人教A版2019高中數學選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何1.1.1空間向量及其線性運算新知探究2新知引入教學目標：（1）經歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，了解空間向量的概念，發展

數學抽象素養；（2）掌握空間向量的加法、減法、數乘運算及其表示；（3）掌握空間向量加法、減法、數乘的運算律；（4）借助向量的線性運算的學習，提升數學運算素養.教學重點：空間向量的概念和線性運算及其應用教學難點：空間向量的線性運算及其應用【問題引入】

在空間中一個正三棱錐A-BCD，有三個相同的力a，b，c作用在這個三棱錐上，其中力a，b，c的方向在分別直線AB、AC、AD上，且該這個三棱錐重400N。

問：這個三棱錐會在這三個力的作用下做什么運動？

當這三個力多大時，這個三棱錐會運動？【問題1】1.在這個問題中，我們研究的是力，在數學中，這些力可以看做是什么量？2.這些量與我們以往學過的有什么不同？3.我們能不能依據以往學過的知識來解決這個空間問題？【問題2】1.如右圖，向量如何表示？其模如何表示？2.零向量和單位向量如何定義表示？3.空間中某兩個向量模長一樣但方向相反的向量是什么向量？4.空間中某兩個向量平行或重合，這兩個向量稱為什么?5.方向和模長都一樣的向量稱為？a

AB【問題3】空間中的向量如何線性計算？有什么方法可以用平面向量中的計算方法來計算空間向量？探究：我們已經學習了平面向量的概念，我們能否根據平面向量的概念類比得出空間向量的概念？我們一起回憶一下平面向量的相關概念，類比的得出空間向量的概念點撥精講問題1平面向量是什么？我們是如何表示平面向量的？平面向量空間向量定義表示起點終點

？平面中既有大小又有方向的量

平面向量空間向量定義平面中既有大小又有方向的量空間中既有大小又有方向的量表示1.或者是

2.坐標表示

追問

空間向量的概念是什么？1.空間向量的概念2.空間向量的模及表示方法與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示.有向線段的長度表示向量的模.

與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.空間向量用黑體字母a,b,c,···表示.(注意：印刷體才用黑體a表示，而書寫體一定要加箭頭，即)

CABO問題2你能回憶起平面向量中相關概念嗎？平面向量空間向量零向量單位向量相等向量相反向量共線向量

模為1的向量.

空間向量中這些概念適用嗎？

概念的本質是一樣的

因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點重合.因為兩條相交直線確定一個平面，所以起點重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內，成為同一平面內的兩個向量.這樣就使得所有空間向量問題都可以轉變成平面向量解決.空間向量的線性運算加法

減法數乘

運算律

空間向量的線性運算和運算律

交換律：a＋b＝b＋a結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb空間向量的加減運算空間任意兩個向量是否一定能夠平移到同一個平面中？在空間中，任意兩個向量都可以平移到同一個平面內，所以空間兩個向量的加法和減法運算與平面向量相同.空間向量的加法的運算律．問題：平面向量的加法運算符合交換律和結合律，空間向量是否也符合？能否借助平行六面體圖形證明？⑴加法交換律：；⑵加法結合律：；空間向量的加減運算如圖，已知平行六面體ABCDA′B′C′D′，化簡下列表達式．規律總結掌握好向量加減法的三角形法則是解決這類問題的關鍵，靈活應用相反向量、相等向量及兩向量和、差，可使這類題迅速獲解；0解

方法一(轉化為加法運算)方法二(轉化為減法運算)空間向量的線性運算及其運算律解（1）∵P是C1D1的中點，空間向量的線性運算及其運算律解（2）∵N是BC的中點，空間向量的線性運算及其運算律解（3）∵M是AA1的中點，空間向量的線性運算及其運算律《二》利用數乘運算進行向量表示的技巧空間向量的線性運算及其運算律(1)用反向量:向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵,靈活運用相反向量可使向量首尾相接.(2)用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時,務必注意和向量、差向量的方向，

必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果.【悟】《一》空間向量加法、減法運算的兩個技巧

(1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量

轉化為已知向量.(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質.

向量共線定理

?

?

共面向量

我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情況下三個空間向量共面呢？

向量共面定理OACBP①空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在有序實數對(x,y)，使②P、A、B、C四點共面的充要條件是對空間任意一點O，共面向量定理推論課堂練習例

如圖,已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F，G，H，使求證：E，F，G，H四點共面課堂練習證明:·追問：最終的結果你還有沒有其他的表示方法？能得到什么結論？1.對于空間任意一點O，下列命題正確的是：(A)若，則P、A、B共線(B)若，則P是AB的中點(C)若，則P、A、B不共線(D)若，則P、A、B共線2.已知點M在平面ABC內,并且對空間任意一點O,

,則x的值為()鞏固練習3.下列說明正確的是：(A)在平面內共線的向量在空間不一定共線(B)在空間共線的向量在平面內不一定共線(C)在平面內共線的向量在空間一定不共線(D)在空間共線的向量在平面內一定共線4.下列說法正確的是：(A)平面內的任意兩個向量都共線(B)空間的任意三個向量都不共面(C)空間的任意兩個向量都共面(D)空間的任意三個向量都共面鞏固練習ABMCGD(2)原式5.在空間四邊形ABCD中,點M、G分別是BC、CD邊的中點,化簡鞏固練習A