實驗課程名稱：_數據分析與建模__實驗四最優化模型的建模分析成績實驗者專業班級組別無同組者無實驗日期10月18日第一部分：實驗預習報告（涉及實驗目的、意義，實驗基本原理與辦法，重要儀器設備及耗材，實驗方案與技術路線等）一、實驗目的、意義本實驗旨在通過資料查閱和上機實驗，使學生熟悉和掌握最優化模型的分析辦法和理論，掌握數據分析工具Mathematica，培養和提高數據分析的能力。二、實驗基本原理與辦法最優化模型的分析辦法，數據分析工具Mathematica的使用辦法，以及協助指南文檔等。三、實驗內容及規定最優化模型的建模分析，寫出求解過程及分析結論。1、彩電生產問題的最優化分析一家彩電制造商計劃推出兩種新產品：一種19英寸液晶平板電視機，制造商建議零售價為339美元；另一種21英寸液晶平板電視機，零售價為399美元。公司付出的成本為19英寸彩電每臺195美元，21英寸彩電每臺225美元；還要加上400000美元的固定成本。在競爭的銷售市場中，每年售出的彩電數量會影響彩電的平均售價。據預計，對每種類型的彩電，每多售出一臺，平均銷售價格會下降1美分。并且19英寸彩電的銷售會影響21英寸彩電的銷售，反之亦然。據預計，每售出一臺21英寸彩電，19英寸彩電的平均售價會下降0.3美分，而每售出一臺19英寸彩電，21英寸彩電的平均售價會下降0.4美分。（1）每種彩電應當各生產多少臺，每種彩電的平均售價是多少？（2）最大的盈利利潤是多少，利潤率是多少？2、彩電生產的關稅問題分析仍然是上述的無約束的彩電問題。由于公司的裝配廠在海外，因此美國政府要對每臺電視機征收25美元的關稅。（1）將關稅考慮進去，求最優生產量。這筆關稅會使公司有多少耗費？在這筆耗費中，有多少是直接付給政府，又有多少是銷售額的損失？（2）為了避免關稅，公司與否應當將生產公司重新定址在美國本土上？假設海外的工廠能夠按每年00美元的價格出租給另一家制造公司，在美國國內建設一種新工廠并使其運轉起來每年需要耗費550000美元。這里建筑費用按新廠的預期使用年限分期償還。（3）征收關稅的目的是為了促使制造公司美國國內建廠。能夠使公司樂旨在國內重新建廠的最低關稅額是多少？（4）將關稅定得足夠高，使公司要重建工廠。討論生產量和利潤有關關稅的敏捷性。闡明實際關稅額的重要性。提示：Mathematica中的命令，Solve，D，ReplaceAll(/.)，等。可結合Excel進行列表分析。3、寫出簡短程序，繪制特殊圖形在Mathematica中分別繪制下列五類基本初等函數，依次為：（1）冪函數：y=xμ（μ∈R是常數）；（2）指數函數：y=ax（a>0，且a≠1）；（3）對數函數：y=logax（a>0且a≠1，特別當a=e時，記為y=lnx）；（4）三角函數：如y=sinx，y=cosx，y=tanx等；（5）反三角函數：如y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx等。四、實驗方案或技術路線（只針對綜合型和設計型實驗）按照實驗任務規定，理論結合實際的實驗方案，鞏固課程內容，溫故知新，查遺補漏，扎實理論基礎，提高實驗動手能力。技術路線是，從整體規劃，分環節實施，實驗全方面總結。第二部分：實驗過程統計（可加頁）（涉及實驗原始數據統計，實驗現象統計，實驗過程發現的問題等）1、彩電生產問題的最優化分析（1）求解過程：本題采用五步法求解。【第一步：提出問題】首先，列出變量表，寫出這些變量間的關系和所做的其它假設。例如，有的規定取值非負。然后，采用引入的符號，將問題用數學公式體現。第一步的成果歸納以下：變量：s=19英寸彩電的售出數量（每年）t=21英寸彩電的售出數量（每年）p=19英寸彩電的銷售價格（美元）q=21英寸彩電的銷售價格（美元）C=生產彩電的成本（美元/年）R=彩電銷售的收入（美元/年）P=彩電銷售的利潤（美元/年）假設：p=339–0.01s–0.003tq=399–0.004s–0.01tR=p*s+q*tC=400000+195s+225tP=R–Cs≥0,t≥0目的：求P的最大值【第二步：選擇建模辦法】本題的彩電問題屬于無約束的多變量最優化問題，這類問題普通用多元微積分來解決?！镜谌剑和茖Ｐ偷捏w現式】P=R–C=p*s+q*t–(400000+195s+225t)=(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)此處我令y=P作為求最大值的目的變量，x1=s,x2=t作為決策變量。故原問題可化為：在區域S={(x1,x2):x1≥0,x2≥0}上對：y=f(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)求最大值?！镜谒牟剑呵蠼饽Ｐ汀窟\用第二步選擇的微積分的辦法來求解。a.首先，用Mathematica繪出函數f的三維圖像。繪制二元函數3D圖形的命令：Plot3D[函數,第一變量的范疇,第二變量的范疇,可選項]圖1函數f的三維圖像由上圖可知，f是一種拋物面，且f在S內部達成最大值。b.然后，再用Mathematica繪出函數f的等高線圖。繪制二元函數等高線圖的命令：ContourPlot[函數,第一變量的范疇,第二變量的范疇,可選項]圖2函數f的等高線圖由上圖能夠預計，f的最大值出現在x1=5000，x2=7000附近。c.運用Mathematica分別求出函數f有關x1，x2的偏導數。d.函數f是一種拋物面，欲求得其最高點，只需令x1和x2的偏導數同時為0，建立方程組求解即可。該方程組可運用Mathematica的Solve函數求解，解得：x1=4735.04≈4735,x2=7042.74≈7043e.將求得的x1,x2的值代入函數f的體現式：f(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)即可求得f的最大值。求得f的最大值=553641其中，c、d、e應用Mathematica求解的運行成果以下圖所示：圖3應用Mathematica求解f.求解其它變量：19英寸彩電的平均售價：p=339–0.01*x1–0.003*x2=270.52（美元）21英寸彩電的平均售價：q=399–0.004*x1–0.01*x2=309.63（美元）生產彩電的總成本：C=400000+195*x1+225*x2=2908000（美元/年）利潤率=利潤/總成本=553641/2908000=19%【第五步：回答下列問題】這家公司能夠通過生產4735臺19英寸彩電和7043臺21英寸彩電來獲得最大利潤，每年獲得的凈利潤為553641美元。每臺19英寸彩電的平均售價為270.52美元，每臺21英寸彩電的平均售價為309.63美元。生產總支出為2908000美元，對應的利潤率為19%。（2）分析結論：這些成果顯示出這是有利可圖的，因此建議這家公司應當實施推行新產品的計劃。注意：以上得到的結論是以彩電問題的第一步中所做的假設為基礎的。實際中，在向公司報告結論之前，應當對彩電市場和生產過程所做的假設進行敏捷性分析，以確保成果含有穩健性。2、彩電生產的關稅問題分析（1）將關稅考慮進去，求最優生產量。這筆關稅會使公司有多少耗費？在這筆耗費中，有多少是直接付給政府，又有多少是銷售額的損失？本題仍舊采用五步法求解?！镜谝徊剑禾岢鰡栴}】首先，列出變量表，寫出這些變量間的關系和所做的其它假設。然后，采用引入的符號，將問題用數學公式體現。在前面所述無約束彩電問題的基礎上，增加下列變量和假設：變量：k=支付的關稅總額（美元/年）W=關稅后的總利潤（美元/年）假設：k=25*(s+t)W=P–k目的：求W的最大值【第二步：選擇建模辦法】本題的彩電問題屬于無約束的多變量最優化問題，這類問題普通用多元微積分來解決?！镜谌剑和茖Ｐ偷捏w現式】W=P–k=(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)–25*(s+t)此處我令y=W作為求最大值的目的變量，x1=s,x2=t作為決策變量。故原問題可化為：在區域S={(x1,x2):x1≥0,x2≥0}上對：y=w(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–25*(x1+x2)求最大值。【第四步：求解模型】運用第二步選擇的微積分的辦法來求解。a.首先，用Mathematica繪出函數w的三維圖像。繪制二元函數3D圖形的命令：Plot3D[函數,第一變量的范疇,第二變量的范疇,可選項]圖4函數w的三維圖像由上圖可知，w是一種拋物面，且w在S內部達成最大值。b.然后，再用Mathematica繪出函數w的等高線圖。繪制二元函數等高線圖的命令：ContourPlot[函數,第一變量的范疇,第二變量的范疇,可選項]圖5函數w的等高線圖由上圖能夠預計，w的最大值出現在x1=4000，x2=6000附近。c.運用Mathematica分別求出函數w有關x1，x2的偏導數。d.函數w是一種拋物面，欲求得其最高點，只需令x1和x2的偏導數同時為0，建立方程組求解即可。該方程組可運用Mathematica的Solve函數求解，解得：x1=3809.12≈3809,x2=6116.81≈6117e.將求得的x1,x2的值代入函數w的體現式：w(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–25*(x1+x2)即可求得w的最大值。求得w的最大值=282345其中，c、d、e應用Mathematica求解的運行成果以下圖所示：圖6應用Mathematica求解f.求解其它變量：關稅總耗費：k=25*(x1+x2)=248148（美元/年）總利潤減少額=553641–282345=271296（美元/年）考慮關稅后銷售額的損失額=271296–248148=23148（美元/年）【第五步：回答下列問題】考慮關稅后，這家公司能夠通過生產3809臺19英寸彩電和6117臺21英寸彩電來獲得最大利潤，每年獲得的最大凈利潤為282345美元。這筆關稅會使公司每年多耗費271296美元。在這筆耗費中，有248148美元是直接付給政府的，其它23148美元是銷售額上的損失。（2）為了避免關稅，公司與否應當將生產公司重新定址在美國本土上？假設海外的工廠能夠按每年00美元的價格出租給另一家制造公司，在美國國內建設一種新工廠并使其運轉起來每年需要耗費550000美元。這里建筑費用按新廠的預期使用年限分期償還。【分析問題】當公司將生產公司重新定址在美國本土后：生產成本增加額=550000–00=350000（美元/年）考慮關稅后：總利潤減少額=553641–282345=271296（美元/年）【回答下列問題】由計算可知：在考慮關稅的狀況下，當公司將生產公司重新定址在美國本土后，每年的生產成本增加額350000美元不不大于總利潤減少額271296美元。因此公司不應當將生產公司重新定址在美國本土上。（3）征收關稅的目的是為了促使制造公司美國國內建廠。能夠使公司樂旨在國內重新建廠的最低關稅額是多少？保存前面所設的變量和所做的假設。假設政府對每臺電視機征收x美元的關稅。則關稅后的總利潤W=(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)–x*(s+t)分析：當且僅當國內建廠成本不大于等于關稅前后總利潤的減少額，才干夠使公司樂旨在國內重新建廠。即350000≤553641–W(max)，化簡可得：W(max)≤203641即x≥[(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)–203641]/(s+t)此處我令y=[(339–0.01s–0.003t)*s+(399–0.004s–0.01t)*t–(400000+195s+225t)–203641]/(s+t)作為求最大值的目的變量，x1=s,x2=t作為決策變量。故原問題可化為：在區域S={(x1,x2):x1≥0,x2≥0}上對：y=m(x1,x2)=[(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–203641]/(x1+x2)求最大值。再令x≥m(x1,x2)的最大值即為所求?！厩蠼饽Ｐ汀窟\用微積分的辦法來求解。a.首先，用Mathematica繪出函數m的三維圖像。繪制二元函數3D圖形的命令：Plot3D[函數,第一變量的范疇,第二變量的范疇,可選項]圖7函數w的三維圖像由上圖可知，m是一種拋物面，且m在S內部達成最大值。b.然后，再用Mathematica繪出函數m的等高線圖。繪制二元函數等高線圖的命令：ContourPlot[函數,第一變量的范疇,第二變量的范疇,可選項]圖8函數m的等高線圖由上圖能夠預計，m的最大值出現在x1=3500，x2=6000附近。c.運用Mathematica分別求出函數m有關x1，x2的偏導數。d.函數m是一種拋物面，欲求得其最高點，只需令x1和x2的偏導數同時為0，建立方程組求解即可。該方程組可運用Mathematica的Solve函數求解，解得：x1=3506.2≈3506,x2=5813.89≈5814e.將求得的x1,x2的值代入函數m的體現式：m(x1,x2)=[(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–203641]/(x1+x2)即可求得m的最大值。求得m的最大值≈33其中，c、d、e應用Mathematica求解的運行成果以下圖所示：圖9應用Mathematica求解f.求解其它變量：故x≥33【回答下列問題】為了促使公司樂旨在國內重新建廠，政府可收取的最低關稅額是33美元。（4）將關稅定得足夠高，使公司要重建工廠。討論生產量和利潤有關關稅的敏捷性。闡明實際關稅額的重要性。設每臺彩電的關稅額為x美元，每年19英寸彩電和21英寸彩電的生產量分別為x1,x2臺，每年凈利潤為w美元。1）生產量x1,x2有關關稅x的敏捷性a.粗分析現在假設關稅x的實際值是不同的，對幾個不同的x值，重復前面的求解過程,能夠得到對生產量x1,x2有關x的敏感程度的某些數據。即給定x，對y=w(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–x*(x1+x2)分別求出函數w有關x1，x2的偏導數，再令x1和x2的偏導數同時為0，建立方程組求解。可得對應x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x圖10用x來表達x1和x2用Excel繪出生產量x1,x2有關關稅x的散點圖。圖11生產量x1,x2有關關稅x的散點圖由上述圖表能夠看到生產量x1,x2對關稅x是很敏感的。即如果給定不同的關稅，則生產量x1,x2將會有明顯變化。甚至從理論上分析，當x足夠大時，x1,x2的取值會變為負數。因此，x的取值要適宜、合理，所做的分析才故意義。b.生產量x1,x2有關關稅x的敏捷性的系統分析前面已計算出，使偏導數同時為零的點為x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x，若要x1,x2≥0，只要x≤127.8即可。當0≤x≤127.8時，x1和x2隨著x的增大而不停減小。c.生產量x1,x2對關稅x的敏捷性的相對變化量：由x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x可得：在點x=33處，dx1/dx=-37.037,dx2/dx=-37.037S(x1,x)=(dx1/dx)*(x/x1)=-0.35S(x2,x)=(dx2/dx)*(x/x2)=-0.21即每臺彩電的關稅額x增加1%，則造成每年19英寸彩電和21英寸彩電的生產量x1,x2分別減少0.35%，0.21%2）利潤w有關關稅x的敏捷性a.粗分析w=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–x*(x1+x2)由前面分析可得，生產量x1,x2對關稅x是很敏感的，且此處分析的利潤應當是在x=33美元的狀況下的最大利潤，故將x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x代入式子w=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–x*(x1+x2),得w=(339-0.01*(4735.04-37.037x)-0.003*(7042.74-37.037x))*(4735.04-37.037x)+(399-0.004*(4735.04-37.037x)-0.01*(7042.74-37.037x))*(7042.74-37.037x)-(400000+195*(4735.04-37.037x)+225*(7042.74-37.037x))-x*((4735.04-37.037x)+(7042.74-37.037x))用Excel繪出利潤w有關關稅x的散點圖。圖12利潤w有關關稅x的散點圖由上述圖表能夠看到利潤w對關稅x是很敏感的。即如果給定不同的關稅，則利潤x將會有明顯變化。甚至從理論上分析，當x足夠大時，w的取值會變為負數。因此，x的取值要適宜、合理，所做的分析才故意義。b.利潤w有關關稅x的敏捷性的系統分析由前面粗分析中的散點圖可知，w隨著x的增大而不停減小。當x≥57.4時，利潤w變為負數。c.利潤w對關稅x的敏捷性的相對變化量：由x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x可得：在點x=33處，dw/dx=?9333.33S(w,x)=(dw/dx)*(x/w)=-1.5即每臺彩電的關稅額x增加1%，則造成每年凈利潤為w減少1.5%3、寫出簡短程序，繪制特殊圖形（1）冪函數：y=xμ（μ∈R是常數）；此處我將μ的值分為μ≥0和μ<0分別舉例繪出對應的含有代表性的圖形。當μ≥0時，我列舉了μ=0,1/2,1,2,3;當μ<0時，我列舉了μ=-1/2,-1,-2一元函數作圖的命令：Plot[{函數1,函數2,…},作圖范疇,可選項]圖13冪函數舉例（2）指數函數：y=ax（a>0，且a≠1）；此處a的取值范疇只有0<a<1和a>1，因此我分別舉例繪出了a=2和a=1/2時的圖形，它們各自含有一定的代表性。一元函數作圖的命令：Plot[{函數1,函數2,…},作圖范疇,可選項]圖14指數函數舉例（3）對數函數：y=logax（a>0且a≠1，特別當a=e時，記為y=lnx）；此處a的取值范疇只有0<a<1和a>1，特別當a=e時，記為y=lnx。因此我分別舉例繪出了a=7、a=1/7、a=e時的圖形，它們各自含有一定的代表性。y=log7x和y=log1/7x用Log[7,x]和Log[1/7,x]表達。而y=lnx直接用Log[x]表達。一元函數作圖的命令：Plot[{函數1,函數2,…},作圖范疇,可選項]圖15對數函數舉例（4）三角函數：如y=sinx，y=cosx，y=tanx等；一元函數作圖的命令：Plot[{函數1,函數2,…},作圖范疇,可選項]此處三角函數的函數名首字母都要大寫，否則軟件不會將其視為三角函數，而是視為變量名。如果用Pi表達π時，首字母也需要大寫，否則軟件也會將其視為變量名。當輸入對的時，下方會有的藍色字體提示。圖16三角函數（5）反三角函數：如y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx等。一元函數作圖的命令：Plot[{函數1,函數2,…},作圖范疇,可選項]此處反三角函數的函數名只需在三角函數的函數名之前加一種“Arc”即可。如果用Pi表達π時，首字母也需要大寫，否則軟件會將其視為一種變量名。圖17反三角函數第三部分成果與討論（可加頁）一、實驗成果分析（涉及數據解決、實驗現象分析、影響因素討論、綜合分析和結論等）（1）問題1：針對第1題中的y=f(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)在區域S={(x1,x2):x1≥0,x2≥0}上求最大值，如何預計自變量的取值：求解辦法：a.首先，用Mathematica繪出函數f的三維圖像。繪制二元函數3D圖形的命令：Plot3D[函數,第一變量的范疇,第二變量的范疇,可選項]圖18函數f的三維圖像由上圖可知，f是一種拋物面，且f在S內部達成最大值。b.然后，再用Mathematica繪出函數f的等高線圖。繪制二元函數等高線圖的命令：ContourPlot[函數,第一變量的范疇,第二變量的范疇,可選項]圖19函數f的等高線圖由上圖能夠預計出，f的最大值出現在x1=5000，x2=7000附近。（2）問題2：如何應用Mathematica求解無約束的多變量最優化問題解決辦法：以第1題為例，具體環節以下：a.運用Mathematica分別求出函數f有關x1，x2的偏導數。b.函數f是一種拋物面，欲求得其最高點，只需令x1和x2的偏導數同時為0，建立方程組求解即可。該方程組可運用Mathematica的Solve函數求解，解得：x1=4735.04≈4735,x2=7042.74≈7043c.將求得的x1,x2的值代入函數f的體現式：f(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)即可求得f的最大值。求得f的最大值=553641應用Mathematica求解的具體運行成果以下圖所示：圖20應用Mathematica求解（3）問題3：如何進行敏捷性分析（即敏捷性分析的辦法）解決辦法：以生產量x1,x2有關關稅x的敏捷性分析為例，具體辦法以下：a.粗分析現在假設關稅x的實際值是不同的，對幾個不同的x值，重復前面的求解過程,能夠得到對生產量x1,x2有關x的敏感程度的某些數據。即給定x，對y=w(x1,x2)=(339–0.01*x1–0.003*x2)*x1+(399–0.004*x1–0.01*x2)*x2–(400000+195*x1+225*x2)–x*(x1+x2)分別求出函數w有關x1，x2的偏導數，再令x1和x2的偏導數同時為0，建立方程組求解?？傻脤獂1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x圖21用x來表達x1和x2用Excel繪出生產量x1,x2有關關稅x的散點圖。圖22生產量x1,x2有關關稅x的散點圖由上述圖表能夠看到生產量x1,x2對關稅x是很敏感的。即如果給定不同的關稅，則生產量x1,x2將會有明顯變化。甚至從理論上分析，當x足夠大時，x1,x2的取值會變為負數。因此，x的取值要適宜、合理，所做的分析才故意義。b.生產量x1,x2有關關稅x的敏捷性的系統分析前面已計算出，使偏導數同時為零的點為x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x，若要x1,x2≥0，只要x≤127.8即可。當0≤x≤127.8時，x1和x2隨著x的增大而不停減小。c.生產量x1,x2對關稅x的敏捷性的相對變化量：由x1=4735.04-37.037x,x2=7042.74-37.037x可得：在點x=33處，dx1/dx=-37.037,dx2/dx=-37.037S(x1,x)=(dx1/dx)*(x/x1)=-0.35S(x2,x)=(dx2/dx)*(x/x2)=-0.21即每臺彩電的關稅額x增加1%，則造成每年19英寸彩電和21英寸彩電的生產量x1,x2分別減少0.35%，0.2