浙江樹人大學高等數學競賽章程第一條總則樹人大學高等數學競賽（以下簡稱競賽）是由校大學生科技競賽委員會主辦、樹人大學基礎部承辦的面向全校大一學生的一項科技競賽，旨在激發我校學生學習數學的積極性，提高學生運用數學知識解決問題的能力，培養學生的創新思維，同時也為省高等數學競賽（5月底）、全國大學生數學競賽（10月底）和全國大學生數學建模競賽（9月初）選拔人才。第二條競賽內容1．競賽分為三個類別，分別為理工類、經管類和文專類。（1）理工類面向信息學院、生環學院的所有本科專業以及城建學院的土木工程專業。（2）經管類面向管理學院和現代服務業學院的所有本科專業。（3）文專類面向所有開設高等數學類課程的文科、專科各專業以及城建學院除土木工程外的各本科專業。2.各類別競賽內容分別為（1）理工類：極限、導數（及應用）、不定積分、定積分（及應用）、微分方程；（2）經管類：極限、導數（及應用）、不定積分、定積分（及應用）、微分方程；（3）文專類：極限、導數（及應用）、不定積分、定積分。3.競賽試題以當前正在使用的《高等數學》、《微積分》或《應用高等數學》教材及配套習題冊作為出題的主要依據。第三條競賽形式、規則和紀律1．競賽由樹人大學基礎部數學教研室統一命題，閉卷考試方式，考試時間為120分鐘。2．競賽一般在每年3，4月的某一周的周二下午13：30—15：30舉行。3．參賽對象為大一學生，以班級為單位報名參賽。原則上每班報名人數不超過班級人數的25％。4．參賽學生攜帶至少兩證(身份證、學生證或一卡通）入場參賽。工作人員將密封的賽題按時啟封發給參賽學生，參賽學生在規定時間內完成答卷，并準時交卷。5．對違反競賽規則的參賽學生，一經發現，取消參賽資格，成績無效。第四條組織形式競賽由校大學生科技競賽委員會主辦，樹人大學基礎部承辦，校數學建模社團與校學生會學習部協助基礎部完成競賽的各項組織工作。由基礎部數學教研室負責擬定賽題、安排場地、組織監考、閱卷和評獎、頒發獲獎證書和獎品。報名表將發放到各個班級，以班級為單位報名。報名截止時間以報名表上注明的為準。第五條評獎辦法評卷采用流水批卷形式，按理工、經管、文專三個類別分別從高分到低分確定獎級。競賽每個類別均設一、二、三等獎，三個獎級占本類別參賽人數的比例分別為：一等獎5％、二等獎10％、三等獎25％，賽后發放獲獎證書及獎品。校大學生科技競賽委員會浙江樹人大學基礎學院2018-3附：（樣卷僅供參考。本屆賽題覆蓋范圍與往屆不一定相同，以本章程正文中提供的范圍為準）HYPERLINK\l"樣卷一"樣卷一（17年理工類試卷）HYPERLINK\l"樣卷二"樣卷二（17年經管類試卷）HYPERLINK\l"樣卷三"樣卷三（17年文專類試卷）樣卷一：浙江樹人大學第十一屆《高等數學》競賽(2017)工科類試卷考試時間：120分鐘題號一二三四五六七總分分值2424128121010100得分一、計算題：（每題6分，共24分）1..2..3..4..二、填空題：（每題4分，共24分）1.設常數，則____________.2.設，則____________.3.設是由所確定的隱函數，則___________.4.設連續，則________________.5.設_______________.6.設是某個二階常系數非齊次線性微分方程的兩個解，則該方程是________________________.三、(12分)設函數滿足方程和.(1)求的表達式.(2)求曲線的拐點.四、(8分)求數列中的最大者.五、(12分)設在(為正整數)上有連續的導數,在內二階可導，且，證明：(1)存在，使得；(2)任取正整數，存在，使得.六、(10分)設在上有連續的二階導數,,證明：(1)；(2)若，則.七、(10分)設拋物線通過原點，且當時，.若該拋物線與軸、直線所圍成平面圖形的面積為，試求的值，使得這個圖形繞軸旋轉所成的旋轉體體積最小.浙江樹人大學第十一屆《高等數學》競賽(2017)工科類試卷答案一、1.(3分)(6分)2.(3分)(6分)3.(3分)(6分)4.(3分)(6分)二、1.；2.；3.；4.；5.；6..三、解：(1)由題設，，其通解為(3分)將代入得，.所以，.(5分)(2)利用可知，.于是，(7分).(9分)當時，有；當時，有，又，故曲線的拐點為.(12分)四、解：設，則，得.(4分)在上單調增加，在上單調減少，故為在上的最大值點.(6分)可知和可能為最大者，因為，故為最大者.(8分)五、證明：(1)若，由Rolle定理，結論明顯.(1分)若，因為在上連續，所以在上連續，且有最大值和最小值.于是，，故.(3分)由介值定理，存在，使得.(5分)應用Rolle定理，存在，使得.(7分)(2)令(為任取正整數)，則由.(9分)應用Lagrange中值定理，存在，使得，即.(12分)六、證明：(1).(5分)(2)由(1)及，有(7分).(10分)七、解：因為經過原點，所以.(1分)由題設，，即.(3分)于是，圖形繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積為：.(6分)所以，.令，得惟一駐點.(8分)又，則是的最小值點.此時，.(10分)樣卷二：浙江樹人大學第十一屆《高等數學》競賽(2017)經管類試卷考試時間：120分鐘題號一二三四五六七總分分值21271010101012100得分一、填空題（每空格3分，共21分）1....2.若，則常數，.3.設是連續函數，則＝．4.設，則.二、計算題(每小題9分,共27分)1.，求2.3.討論方程根的個數．三、(10分)在曲線上求點，使過該點的切線被兩坐標軸所截線段的長度最小.四、(10分)在上連續且滿足,求.五、(10分)設為的一個原函數，為的一個原函數，且，求.六、(10分)在上連續,在內可導,且滿足.,使得.七、(12分)若在的某個鄰域中有連續的一階導數，且存在，證明：.浙江樹人大學第十一屆《高等數學》競賽(2017)經管類試卷答案一、填空題（每空格3分，共21分）1.-1,-1,2.-1,33.04.二、計算題(每小題9分,共27分)1.2.3.討論方程根的個數．解：令，則在內遞增當時，，當時，.故在內單調增加，在內單調減少．由于，所以在和內分別有一個零點，即方程有兩個根．三、(10分)在曲線上求點，使過該點的切線被兩坐標軸所截線段的長度最小.解：設點的坐標為，則過該點的切線與兩坐標軸的交點為.兩交點的距離令，則，.0+不存在0+減極小值增減極小值增，，.四、(10分)解：.兩邊積分得:所以..五、(10分)解：.六、(10分),有.由羅爾定理得：,使得,即.七、(12分)證：其中,,由得：.樣卷三：浙江樹人大學第十一屆《高等數學》競賽（2017.4）文專類試卷考試時間：120分鐘題號一二三四五六七八總分分值241810771888100得分一、填空題(每空格3分,共24分)1.2.設是可導函數,且則3.設,則4..abxc5.如果在abxc則函數在處取得______________(填“極大值”、“極小值”或“無極值”;曲線在上的凹凸性為________.二、計算下列極限(每小題6分,共18分)1.2.3.三、設,求,(10分)四、設,求.(7分)五、設是連續函數,且,求.(7分)六、求下列積分(每小題6分,共18分)1.2.3.七、設可導函數滿足,求(7分)八、證明：當時,(7分)浙江樹人大學第十一屆《高等數學》競賽（2017.4）文專類試卷解答一、填空題(每空格3分,共24分)1.2.3.4.5.

極小值，凹.二、計算下列極限(每小題6分,