,則穩態無差；如為0,則穩態偏差，表示不能跟隨輸當增加系統型別時，系統的準確性將提高；但系統的穩定性將變差。因為系統開環傳遞函數包含兩個以上積分環節時，要保證系統的穩定性是很難的。因此，III型或更高型的系統實現起來是不易的，實際應用中極少采用。增大K也可提高準確性，但同樣使系統的穩定性變差。因此穩定與準確是有矛盾的，在進行控制系統設計時，需要統籌兼顧。另為減小誤差，是增大系統的開環放大倍數K,還是提高系統的型別也需要視具體情況而定。例：求當x;(t)=1(t)時的穩態誤差物理意義：常值輸入，積分環節前的信號必為零。例：求系統在單位階躍、斜坡、加速度輸入時的穩態誤差：圖3-27例圖解：I型系統，;單位加速度，e=o;故系統不能承受加速度輸入。3.10干擾引起的穩態誤差終值定理同樣是計算干擾引起穩態誤差的基本方法。系統在擾動作用下的穩態偏差反映了系統的抗干擾能力，為便于分析，此時先不考慮給定輸入的作用，即X,(s)=0。對圖3-28所示系統，得干擾傳遞函數為Z(s)X。(s)G?(s)G?(s)圖3-28干擾引起誤差的系統根據終值定理，干擾引起穩態偏差為則干擾引起穩態誤差為求系統穩態誤差應首先判斷系統穩定性。當求兩個量同時作用時線性系統的偏差，可利用疊加原理，分別求出每個量作用情況下的偏差，然后相加求出。為多少?十1十1十十圖3-29例圖解：根據勞斯判據該系統穩定。單位反饋系統的偏差即為誤差。Xo(s)十K十Ks(s+4)X,(s)圖3-30例圖一般而言，如果反饋控制系統對前向通道的擾動是一個階躍函數，則只要保證系統穩定的前提下，在擾動作用點前有一個積分器，就可以消除階躍擾動引起的穩態誤差。如下圖為穩定系統，G1(s)中不包含純微分環節。5圖3-31階躍擾動消除方法同理，如果反饋控制系統對前向通道的擾動是一個斜坡函數，那么只要保證系統穩定的前提下，在擾動作用點前有二個積分器，就可以消除斜坡擾動引起的穩態誤差。如下圖為穩定系統，G1(s)中不包含純微分環節。+十圖3-32斜坡擾動消除方法作為對比，如果將積分器1/s置于干擾點之后，如下圖所示。1+十SG(s)S圖3-33積分器后置系統當沒有積分器1/s時，當設置積分器1/s時，對比兩種情況可以看出，將積分器1/s置于干擾點之后對消除階躍擾動N引起的穩態誤差沒有什么好處。+N(s)十K十圖3-34擾動點位置對系統的影響另外需要注意，當擾動作用點在前向通道時通過環節的調整可以減小其影響，例如前面提到的保證系統穩定的前提下，在擾動作用點前設置積分器或在擾動作用點前加大放大器增益，可使擾動影響減小，但當擾動作用點在反饋通道時，則很難使擾動影響減小。擾動作用點在前向通道，擾動作用點在反饋通道，因此，在擾動作用點前加大放大器增益K,可使擾動影響減小；在擾動作用點后加大放大器增益K并不能使擾動影響減小。3.11減小系統誤差的途徑(1)反饋通道的精度對于減小系統誤差至關重要。反饋通道元部件的精度要高；避免在反饋通道引入干擾。(2)在系統穩定的前提下，對于輸入引起的誤差，增大系統開環放大倍數提高系統型次；對于干擾引起的誤差，在前向通道干擾點前加積分器，增大放大(3)既要求穩態誤差小，又要求良好動態性能，只靠加大開環放大倍數或串入積分環節不能同時滿足要求時，可采用復合控制(順饋)方法對誤差進行補償。補償的方式可分為按干擾補償和按輸入補償。1.按干擾補償圖3-35按干擾補償系統令2.按輸入補償十+圖3-36按輸入補償系統控制工程基礎教案課題名稱(含教材章節):教學目的和要求：1、熟悉根軌跡基本概念；2、掌握繪制根軌跡的基本法則；3、了解廣義根軌跡；4、了解用根軌跡分析系統性能。教學重點：根軌跡基本概念，根軌跡方程，常規根軌跡的繪制及系統性能分析教學難點：根軌跡的繪制法則1.根軌跡的基本概念；2.繪制根軌跡的基本法則；3.利用根軌跡分析系統性能；4.廣義根軌跡。第四章根軌跡法反饋控制系統的動態性能，主要由系統的極點分布所征方程很困難，這就限制了時域分析法在二階以上的控制系統中的應用。1948年，伊凡思(W.R.Evans)根據反饋系統開、閉環傳遞函數之間的內在聯系，提出了直接由開環傳遞函數求閉環特征根的新方法，并且建立了一套法則，這就是在工程上獲得較廣泛應用的根軌跡法。一、根軌跡定義：根軌跡——系統中某一參數在全部范圍內變化時，系統閉環特征根隨之變化的軌跡。十K圖4-1例圖開環傳遞函數：閉環傳遞函數：閉環特征方程：s2+2s+2K=0閉環特征根：s?=-1±√1-2K該例有2個開環極點0,-2;沒有開環零點。閉環特征根是K的函數，K由0-K取不同值：K=0,s=0,s?=-2;K=0.5,s=-1,s=-1;K=1,s=-1+j,s=-1-j;根軌跡直觀表達了K變化時閉環特征根所發生的變化。K圖4-2例題的根軌跡1.2階系統，2個閉環極點，2條根軌跡；2.以開環極點為出發點；3.根軌跡上的點與K值一一對應，是連續的；4.通過選擇開環增益K,可使閉環極點落在根軌跡的任何位置上；5.如果根軌跡上某一點滿足動態特性要求，可計算該點的K值實現設計要求。二、根軌跡方程及相角、幅值條件典型反饋系統的閉環傳遞函數：特征方程(根軌跡方程):1+G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=-1相角條件：幅值條件：開環傳遞函數可寫成下述形式：因此相角條件、幅值條件又可表示為,k=1,2,…4.2繪制根軌跡的基本法則1.根軌跡的起點與終點根軌跡起始于開環極點，終止于開環零點，如果開環零點數m小于開環極點數n,則有n-m條根軌跡終止于無窮遠處。根軌跡起點：(s-p?)(s-p?)L(s-p,)=0根軌跡終點：(s-z?)(s-z?)L(s-zm)=0當n>m時，s→o時，2.根軌跡的分支數根軌跡s平面上的分支數等于閉環特征方程的階數n,也就是分支數與閉環極點的數目相同。這是因為n階特征方程對應n個特征根，當開環增益K由零變到無窮大時，這n個特征根隨K變化必然會出現n條根軌跡。3.根軌跡的對稱性因為開環極點，零點或閉環極點都是實數或者為成對的共軛復數，它們在s平面上的分布對稱于實軸，所以根軌跡也對稱于實軸。4.實軸上的根軌跡實軸上根軌跡區段的右側，開環零極點數目之和應為奇數。由于成對的共軛復根在實軸上產生的相角之和總是等于360°,不會影響實軸上根軌跡的位置，故上述結論由相角條件很容易得出。5.根軌跡的漸近線如果開環零點數m小于開環極點數n,則當K*→o時，趨向無窮遠處的根軌跡共有(n-m)條，這(n-m)條根軌跡趨向于無窮遠處的方位可由漸近線決定。設系統開環傳遞函數為)有(n-m)條漸近線。當s很大時，上式可近似為由上兩式中項s"-m-1系數相等，得漸近線與實軸交點的坐標為即其分子是極點之和減去零點之和。漸近線與實軸正方向的夾角為式中k依次取0,±1,±2,…,一直到獲得(n-m)個傾角為止。例已知系統開環傳遞函數,試繪制其漸近線。解：3個極點；沒有零點；3條漸近線，與實軸坐標為：根軌跡如下圖所示：P00?PPP00?PP圖4-3例題的根軌跡6.根軌跡的起始角與終止角根軌跡的起始角是指根軌跡起點處的切線與水平線正方向的夾角，為：5∠(p-p?)∠(P-z?)?Z圖4-4根軌跡的起始角與終止角根軌跡的終止角是指根軌跡終點處的切線與水平線正方向的夾角，為：7.分離點的坐標幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開(或分開后又相遇)的點，稱為根軌跡的分離點(或會合點)。兩種計算方法：方法(1):因分離點(或會合點)是特征方程的重根，因此可用求重根的方法確定它們的位置。設系統開環傳遞函數為系統閉環特征方程為分離點(或會合點)為重根，必然同時滿足方程由上兩式可得即根據該式，即可確定分離點(或會合點)的參數。得s2+12s+24=0解之，得s?=-2.54,s?=-9.46相應的增益為K?=1.07,K?=14.9。方法(2):設系統開環傳遞函數為由系統閉環特征方程，得求極值即s2+12s+24=0相應的增益為K?=1.07,圖4-5例題根軌跡圖方法(3):分離點(或會合點)的坐標可由方程解出，其中p,為開環極點，z,為開環零點。例已知系統開環傳遞函數為試求系統閉環根軌跡的分離點坐標。解此方程得di在根軌跡上，是所求的分離點。d?不在根軌跡上，則舍棄。根軌跡如下圖所示：Pjm-Km-Kd0-10P2-j圖4-6例題根軌跡圖8.實軸上分離點的分離角恒為90°根軌跡離開分離點時，軌跡切線的傾角稱分離角。由相角條件可推出，當根軌跡從實軸二重極點上分離時，其右邊為偶數個零極點，因此該二重極點相角之和為士(2n+1)×180°,即實軸上分離點的分離角恒為士90°。同理，實軸上會合點的會合角也恒為士90。9.根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交，意味著閉環極點中有極點位于虛軸上，即閉環特征方程有純虛根±jo,系統處于臨界穩定狀態。方法1:將s=jw代入特征方程中得1+G(jw)H(ja)=0或Re[1+G(ja)H(jo)]+Im[1+Gjaja,則可解出值及對應的臨界開環增益K*及K來。求根軌跡與虛軸的交點。解：系統閉環特征方程為D(s)=s(s+1)(s+2)+K?=s3+3s2+2令s=jw,代入上式得D(ja)=(jo)3+3(jo)2+2(ja即聯立得方法2根軌跡與虛軸交點坐標也可通過勞斯判據求出。仍以上例為例，其勞斯表為解得K*=6即為所求。10.系統閉環極點之和為常數(略，不做介紹)11.系統閉環極點之積(略，不做介紹)4.3廣義根軌跡一、參量根軌跡引入等效開環傳遞函數的概念等效開環傳遞函數注意：在此的等效意義是在特征方程相同，或者是閉環極點相同的前提下成立；而此時閉環零點是不同的。例：設單位反饋系統的開環傳遞函數為其中開環增益可自行選定。試分析時間常數對系統性能的影響。要繪制參數根軌跡，首先要求出等效開環傳遞函數的極點。等效開環極點為：注：若分母多項式為高次時，無法解析求解等效開環極點，則運用根軌跡法求解。如本例，求解分母特征根的根軌跡方程為：在本例中，K可自行選定，選定不同K值，然后將W1(s)的零、極點畫在s平面上，繪制出k變化時的根軌跡。j-1σ0二、附加開環零點的作用1.附加適當的開環零點可以改善系統的穩定性。設開環傳遞函數為明不存在有限零點。令為不同的數值：2.附加開環零點的目的，除了改善系統穩定性之外，還可以改善系統的動態性能。結論：只有當附加零點相對原有系統開環極點的位置選配適當，才有可能使系統的穩定性和動態性能同時得到明顯的改善。必要繪制相應的根軌跡，其相角條件為